2021屆 人教a版平面向量 單元測試 (一)

平面向量

一、單選題

1.0是aABC內(nèi)一點(diǎn)，若I礪\=\0B\=\0C\＞則0是△甌的()

A.重心B.內(nèi)心

C.外心D.垂心

【答案】C

【解析】

試題分析：外心是三角形的三條中線的交點(diǎn)，外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

考點(diǎn)：三角形的四心.

2.如果向量。=(1,2),b=(3,4),那么2。-8=

A.(-1,0)B.(-1,-2)

C.(1,0)D.(1,-2)

【答案】A

【解析】

【分析】

【詳解】

2a-b=2(1,2)-34)=(-1,0)?

故選A.

3.AABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)。,E分別是邊的中點(diǎn)，連接并延

長到點(diǎn)F,使得?！?2EF,則AFBC的值為()

【答案】B

【解析】

—.1—.1__.3--3

試題分析：設(shè)麗=a，團(tuán)=8,???OE=—AC=—(〃一4),。尸=—DE=-S—a),

2224

————1353

AF=AD+DF=一-a+-(b-a)=--a+-b,

2444

531

AFBC=--a-b+-b2=--1—=—.

44848

【考點(diǎn)】向量數(shù)量積

【名師點(diǎn)睛】研究向量的數(shù)量積問題，一般有兩個(gè)思路，一是建立直角坐標(biāo)系，利用坐

標(biāo)研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實(shí)質(zhì)相同，坐標(biāo)法更易理解

和化簡.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是將

"形''化為"數(shù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量

運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.

4.如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn)，Jc=3EC,F為

4E的中點(diǎn)，則喬=()

DC

A.-AB--ADB.--AB+-AD

3333

C.--AB+-ADD.-AB--AD

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量平行四邊形法則、三角形法則、向量共線定理可得.

【詳解】

由圖可知：

—>1->]T—>2~*—>—>—>—>—>—>—>]~'

BF-BA+-BE>BE-BC>BC=AC-AB'AC=AD+DC'DC-AB>

'-BF=-\AB+^-AB）=-|4B+：G，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量平行四邊形法則、三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

5.已知AABC,點(diǎn)”是邊8c的中點(diǎn)，若點(diǎn)。滿足函+2礪+3覺=0,則（）

A.OM?BC=0B.兩?通=0

C.OM//BCD.OM//AB

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量的中點(diǎn)表示和加減運(yùn)算、以及向量的共線定理，即可得到結(jié)論.

【詳解】

點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，可得20A/=OQ+OQ,

OA+2OB+3OC=0<可得西+云+2（而+花）

OA+2OB

OA-+4。而=。，

3

即2（OA-OB）+12麗=0,

可得而=6聞，

即0而〃而，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的中點(diǎn)表示，以及向量的加減運(yùn)算和向量共線定理的運(yùn)用，考查化簡運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知4(2,3),8(4,-3)且而=一2萬,則。點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(6,9)B.(3,0)C.(6,-9)D.(2,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意得到麗與麗的坐標(biāo)，由麗=-2而，即可得出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)?(2,3),B(4,-3),

所以而=。-2,y—3)，前=(x—4,y+3)，

因?yàn)辂?-2而，所以而=2而，

S<-3：2(y；3V解%二，即Pli).

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)設(shè)詼=礪+左礪

(kGR),且礪J_而，貝“麗|=()

51

A.2B.0C.—D.-

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用已知條件表示出向量而，通過NBOP=90。，求出k,然后求解結(jié)果，得到答案.

【詳解】

由題意可得雙=(1,0),詼=(1,1),則歷=加+左詼=伏+1,左)，

又由詼上而，則歷歷=(1,1)?(4+1,⑥=2左+1=0,解得左=一:，

即9=(g,—f,所以|研=J(g)2+(_g)2=當(dāng),故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，其中解答中熟記向量的坐標(biāo)表示，及向

量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，合理列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

8.已知平面向量日與b的夾角為且M=l,成+25|=26，貝！)同=()

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

試題分析：由題

2

|&+2b|=2A/5=>同，41.石+〔2司=12=>|a|+4|a|x|/?|xcos—+|2￡>|=12

|5|2+4|a|xlxl+4=12=>|?|2+2|?|-8=0.-.|a|=2

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算，向量的模

9.已知平面向量3，］滿足a=(l,—2),b=(-3,/),且￡_L(￡+B),則忖=()

A.3B.710C.2百D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出Z+B，再利用7(￡+0=0求出匕再求|印

【詳解】

解：a+6=(1,-2)+(-3,/)=(-2,2)

由+所以a-(a+B)=0

1x(-2)+(-2)x(—2)=0,

/=1,^=(-3,1),|^|=V1()

故選：B

【點(diǎn)睛】

考查向量的數(shù)量積及向量模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

10.平行四邊形A3CZ)中，ZBAD=l20\\AB\=2,\Ab\=3,BE=-BC,CF=^CD,

貝U通?衣=（）

33

A.3B.-C.—3D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】

將AE,AF分別表示為向量而及而的和，利用數(shù)量積的定義求值即可

【詳解】

由題/=而+空，AE=AB+BE=AB+-AD

23

—1—.3

則荏./=<AD+—）CAB+-AD）='

232

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，平面向量基本定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.在AA8C中，E,尸分別為邊AB,AC上的點(diǎn)，且通=2萬，而=定，

若展|=3,|AC|=2,A=60。，則麗?喬=（）

79八1315

A.—B.—C.—D.—

2244

【答案】B

【解析】

麗.麗=（赤-頊而-亞）=弓前-而）（濟(jì)-1通）

1—.25―?--2―-21512,9

=-AC——ABAC+-AB=-x4一一x3x2x-+-x32，故選B.

46346232

二、填空題

12.已知M=(l,2),〃=(x,l),若22+b與1一日的夾角是銳角，則X的取值范圍為

【答案】12kJ續(xù)加仁，嚀史)

【解析】

【分析】

利用坐標(biāo)表示出2M+5和萬一B，根據(jù)夾角為銳角可得(2M+孫僅一5)>0且2)+5

與4-?不共線，從而構(gòu)造出不等式解得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：2M+b=（x+2,5）,a-h=（\-x,\）

.??（21+孫（1-6）=（工+2）（1-工）+5=-%2-％+7>0

解得：土叵一<土叵

22

1

X

又2N+5與萬一5不共線「.x+2w5(l—x),解得:2-

-1-V2911/11

/.XG，二U~

222r'

7

木題正確結(jié)果:

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)向量夾角求解參數(shù)范圍問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略兩向量共線的情況.

13.已知復(fù)數(shù)Z|=-l+2i,Z2=l-i,Z3=3-2i,它們所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C.若

OC-xOA+yOB，則x+y的值是―

【答案】5

【解析】

試題分析：代入坐標(biāo)(3,-2)=x(—l,2)+y(l,T),得到方程,-*+)’=,解得

2%-y=-2

x=1,y=4,所以x+y=5

考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的幾何意義；2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

在平行四邊形。中，沿。將四邊形折起成直二面角

14.ABCABBD=098

A-BD-C,且阿麗+麗|=2,則三棱錐A-88的外接球的表面積為

【答案】4萬

【解析】

【分析】

由A月,875=0得Afi_L，結(jié)合直二面角A—8?！狢，可證ABJ■平面BCD，從

而有AB_L8C,因此AC中點(diǎn)。就是外接球球心.由此可求得表面積.

【詳解】

由麗?麗=0得又平面平面BCO,，A3,平面3DC，

AB1BC,同理CD_L4D,取AC中點(diǎn)。，則。到四頂點(diǎn)的距離相等，即為三棱錐

4—BC￡＞的外接球的球心.

AC2=CD2+AD2=CD1+BD2+AB2=2AB2+BD2,

夜麗+麗|=2,

|&麗+而『=2AB+2y[2ABBD+Bb'=2AB?+BD2=4>

AAC2=4.AC=2,

2,

/.S=4^x(-)-=4萬.

故答案為：4萬.

C

【點(diǎn)睛】

本題考查球的表面積，解題關(guān)鍵是找到外接球球心.利用直角三角形尋找球心是最簡單

的方法.三棱錐外接球球心一定在過各面外心且與此面垂直的直線.

15.已知a=（2sinl3°,2sin77°）,|a-^|=1,（3,萬一5）=?,則,+同=.

【答案】V13

【解析】

&=（2sinl3°,2sin77°）

n\a\=7（2sinl30）2+（2sin770）2=7（2sinl30）2+（2cosl30）2=2

所以同2=同2+|&_必一2同,一句cosm=4+l-2=3

1+W+忖—5|2=2,『+2例2n&+5『=2x4+2x3—1=13=＞忖+同=厲

三、解答題

16.已知點(diǎn)A（—2,4）,8（3,—1）,。（—3,-4）,設(shè)向量福=%覺=瓦&?=}

（I）若"癡十應(yīng)，求實(shí)數(shù)相，〃的值;

（H）若西=—25,西=32,求向量麗的坐標(biāo).

【答案】（1）m=n=~\.

⑵麗=（9,一18）.

【解析】

【分

（1）由向量相等，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出方程組，求出m、n的值；（2）設(shè)出

M（xi，yi）,N（X2，y2）,根據(jù)向量相等，求出M、N的坐標(biāo)，再求向量版7的坐標(biāo)

表示.

【詳解】

—?—?—?

⑴:a=mb+nc，

??.(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8),

.[-6m+n=5

1-3m+8n=-5

解得m=-I,n=-1；

(2)設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2),

*-'ci=3c-CN=-2b-

即(xi+3,yi+4)=(3,24),

(X2+3,yi+4)=(12,6)；

'X]+3=3X2+3=12

yt+4=24'y2+4=6

X[=0X2=9

解得《

丫

1=20y2=2

AM(0,20),N(9,2)；

:.向量而=(9,-18).

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算的問題，也考查了向量的相等問題以及解方

程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、

作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些

垂直、平行、夾角與距離問題.

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(2,0),5(10,0),C(ll,3),0(10,6).

(1)①證明：cosZABC+cosZADC=0；

②證明：存在點(diǎn)尸使得Q4=P8=PC=PQ.并求出尸的坐標(biāo)；

(2)過C點(diǎn)的直線/將四邊形A8C。分成周長相等的兩部分,產(chǎn)生的另一個(gè)交點(diǎn)為E,

求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1)①見解析；②見解析，(6,3)；(2)(y,|).

【解析】

【分析】

(1)①利用夾角公式可得cosNA5C+cosNAT>C=0；②由條件知點(diǎn)P為四邊形

ABCO外接圓的圓心，根據(jù)麗.耳亍=0,可得AB_L8C,四邊形ABC。外接圓的

圓心為AO的中點(diǎn)，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

10-x=9(%-2)

(2)根據(jù)條件可得EO=9AE，然后設(shè)E的坐標(biāo)為(匕y)，根據(jù)

6-y=9y

可得￡的坐標(biāo).

【詳解】

(1)①?.?4(2,0),5(10,0),C(ll,3),0(10,6),

，麗=(一8,0),就=(1,3),麗=(一8,—6),反=(1,一3),

BA?BC-8VlO

/.cosZABC=

IBA||BC\―8710—10

DA.DC10Vio

cosZADC=

|DA||DCI-lOVlO_10，

/.cosZABC+cosZADC=0；

②由Q4=PB=PC=P0知，點(diǎn)P為四邊形ABC。外接圓的圓心,

AB=(8,0).BC=(0,6),??AB.BC=0.

：.AB±BC,四邊形ABCD外接圓的圓心為AD的中點(diǎn),

.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,3)；

(2)由兩點(diǎn)間的距離公式可得，AB=S,BC=CD=M，AD=10,

??.過C點(diǎn)的直線/將四邊形ABCD分成周長相等的兩部分，

utiiiiiiai

ED=9AE，

UUU_____

設(shè)七的坐標(biāo)為(xy),則￡0=(10—x,6—y)，AE=(x-2,y),

-14

x=一

10-x=9(x-2).5

6-y=9y""3'

r5

143

，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(二,《)?

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的夾角公式、向量相等、向量的運(yùn)算性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等，考查函

數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.

18.已知AA8C中42,4),8(-1,-2),C(4,3),5C邊上的高為40.

(1)求證:AB_L4C;

(2)求點(diǎn)O坐標(biāo).

【答案】⑴證明見解析；(2)(g,￡|.

【解析】

【分析】

(1)由向量數(shù)量積等于零即可證得直線垂直；

(2)設(shè)BD=ABC，結(jié)合向量的運(yùn)算法則求得A的值即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo).

【詳解】

(1)由題意可得:BA=(3,6),AC=(2,—1),

則：麗=3x2+6x(-l)=0,

所以A5L4c

(2)由。在BC上,所以存在實(shí)數(shù)4使麗=ABC=(5452),

所以。(5之—1,5A—2),所以AD=(54—3,5A—6),

-------9

由4O_LBC得AO8C=(5/l—3,5/1—6)(5,5)=0,.=/1二歷,

所以嗚,|)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用，向量數(shù)量積與坐標(biāo)的計(jì)算等知識，意在考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

19.設(shè)砥=區(qū),X,),西7滿足：麗二=(七一%,X.+"),〃eN*,且的=(3,4)?

(1)求出所有的正整數(shù)"，使得0不與平行；

(2)求數(shù)列的前102項(xiàng)的和.

【答案】(1)n=4k+l,kwN；(2)1+2也.

【解析】

【分析】

(工)根據(jù)向量的關(guān)系，z“=x“+z'?券在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)為A.(乙,"),貝I]

z?+1=(l+z)-z?,得出z“=(l+i)"Tz1,利用復(fù)數(shù)的幕運(yùn)算，求解即可：

(2)通過z“+4=(1+。％”=Tz“，得出七+4券+4=16當(dāng)先，然后求解數(shù)列的和即可.

【詳解】

(1)考慮復(fù)數(shù)運(yùn)算(l+i)(x.+i?然)=七一穌+"怎+”)，其中i為虛數(shù)單位，

Z“=Xn+z.yn在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)為X,)，則2?+,=(1+/)-Z“，

要使見與兩平行即存在實(shí)數(shù)2使兩=4兩，即2=儲4,又2向=(1+。/.,

故z“=(1+為，即(1+=4為實(shí)數(shù)，

(1+Z)2=2Z,(1+O'=-2+2z,(1+i)4=-4,依次類推，

所以〃一1是4的整數(shù)倍，

即1=4火,〃=4A+1,A￡N.

(2)因?yàn)閦,,+4=(l+i)"z,=-4z“，所以乙+4=一4Z，"+4=-4%,

所以當(dāng)+4%+4=16%%,

M=(3,4),*=(-1,7),砥=(一8,6),漪=(一14,一2)

所以玉X=12,々%=-7,七%=一48,玉％=28，

數(shù)列｛招％｝的前102項(xiàng)的和:

工02=(石X+工2%+F%+w%)+(毛％+%券+不月+/%)+???

+(/7%7+28%8+與丁99+XooXoo)+芭OlXoi+石02丁102

1-1625

=(12-7-48+28)x+16/XJ+尤2y2)

1-16

l-2l(M)+2l00x(12-7)

=1+2102

【點(diǎn)睛】

此題考查通過復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與向量相結(jié)合的綜合運(yùn)算求解數(shù)列相關(guān)問題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確

找出Z“+1=(1+?2〃這一運(yùn)算關(guān)系，對于解題起到事半功倍的作用.

20.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)尸1,尸2在坐標(biāo)軸上，離心率為近，且過點(diǎn)

p(4,-Vio).

⑴求雙曲線的方程;

(2)若點(diǎn)M(3,⑼在雙曲線上，試求麗?砥的值.

【答案】(1)心—案=6.(2)0

【解析】

【分析】

(1)由題意可設(shè)雙曲線方程為爐一產(chǎn)=〃拄0),將尸點(diǎn)代入求出參數(shù)2的值，從而求出

雙曲線方程.

(2)先求出肛的解析式，把點(diǎn)M3,⑼代入雙曲線，可得到答案.

【詳解】

解：⑴入二血，.?.可設(shè)雙曲線的方程為/一＞2=9/)).

?.?雙曲線過點(diǎn)尸卜,一可)，.?.16—10=2,即2=6.

.??雙曲線的方程為好一產(chǎn)=6.

(2)由(1)可知，a=b=瓜,

得c=2百，Q(—26，0),尸2(2百，0),

UUULz_\UUim'L\

MFt=(-2V3-3,-mJ,MF2=(2V3-3,-mJ,

從而MF、,MF?—(—2A/^—3,—〃?)—3,—/〃)=—3+tn~

由于點(diǎn)M(3,瓶)在雙曲線上，.'.g-,，=6,即加一3=0,

故物用近=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題.

21.(本題滿分15分)設(shè)△ABC的面積為S,且2S+百麗?沅=0.

(1)求角A的大??；

(2)若|比|=6,且角8不是最小角，求S的取值范圍.

【答案】(1)A=y；(2)Se(0,亨)

【解析】

試題分析：(1)由2S+&AB?AC=0n2x，力csinA+G/?ccosA=0=t