福建省漳州市高三畢業(yè)班第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

福建省漳州市2024屆高三畢業(yè)班第四次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè).滿(mǎn)分150分.考生注意：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)?姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)?姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)如下：，該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.15 B.17 C.19 D.20【答案】B【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，利用分位數(shù)的求解方法進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意可知，共8個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因?yàn)?，故選擇第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為分位數(shù)，即.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2 B. C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘除法以及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式即可求解.【詳解】，所以故選：B3.二項(xiàng)式展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的展開(kāi)式的通項(xiàng)，再求出展開(kāi)式中項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】根據(jù)題意，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)，其中項(xiàng)為，，所以的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．故選：D．4.設(shè)，且，則的（）A.最小值為3 B.最小值為3C.最大值為3 D.最大值為3【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合基本不等式先求的范圍，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即.故選：C.5.已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】計(jì)算的導(dǎo)數(shù)，得到，代值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所?故選：D.6.已知數(shù)列是公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，則是成立的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)判斷充分性，根據(jù)通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可判斷必要性.【詳解】由下標(biāo)和性質(zhì)可知，若，則；記數(shù)列是公比為，若，則，即，因?yàn)閿?shù)列是公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，得.綜上，則是成立的充要條件.故選：A7.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)性（）A.與a有關(guān)，且與b有關(guān) B.與a無(wú)關(guān)，且與b有關(guān)C.與a有關(guān)，且與b無(wú)關(guān) D.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)【答案】D【解析】【分析】通過(guò)對(duì)進(jìn)行討論，再用復(fù)合函數(shù)的求單調(diào)性的方法，可知該函數(shù)的單調(diào)性與是否有關(guān).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.則且，，的單調(diào)性都為單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)性與無(wú)關(guān).故選：D8.已知雙曲線(xiàn)左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與的漸近線(xiàn)及右支分別交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知為的中點(diǎn)，且，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可知為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，可知∥，又因?yàn)椋芍?，則，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，可得，由可得，整理得，則，整理得，所以的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．橢圓、雙曲線(xiàn)離心率（離心率范圍）的求法：求橢圓、雙曲線(xiàn)的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值；2．焦點(diǎn)三角形的作用：在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線(xiàn)的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，的最大值為C.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)D.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】利用三角恒等變換，轉(zhuǎn)化為正弦型或者余弦形函數(shù)即可求出周期，采用換元法結(jié)合三角函數(shù)的有界性即可求出最值，結(jié)合三角函數(shù)圖像解三角方程即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)即可求出參數(shù).【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，其周期由決定，周期為，A正確.選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，在本式中令可得，，其定義域?yàn)榈闹涤?，即，?dāng)它取最大值時(shí)，可以取到，將其代回原式得到最大值為，選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，令，可得或，的解在間的有且只有，的解在間的有且只有和，因此在上總共有3個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，，在該式中令，則，為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，所以頂點(diǎn)右側(cè)為單調(diào)遞減函數(shù)，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，存在單調(diào)遞減區(qū)間，則單調(diào)遞減區(qū)間為，原式中單調(diào)遞減區(qū)間為，即,因?yàn)?，所以?xún)H需要即可，解出，故a的取值范圍是，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.如圖，四棱錐中，底面，且，，平面與平面交線(xiàn)為，則下列直線(xiàn)中與垂直的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用線(xiàn)面所成的角判斷A；利用線(xiàn)面垂直的判定定理可知平面PAD，利用線(xiàn)面平行的判定定理證明平面PAD，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而可證明平面PDC，可判斷BCD【詳解】分別取PD、PC的中點(diǎn)，連接AE、EF、BF，因?yàn)镋F是的中位線(xiàn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形平行四邊形，所以，且，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又平面與平面交線(xiàn)為，平面PAD，所以，又，E是PD的中點(diǎn)，所以,因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，所以，又平面PAD，所以平面PAD，又平面PAD，所以，，，平面PDC，所以平面PDC，又，所以平面PDC，又平面PDC，所以，故BCD對(duì)由，，所以，所以與PB所成的角就是BF與與PB所成的角即，令，，在中，由余弦定理得,，所以，故l與PB不垂直，故A錯(cuò)；故選：BCD11.我們把方程的實(shí)數(shù)解稱(chēng)為歐米加常數(shù)，記為.和一樣，都是無(wú)理數(shù)，還被稱(chēng)為在指數(shù)函數(shù)中的“黃金比例”.下列有關(guān)的結(jié)論正確的是（）A.B.C.，其中D.函數(shù)的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A：構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷；對(duì)于B：對(duì)，，取對(duì)數(shù)整理即可；對(duì)于C：設(shè)，整理得，結(jié)合選項(xiàng)A分析判斷；對(duì)于D：結(jié)合不等式分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合的零點(diǎn)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：構(gòu)建，則為的零點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；綜上所述：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，即，兩邊取?duì)數(shù)可得：，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，整理得，即，可得，所以，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，所以的最小值為，不為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解．這類(lèi)問(wèn)題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類(lèi)題關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)的一條直線(xiàn)方程__________.【答案】（寫(xiě)對(duì)一個(gè)方程即可）【解析】【詳解】如圖，當(dāng)直線(xiàn)斜率為0時(shí)，與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)，此時(shí)方程為；當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去，整理得：，因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)，所以，解得或，所以為或，即或.綜上，過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：或或.故答案為：（或或）.13.已知向量，且在上的投影向量的坐標(biāo)為，則與的夾角為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式得在上的投影向量為，結(jié)合已知可得結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為，且，，則在上的投影向量為，即，所以，所以，故答案為：.14.在矩形中，為的中點(diǎn)，將沿折起，把折成，使平面平面，則三棱錐的外接球表面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用勾股定理逆定理證明，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，求出外接圓的半徑，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，最后由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，則有，，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面.所以平面，又為等腰直角三角形，所以其外接圓的半徑，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以，所以三棱錐的外接球的表面積.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是證明平面，再由直棱錐的外接球的模型計(jì)算外接球的半徑.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）若成等差數(shù)列，求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用余弦定理求得的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式求解；（2）根據(jù)已知條件代入，并用三角恒等變換化簡(jiǎn)求得A，再利用正弦定理求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，又，所以①，在中，由余弦定理可得：，又，所以②，由①②得，所以的面積.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?16.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面，是等邊三角形，為側(cè)棱的中點(diǎn)，且，.（1）證明：平面；（2）是線(xiàn)段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，從條件①?條件②中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面所成角的余弦值.條件①：四棱錐的體積為；條件②：點(diǎn)到平面的距離為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）解法一關(guān)鍵取的中點(diǎn)，去構(gòu)建平行四邊形，從而去證明線(xiàn)面平行；解法二關(guān)鍵構(gòu)建平行平面，從而去證明線(xiàn)面平行.（2）首先證明正交基底垂直關(guān)系，平面，然后建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)選擇的條件①或條件②，來(lái)確定各點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用空間向量法求兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)空間向量求空間角的思想，最后可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解法一：證明：取的中點(diǎn)，連接，則，且，又因?yàn)椋郧?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線(xiàn)平面.解法二：證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉閭?cè)棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以平?【小問(wèn)2詳解】如圖，連接，因?yàn)?，所以因?yàn)槭堑冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所?以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，選擇①：設(shè)，由，其中為點(diǎn)到平面的距離，得，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則取，得，又是平面的一個(gè)法向量，所以平面與平面所成角的余弦值為.選擇②：設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，又點(diǎn)到平面距離為，所以，所以，所以，以下與選擇①的解題過(guò)程相同.17.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)中恰有兩個(gè)點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.若點(diǎn)在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，問(wèn)：是否存在，使得點(diǎn)都在上，若存在，請(qǐng)求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）分析出在上，不在上，直接代入求解即可；（2）根據(jù)題意用表示出，再根據(jù)橢圓的定義判斷出點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷結(jié)果.小問(wèn)1詳解】因?yàn)榕c關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在上，所以在上，不在上，所以，又因?yàn)椋?，所以的方程?【小問(wèn)2詳解】存在，使得點(diǎn)都在上.理由如下：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上，又因?yàn)榈慕裹c(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)都在橢圓上，所以存在，使得點(diǎn)都在上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，關(guān)鍵在于表示出兩邊之和的關(guān)系，利用橢圓的定義得到的軌跡，以此來(lái)得到結(jié)果.18.某汽車(chē)廠(chǎng)商生產(chǎn)某型號(hào)具有自動(dòng)駕駛功能的汽車(chē)，該型號(hào)汽車(chē)配備兩個(gè)相互獨(dú)立的自動(dòng)駕駛系統(tǒng)（記為系統(tǒng)和系統(tǒng)），該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后，先啟動(dòng)這兩個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)中的一個(gè)，若一個(gè)出現(xiàn)故障則自動(dòng)切換到另一個(gè)系統(tǒng).為了確定先啟動(dòng)哪一個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行如下試驗(yàn)：每一輪對(duì)系統(tǒng)和分別進(jìn)行測(cè)試試驗(yàn)，一輪的測(cè)試結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)故障的次數(shù)比另一個(gè)系統(tǒng)少2次時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為出現(xiàn)故障少的系統(tǒng)比另一個(gè)系統(tǒng)更穩(wěn)定.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若系統(tǒng)不出現(xiàn)故障且系統(tǒng)出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得1分，系統(tǒng)得1分；若系統(tǒng)出現(xiàn)故障且系統(tǒng)不出現(xiàn)故障，則系統(tǒng)得1分，系統(tǒng)得1分；若兩個(gè)系統(tǒng)都不出現(xiàn)故障或都出現(xiàn)故障，則兩個(gè)系統(tǒng)均得0分.系統(tǒng)出現(xiàn)故障的概率分別記為和，一輪試驗(yàn)中系統(tǒng)的得分為分.（1）求的分布列；（2）若系統(tǒng)和在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予2分，表示“系統(tǒng)的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為系統(tǒng)比系統(tǒng)更穩(wěn)定”的概率，則，，其中.現(xiàn)根據(jù)的值來(lái)決定該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后先啟動(dòng)哪個(gè)系統(tǒng)，若，則先啟動(dòng)系統(tǒng)；若，則先啟動(dòng)系統(tǒng)；若，則隨機(jī)啟動(dòng)兩個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)，且先啟動(dòng)系統(tǒng)的概率為.①證明：；②若，由①可求得，求該型號(hào)汽車(chē)啟動(dòng)自動(dòng)駕駛功能后無(wú)需自動(dòng)切換到另一個(gè)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的概率.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②0.9988.【解析】【分析】（1）由題意可得的所有可能取值為，再由相互獨(dú)立試驗(yàn)的概率求出各取值的概率，列出分布列即可；（2）①將（1）中概率代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合進(jìn)行計(jì)