湖南省吉首市高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題

湖南省吉首市2024屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考生號(hào)等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置。3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．253．已知滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則A． B． C． D．5．甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．6．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A． B． C． D．7．如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．的一個(gè)周期是4 C．是偶函數(shù) D．10．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷，其中正確的是（

）A．平面平面B．平面C．異面直線與所成角的取值范圍是D．三棱錐的體積不變11．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是．

14．在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．16．為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且上場(chǎng)順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）(1)求甲隊(duì)明星隊(duì)員在前四局比賽中不出場(chǎng)的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；(2)求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；(3)若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)的概率.17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.19．雙曲線的左頂點(diǎn)為，焦距為4，過右焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．參考答案：1．A【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2．B【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3．B【分析】通過對(duì)稱軸與對(duì)稱點(diǎn)得出的式子，再通過單調(diào)得出的范圍，即可得出答案.【詳解】滿足，，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時(shí)最大，最大值為，故選：B.4．C【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．5．B【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有種情況，再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為;當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計(jì)種，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計(jì)種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.6．B【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.7．A【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案.【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少的臨界情況為，水面為面，水最多的臨界情況為多面體，水面為，因?yàn)?，，所以，?故選：A.8．A【詳解】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．9．BC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得從而可判斷B項(xiàng)，根據(jù)周期性與奇偶性可判斷A項(xiàng)，根據(jù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，從而可判斷C項(xiàng)，在中，令代入計(jì)算可判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以，所以，即：，故的周期為4，所以，故的一個(gè)周期為4，故B項(xiàng)正確；，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即：，所以為偶函數(shù)，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，令，可得，解得：，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10．ABD【分析】對(duì)于A，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而利用面面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B，利用線面平行與面面平行的判定定理證得平面平面，從而得以判斷；對(duì)于C，利用線線平行將異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成的角，從而在等邊中即可求得該角的范圍，由此判斷即可；對(duì)于D，先利用線線平行得到點(diǎn)到面平面的距離不變，再利用等體積法即可判斷.【詳解】對(duì)于A，連接，如圖，因?yàn)樵谡襟w中，平面，又平面，所以，因?yàn)樵谡叫沃?，又與為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，可得平面，又平面，從而平面平面，故A正確；.

對(duì)于B，連接，，如圖，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又、為平面?nèi)兩條相交直線，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋耘c所成角即為與所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，?dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最小值；當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取得最大值；所以與所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B得平面，故上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，即點(diǎn)到面平面的距離不變，不妨設(shè)為，則，所以三棱錐的體積不變，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直與面面垂直的判定定理、線面平行與面面平行的判定定理，能夠利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化嚴(yán)密推理.11．BC【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出方程并化簡(jiǎn)整理，放縮解不等式判斷A；利用幾何意義并結(jié)合求函數(shù)值域判斷B；利用三角形面積公式計(jì)算判斷C；取點(diǎn)計(jì)算判斷D作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，顯然，因此，B正確；對(duì)于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，當(dāng)點(diǎn)P為此點(diǎn)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解軌跡方程問題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).12．【分析】由二項(xiàng)式定理得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合，得到，得到的系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)公式為，令得，，此時(shí)，令得，，此時(shí)，故的系數(shù)為故答案為：13．或0【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長(zhǎng)度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．14．【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.【詳解】，令，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時(shí)最小值，最小值為，設(shè)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立，故，則．故答案為：【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時(shí)，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以；?）銳角中，，，由正弦定理得：，故，則，因?yàn)殇J角中，，則，，解得：，故，，則，故，所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值16．(1)(2)(3)【分析】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）討論上場(chǎng)或不上場(chǎng)兩種情況，應(yīng)用全概率公式求甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）利用貝葉斯公式求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)的概率.【詳解】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，其中相互獨(dú)立.又甲隊(duì)明星隊(duì)員前四局不出場(chǎng)，故，，所以.（2）設(shè)為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員上場(chǎng)比賽，由全概率公式知，，因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故，，所以.（3）由（2），.17．（1）；（2）.【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).18．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由分別為，的中點(diǎn)，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.【詳解】（1）分別為，的中點(diǎn)，，又，，在中，為中點(diǎn)，則，又側(cè)面為矩形，，，，由，平面，平面，又，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又平面，平面，平面，平面平面.(2)[方法一]：幾何法如圖，過O作的平行線分別交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于平面，平面，，平面，平面，所以平面平面．又因平面平面，平面平面，所以．因?yàn)椋?，，所以面．又因，所以面，所以與平面所成的角為．令，則，由于O為的中心，故．在中，，由勾股定理得．所以．由于，直線與平面所成角的正弦值也為．[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法因?yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形．由（Ⅰ）知平面，則為平面的垂線．所以在平面的射影為．從而與所成角的正弦值即為所求．在梯形中，設(shè)，過E作，垂足為G，則．在直角三角形中，．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，平面，則為平面的法向量．因?yàn)槠矫妫矫?，且平面平面，所以．由（Ⅰ）知，即四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)镺為正的中心，故．由面面平行的性質(zhì)得，所以四邊形為等腰梯形．由P，N為等腰梯形兩底的中點(diǎn)，得，則．設(shè)直線與平面所成角為，，則．所以直線與平面所成角的正弦值．[方法四]：基底法不妨設(shè)，以向量為基底，從而，．，，則，．