第二章 直線與圓單元測試（提升卷）（解析版）

試卷第=page2424頁，總=sectionpages2424頁試卷第=page11頁，總=sectionpages2424頁第二章直線與圓單元過關(guān)檢測能力提高B版解析版學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知直線過點(diǎn)且與線段的延長線有公共點(diǎn)，若，，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先作出直線與線段的延長線，再結(jié)合圖像觀察即可得解.【詳解】解：由圖像可知：要使直線與線段的延長線有公共點(diǎn)，則，又，則直線的斜率的取值范圍是，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的斜率，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.2．已知滿足，則直線必過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題先代換得，再化簡直線方程為，最后建立方程組求所過定點(diǎn).【詳解】由，得，代入直線方程中，得，即.令解得該直線必過定點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線所過定點(diǎn)問題，是基礎(chǔ)題.3．若動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上移動(dòng)，則中點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為()A． B． C． D．【答案】A【分析】先求中點(diǎn)所在的直線方程，再求原點(diǎn)到直線的距離得解.【詳解】點(diǎn)一定在直線，即，∴到原點(diǎn)的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的軌跡問題，考查點(diǎn)到直線的距離，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.注意夾在兩條平行直線正中間的平行線方程為.4．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先將圓用配方法寫成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心，再求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)半徑相等即可求解【詳解】，故圓心坐標(biāo)為，半徑為2，設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，解得，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，由圓心和半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題5．若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與，無關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到兩條平行直線的距離之和來求解實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】依題意表示到兩條平行直線和的距離之和與無關(guān)，故兩條平行直線和在圓的兩側(cè)，畫出圖像如下圖所示，故圓心到直線的距離，解得或（舍去）故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6．我們把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形．其作法如下：①作一個(gè)正方形；②以的中點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圓，交延長線于；③以為圓心，以長為半徑作⊙；④以為圓心，以長為半徑作⊙交⊙于，則為黃金三角形．根據(jù)上述作法，可以求出

A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨假設(shè)，則，故,選B.7．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q、P的距離之比，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又所以，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓上動(dòng)點(diǎn)問題，考查兩點(diǎn)間直線最短.8．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn)為A(0,0)，B(4,0)，，則該三角形的歐拉線方程為()A．B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)A,B,C坐標(biāo)得出重心G的坐標(biāo)，設(shè)的外心為,可得，從而解出，利用點(diǎn)斜式即可得出歐拉線.【詳解】的頂點(diǎn)為A(0，0)，B(4，0)，，∴重心.設(shè)的外心為，則，即，解得，∴W(2，0).則該三角形的歐拉線即直線GW的方程為，化簡.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程的求法，利用點(diǎn)斜式求方程時(shí)要知道直線的斜率以及直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題.二、多選題9．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過，兩點(diǎn)的所有直線的方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】ACD【分析】對(duì)于A．根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件進(jìn)行判斷；對(duì)于B．根據(jù)直線斜率以及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷；對(duì)于C．當(dāng)直線和坐標(biāo)軸平行時(shí)，不滿足條件；對(duì)于D．過原點(diǎn)的直線也滿足條件．【詳解】解：對(duì)于A．當(dāng)，兩直線方程分別為和，此時(shí)也滿足直線垂直，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B．直線的斜率，則，即，則，，故B正確，對(duì)于C．當(dāng)，或，時(shí)直線方程為，或，此時(shí)直線方程不成立，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D．若直線過原點(diǎn)，則直線方程為，此時(shí)也滿足條件，故D錯(cuò)誤，故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及直線方程，直線斜率以及直線垂直的位置關(guān)系的判斷，難度不大．10．已知圓與圓的圓心不重合，直線．下列說法正確的是（）A．若兩圓相交，則是兩圓的公共弦所在直線B．直線過線段的中點(diǎn)C．過直線上一點(diǎn)（在兩圓外）作兩圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則D．直線與直線相互垂直【答案】ACD【分析】A.直接利用兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程判斷；B.表示出線段MN的中點(diǎn)判斷是否在直線l上即可；C.由切線長定理判斷；D.利用直線的斜率判斷.【詳解】A.聯(lián)立兩圓方程得：整理得：，為兩圓的公共弦所在直線，故正確；B.設(shè)圓M的半徑為，圓N的半徑為，,，線段MN的中點(diǎn)為，則，，所以當(dāng)兩圓半徑相等時(shí)成立，故錯(cuò)誤；C.設(shè)，則，由切線長定理得：，，所以，即，故正確；D.因?yàn)椋?，所以直線MN的斜率，直線的斜率為，則，所以直線相互垂直，故正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，切線長定理，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.11．以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】BCD【分析】A.將直線方程進(jìn)行重新整理，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可；B.根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可判斷；C.通過題意可得兩圓相切，則兩圓心的距離為半徑和，即可求得的值；D.設(shè)出點(diǎn)，求出以線段為直徑的圓的方程，題中的切點(diǎn)、為圓與圓的交點(diǎn)，將兩圓作差求出公共弦的方程，即可發(fā)現(xiàn)直線經(jīng)過的定點(diǎn).【詳解】解：A.直線得，

由，得，即直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B.圓心到直線的距離，圓的半徑，故圓C上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故B正確；C.曲線，即，曲線，即，兩圓心的距離為，解得，故C正確；D.因?yàn)辄c(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，圓的圓心為，以線段為直徑的圓的方程為，即故直線圓與圓的公共弦方程為：，即，此直線即為直線，經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)在直線上，即直線經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.故選BCD.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，可靈活應(yīng)用以下結(jié)論解題：（1）圓與圓的公共弦方程為：；（2）以點(diǎn)的連線為直徑的圓的方程為：.12．已知圓為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且為弦的中點(diǎn)，.當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A．-3 B．-2 C．0 D．1【答案】AD【分析】先求得點(diǎn)的軌跡方程，然后根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得的取值范圍，進(jìn)而求得正確選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑為.為的中點(diǎn)，，所以，設(shè)，則，所以點(diǎn)的軌跡方程為.即在圓心為，半徑為的圓上.，都在直線上，且，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，以為圓心，半徑為的圓與圓外離時(shí)，始終有為銳角，所以，即，，所以或，即或.所以AD選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查圓與圓的位置關(guān)系.三、填空題13．已知直線：被圓：截得的弦長等于該圓的半徑，則______．【答案】2或【分析】求出圓心到直線的距離，由題可得，由此可求出.【詳解】可得圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.14．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與圓和圓都相切，且兩個(gè)圓的圓心均在直線的下方，則直線的斜率為__________．【答案】7【解析】由題意可采用數(shù)形結(jié)合法，兩圓的圓心坐標(biāo)及半徑分別為，，則直線的斜率為1，其傾斜角為，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，兩直線的交點(diǎn)為，其夾角為，兩個(gè)切點(diǎn)為，如圖所示，則，，故，又，由兩角差的正切公式得，，解得.點(diǎn)睛：此題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)定義，兩角和差的正切公式，以及數(shù)形結(jié)合法等有關(guān)方面的知識(shí)，屬于中高檔題型，也是高頻考點(diǎn).用數(shù)形結(jié)合的方法解決解析幾何問題時(shí)，一方面要發(fā)揮圖形的直觀、形象的作用，另一方面則要注意畫圖的準(zhǔn)確性、完整性和對(duì)圖形觀察的細(xì)致，并注意結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算來完成.15．如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O的半徑為1，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，圓O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)P的速度大小是點(diǎn)Q的兩倍，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周的過程中，的最大值是_______.【答案】2【分析】利用轉(zhuǎn)速是兩倍關(guān)系得轉(zhuǎn)角為兩倍，設(shè)出后，推出，然后根據(jù)三角函數(shù)坐標(biāo)定義可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用數(shù)量積公式計(jì)算，最后用正弦函數(shù)最值可得．【詳解】設(shè)，根據(jù)題意得，，且，依題意得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，向量數(shù)量積等概念，本題根據(jù)題意求出依題意得，是解決本題的關(guān)鍵.16．以三角形邊，，為邊向形外作正三角形，，，則，，三線共點(diǎn)，該點(diǎn)稱為的正等角中心．當(dāng)?shù)拿總€(gè)內(nèi)角都小于120o時(shí)，正等角中心點(diǎn)P滿足以下性質(zhì)：（1）；（2）正等角中心是到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)（也即費(fèi)馬點(diǎn)）．由以上性質(zhì)得的最小值為_________【答案】【分析】由題可知，所要求的代數(shù)式恰好表示平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)距離之和，所以首先要把代數(shù)式中三個(gè)距離的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)找到，再根據(jù)題干所述找到相應(yīng)的費(fèi)馬點(diǎn)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，令點(diǎn)，，，則表示坐標(biāo)系中一點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離之和，因?yàn)槭堑妊切?，，所以點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，所以與軸重合，令的費(fèi)馬點(diǎn)為，則在上，則，因?yàn)槭卿J角三角形，由性質(zhì)（1）得，所以，所以，所以，，到、、的距離分別為，，所以的最小值，即為費(fèi)馬點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離之和，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)題給新定義的性質(zhì)解題，涉及三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離的應(yīng)用，理解新定義是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.四、解答題17．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，、是圓的兩條切線，A、B是切點(diǎn).（1）求四邊形面積的最小值；（2）直線上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）不存在；答案見解析.【分析】（1）如圖，而，所以只要當(dāng)最小時(shí)，四邊形面積取最小值，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離；（2）由（1）知圓心C到直線的最小距離為3，即，而要使，就要，所以不存在【詳解】解析（1）易知.如圖，連接，易知.因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小.的最小值即為點(diǎn)C到直線的距離，故，所以，所以，即四邊形面積的最小值為.（2）不存在.理由：由（1）知圓心C到直線的最小距離為3，即，要使，則，顯然不成立，所以這樣的點(diǎn)P是不存在的.【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18．已知直線和圓，過直線上的一點(diǎn)作兩條直線，與圓C相切于A，B兩點(diǎn).（1）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，求以為直徑的圓的方程，并求直線的方程；（2）設(shè)切線與的斜率分別為，，且時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】（1）圓的方程為，直線的方程為；（2）或.【分析】（1）求出圓心即中點(diǎn)坐標(biāo)，和半徑可得圓方程，與已知圓方程相減可得直線方程；（2）設(shè)過P的直線l方程，整理得到：含的方程，進(jìn)而利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【詳解】解：（1）圓，可化為，中點(diǎn)為，，∴以為直徑的圓的方程為圓，∵，，∴P，A，B，C四點(diǎn)共圓E，∴直線的方程是兩圓公共弦所在直線方程，兩方程相減可得直線的方程為；（2）設(shè)過P的直線l方程為，由于與直線l相切，得到，整理得到：，∴，代入，可得，∴或，∴點(diǎn)P坐標(biāo)或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：設(shè)過P的直線l方程，由于與直線l相切，得到，進(jìn)而得到方程，最后利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)P坐標(biāo)，屬于中檔題19．已知，為上三點(diǎn).（1）求的值；（2）若直線過點(diǎn)(0，2)，求面積的最大值；（3）若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值為：.【分析】（1）由為圓上的點(diǎn)即可得；（2）設(shè)，，，，根據(jù)利用韋達(dá)定理即可求解；（3）直線和直線的斜率之積為，設(shè)，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．【詳解】解：（1）∵為圓上，所以∴（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，將代人得，所以令，則，當(dāng)，即時(shí)面積取得最大值（3）設(shè)直線和直線的斜率之積為設(shè)，，則①，因?yàn)?，為圓上，所以，化簡得整理得②因?yàn)?，所以從而，又因?yàn)闉榍€的動(dòng)點(diǎn)所以展開得將①代入得化簡得將②代人得，整理得，因?yàn)樗詮亩炙浴军c(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用，屬于中檔題．20．已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若與曲線交于不同的、兩點(diǎn)，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率；（3）若，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)為、，探究：直線是否過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)請(qǐng)寫出坐標(biāo)，若不存在則說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)列出方程化簡，即可求解軌跡方程；（2）依題意知，且，則點(diǎn)到邊的距離為1，列出方程，即可求解；（3）根據(jù)題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，即可求解．【詳解】（1）由題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，即，整理得，所以所求曲線的軌跡方程為．（2）依題意，，且，由圓的性質(zhì)，可得點(diǎn)到邊的距離為1，即點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以所求直線的斜率為．（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，即圓的方程為，又因?yàn)樵谇€上，由，可得，即直線的方程為，由且，可得，解得，所以直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到點(diǎn)到直線的距離公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題．21．如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為.（Ⅰ）已知，求切線的方程；（Ⅱ）直線是否過定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）若，兩條切線分別交軸于點(diǎn)，記四邊形面積為，三角形面積為，求的最小值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）是，；（Ⅲ）25.【分析】（Ⅰ）分切線的斜率存在和不存在兩種情況，斜率存在時(shí)由圓心到直線的距離等于半徑可得切線的方程；（Ⅱ）由題意求出以為圓心，以為半徑的圓的方程，與圓聯(lián)立可得弦所在的直線的方程，可得直線恒過定點(diǎn)；（Ⅲ）由題意求出面積，的表達(dá)式，求出面積之積的表達(dá)式，換元，由均值不等式可得其最小值．【詳解】（Ⅰ）情況1.當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，有切線情況2.設(shè)切線：，即.由得，解得，切線為綜上：切線為（Ⅱ）在以點(diǎn)為圓心，切線長為半徑的圓上，即在圓：上聯(lián)立得所以過定點(diǎn)(Ⅲ)設(shè)；得，，切線統(tǒng)一記為，即由得，得兩根為所以所以，則記當(dāng)，即時(shí)，【點(diǎn)睛】解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙