安徽省鼎尖名校聯(lián)盟高三下學(xué)期5月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2024屆安徽省鼎尖名校聯(lián)盟高三5月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則圖中所示的陰影部分的集合可以表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】圖中所示的陰影部分的集合為，結(jié)合集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】由圖可知，陰影部分表示集合為集合中的元素去掉集合的元素構(gòu)成，而，，則，得，故所求集合為.故選：C.2.已知某地區(qū)高中生的身高近似服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用正態(tài)曲線的對稱性進(jìn)行解答即可，【詳解】解：依題意，，故選：D.3.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有，可比較，然后再與2比較大小，可得結(jié)果.【詳解】依題意，，故；而，故，故選：D.4.直線：與圓：的公共點(diǎn)的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.1或2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知直線與圓的方程，得到直線過定點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可判定.【詳解】由直線，可得直線過定點(diǎn)，又由圓：，可得點(diǎn)在圓C上，因?yàn)橹本€的斜率顯然存在，所以公共點(diǎn)的個數(shù)為2.故選：C.5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則．A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，又，解得，所以，故選C．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)．6.已知圓臺的上、下底面積分別為，，體積為，線段，分別為圓臺上、下底面的兩條直徑，且A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺的體積公式即可求出圓臺的高，根據(jù)四面體的外接球即為圓臺的外接球，求出外接球半徑，代入球的表面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)圓臺的高為h，則，解得；四面體的外接球即為圓臺的外接球，設(shè)其半徑為R，球心為，，由已知易得圓臺的上、下底面圓半徑分別為，，球心O在圓臺的軸所在直線上，則，故，解得，故，故四面體的外接球表面積為.故選：B.7.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，若曲線過點(diǎn)，，，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用五點(diǎn)法作圖，結(jié)合函數(shù)的圖象得、和，再利用兩角差的余弦公式，計(jì)算得結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，所以，而，因此，即因?yàn)椋杂伞拔妩c(diǎn)法”作圖得：，解得，由于,解得，故取，則，因此.因?yàn)?，所以?因?yàn)橛珊瘮?shù)的圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖知：，，所以由和得：，，因此.故選：A8.已知拋物線：與直線：交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且，若點(diǎn)在直線上，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線，的方程分別為，，由點(diǎn)到直線的距離為，與點(diǎn)到直線的距離也為，得到，是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，，則，故，將直線與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得k的值.【詳解】已知直線：，設(shè)直線，的方程分別為，，記點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離也為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：則，整理得，，故，是方程的兩根，故，設(shè)，，則，故，聯(lián)立，整理得：，所以，，即由韋達(dá)定理可得，，則，故，解得，滿足題意，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，然后用點(diǎn)到直線的距離公式得到了關(guān)于和兩個一元二次方程，由兩個方程的結(jié)構(gòu)相同得出，，是方程的兩根，再根據(jù)韋達(dá)定理得到的結(jié)論，從而使得該題得解.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若復(fù)數(shù)，是方程的兩根，則（）A.，實(shí)部不同B.，虛部不同C.D.在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限【答案】BC【解析】【分析】本題首先在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程，求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模及其幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠炭苫癁?，所以，則，是共軛復(fù)數(shù)，實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)，所以A錯誤，B正確；因?yàn)?，所以C正確；因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，所以D錯誤.故選：BC.10.已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，，，則（）A.B.的外接圓面積為C.若，，則D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積、利用正余弦定理解三角形和三角恒等變換，是中檔題.先由向量的數(shù)量積、正弦定理和三角恒等變換得，則，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，依題意，，則，由正弦定理，，因?yàn)?，且，故，故，因?yàn)?，故，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知，，故其外接圓面積為，故B正確；對于C、D選項(xiàng)，因?yàn)?，記，所以，，，，在中，由正弦定理，，即，在中，由余弦定理，，故，解得，因?yàn)?，則，，故C、D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)其中，且，則（）A. B.函數(shù)有2個零點(diǎn)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐一判定即可.【詳解】解：，故A正確；作出函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可知，，而，故，有3個交點(diǎn)，即函數(shù)有3個零點(diǎn)，故B錯誤；由對稱性，，而，故，故C正確；b，c是方程的根，故，令，則，故，而，均為正數(shù)且在上單調(diào)遞增，故，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】30【解析】【分析】利用乘方的幾何意義和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】解：因?yàn)槭怯?個相乘得到，使用要想產(chǎn)生，則出1個，出2個，y出2個，故所求系數(shù)為.故答案為：3013.已知四棱錐的底面為矩形，其中，點(diǎn)平面，點(diǎn)M，N分別在線段，上（不含端點(diǎn)位置），其中，則四面體的體積最大值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)題意，得到，，，求得的面積為，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】在上取點(diǎn)，使得，由，設(shè)，，其中，又由，，且平面，因?yàn)槠矫?，所以，可得，且，，，因?yàn)?，且平面，所以平面，在中，由，可得，則的面積為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以四面體的體積最大值為.故答案為：.14.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”.已知，是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是它們在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率是____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)F1P=m，F(xiàn)2P=n，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理得(2c)2=m2+n22mncos60°，即4c2=m2+n2mn，①設(shè)a1是橢圓的實(shí)半軸，a2是雙曲線的實(shí)半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1，mn=2a2，∴m=a1+a2，n=a1a2，代入①得，，②由離心率互為倒數(shù)知，所以=，代入②式得整理得，，兩邊同除以得，，解得=或=1（舍），所以橢圓的離心率為=．考點(diǎn)：橢圓定義與性質(zhì)，雙曲線定義與性質(zhì)，余弦定理，對新概念的理解和應(yīng)用，轉(zhuǎn)化與化歸思想四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，求函數(shù)在上的最值.【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出和的解集，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出兩端點(diǎn)函數(shù)值及極值，通過比較，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由函數(shù)，可得，可得，且，所以切線斜率為，切點(diǎn)為，則所求切線方程為.【小問2詳解】由（1），當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，故所求最大值為，最小值為.16.近年來，為了提升青少年的體質(zhì)，教育部出臺了各類相關(guān)文件，各地區(qū)學(xué)校也采取了相應(yīng)的措施，適當(dāng)增加在校學(xué)生的體育運(yùn)動時間；現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生（包含初中生與高中生）對增加體育運(yùn)動時間的態(tài)度，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：喜歡增加體育運(yùn)動時間不喜歡增加體育運(yùn)動時間初中生16040高中生14060（1）在犯錯誤的概率不超過0.01（小概率值）的前提下，能否認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運(yùn)動時間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)；（2）以頻率估計(jì)概率，若在該地區(qū)所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記“喜歡增加體育運(yùn)動時間”的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.050.010.00538416.6357.879【答案】（1）不能（2）分布列見解析，3【解析】【分析】（1）先得出，對照臨界值表可得結(jié)論；（2）依題意，，得出對應(yīng)概率，可得X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】完善二聯(lián)表如下：喜歡增加體育運(yùn)動時間不喜歡增加體育運(yùn)動時間總計(jì)初中生16040200高中生14060200總計(jì)300100400零假設(shè)：不能認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運(yùn)動時間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)，則，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充足證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即不能認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運(yùn)動時間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)；【小問2詳解】喜歡增加體育運(yùn)動時間的人數(shù)有300人，故喜歡增加體育運(yùn)動時間的概率為依題意，，，，，，故X的分布列為：X01234P則.17.如圖，已知四棱錐中，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，，.（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，即可得到四邊形為正方形，利用勾股定理逆定理得到，再由線面垂直的性質(zhì)得到，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】設(shè)中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，且，故四邊形為正方形，而，，，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，設(shè)平面法向量為，則，即，令，所以，由（1）知，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，即，解得或（舍去），所以.18.已知橢圓：的長軸長為4，左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，其中直線的斜率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若原點(diǎn)到直線的距離為1，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件聯(lián)立方程組，解出可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，易得的周長為，再分直線的斜率不存在和存在，兩種情況求解計(jì)算即可.【小問1詳解】依題意，，聯(lián)立解得，，，故橢圓C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，則，同理得，易知直線與單位圓相切，設(shè)切點(diǎn)為B，，同理得，故的周長為，當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為,,,則的周長為4；的方程為，,,此時的周長為；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，故，聯(lián)立化簡可得，故，易知，故，同號；當(dāng)時，即，此時點(diǎn)M在y軸右側(cè)，所以，，此時的周長為為定值；當(dāng)時，即，此時點(diǎn)M在y軸左側(cè)，所以，，此時的周長為，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)或時取等號，從而，故周長的取值范圍為；綜上所述，的周長的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列為有窮數(shù)列；②數(shù)列為遞增數(shù)列；③，，，使得；則稱數(shù)列具有“和性質(zhì)”.（1）已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否具有“和性質(zhì)”；（判斷是否具有“和性質(zhì)”時不必說明理由，直接給出結(jié)論）（2）若首項(xiàng)為1的數(shù)列具有“和性質(zhì)”.（?。┍容^與的大小關(guān)系，并說明理由；（ⅱ）若數(shù)列的末項(xiàng)為36，求的最小值.【答案】（1），具有（2）（?。?，理由見解析；（ⅱ）75【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和及與的關(guān)系得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用題目所給定義對數(shù)列是否具有“和性質(zhì)”進(jìn)行判斷；（2）（ⅰ）利用題目所給定義得，再利用數(shù)列的前n項(xiàng)和得結(jié)論；（ⅱ）構(gòu)造具有“和性質(zhì)”的數(shù)列：1，2，3，6，9，18，36或數(shù)列：1，2，4，5，9，18，36，此時，再利用反證法得具有“和性質(zhì)”的數(shù)列，不可能存在比75更小的，從而得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，，而當(dāng)時，滿足，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為該數(shù)列具有“和性質(zhì)”.【小問2詳解】（?。┮?yàn)槭醉?xiàng)為1的數(shù)列具有“和性質(zhì)”，所以，，，使得，且，，因此，，所以；因此，所以將上述不等式相加得：，即.因?yàn)?，所以，因?（ⅱ）因?yàn)閿?shù)列具有“和性質(zhì)”，所以由③得：，因此數(shù)列中的項(xiàng)均為整數(shù).構(gòu)造數(shù)列：1，2，3，6，9，18，36或數(shù)列：1，2，4，5，9，18，36，因此這兩個數(shù)列具有“和性質(zhì)”，此時.下面證明的最小值為75，即證明不可能存在比75更小的.假設(shè)（存在性顯然，因?yàn)闈M足的數(shù)列只有有限個）.第一步：首先說明有窮數(shù)列中至少有7個元素.設(shè)有窮數(shù)列中元素組合的集合為A，由（?。┲?，而，因此，，，，，所以.第二步：證明，.若，設(shè).因?yàn)?，所以為了使得最小，則在數(shù)列中一定不含有，使得，因此.假設(shè)，根據(jù)“和性質(zhì)”，對，有，，使得.顯然，因此，所以由有窮數(shù)列中至少有7個元素得：集合A中至少還有4個不同于，，的元素，因此，與矛盾，所以，且