數(shù)學(xué)建模-模糊數(shù)學(xué)

一模糊集合及其運(yùn)算二模糊聚類(lèi)分析三模糊綜合評(píng)判四模糊線(xiàn)性規(guī)劃Part2:模糊數(shù)學(xué)2024/10/31一、經(jīng)典集合與特征函數(shù)集合：具有某種特定屬性的對(duì)象集體。通常用大寫(xiě)字母A、B、C等表示。論域：對(duì)局限于一定范圍內(nèi)進(jìn)行討論的對(duì)象的全體。通常用大寫(xiě)字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個(gè)對(duì)象u稱(chēng)為U的元素。模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31在論域U中任意給定一個(gè)元素u及任意給定一個(gè)經(jīng)典集合A，則必有或者，用函數(shù)表示為：其中函數(shù)稱(chēng)為集合A的特征函數(shù)。模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31羅素（Russell）悖論：在一個(gè)孤島上唯一的一個(gè)理發(fā)師，其工作是“專(zhuān)門(mén)替那些不給自己刮胡子的人刮胡子”，現(xiàn)問(wèn)理發(fā)師本人該不該給自己刮胡子？取論域U={全島刮胡子的人}，集合A={不給自己刮胡子的人}，用特征函數(shù)刻畫(huà)為問(wèn)題：顯然理發(fā)師，那么理發(fā)師是否屬于A？模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31二、模糊集合及其運(yùn)算美國(guó)控制論專(zhuān)家Zadeh教授正視了經(jīng)典集合描述的“非此即彼”的清晰現(xiàn)象，提示了現(xiàn)實(shí)生活中的絕大多數(shù)概念并非都是“非此即彼”那么簡(jiǎn)單，而概念的差異常以中介過(guò)渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象?；诖耍?965年，Zadeh教授在《InformationandControl》雜志上發(fā)表了一篇開(kāi)創(chuàng)性論文“FuzzySets”,標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。模糊集合及其運(yùn)算2024/10/311、模糊子集定義：設(shè)U是論域，稱(chēng)映射確定了一個(gè)U上的模糊子集。映射稱(chēng)為隸屬函數(shù)，稱(chēng)為對(duì)的隸屬程度，簡(jiǎn)稱(chēng)隸屬度。模糊子集由隸屬函數(shù)唯一確定，故認(rèn)為二者是等同的。為簡(jiǎn)單見(jiàn)，通常用A來(lái)表示和。模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31模糊子集通常簡(jiǎn)稱(chēng)模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對(duì)模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個(gè)小數(shù)的集合”可表示為可省略模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無(wú)限集，其上的模糊集表示為：模糊集合及其運(yùn)算2024/10/312、模糊集的運(yùn)算定義：設(shè)A，B是論域U的兩個(gè)模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31幾個(gè)常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環(huán)和、乘積算子模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子模糊集合及其運(yùn)算2024/10/313、模糊矩陣定義：設(shè)稱(chēng)R為模糊矩陣。當(dāng)只取0或1時(shí)，稱(chēng)R為布爾（Boole）矩陣。當(dāng)模糊方陣的對(duì)角線(xiàn)上的元素都為1時(shí)，稱(chēng)R為模糊自反矩陣。（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算定義：設(shè)都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31并：交：余：例：模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31（2）模糊矩陣的合成定義：設(shè)稱(chēng)模糊矩陣為A與B的合成，其中。例：模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設(shè)稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中。（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對(duì)任意的稱(chēng)為模糊矩陣A的截矩陣，其中模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31例：模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計(jì)法模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四個(gè)要素：（1）論域U；（2）U中的一個(gè)固定元素（3）U中的一個(gè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)集合（4）U中的一個(gè)以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運(yùn)動(dòng)?？梢愿采w也可以不覆蓋致使對(duì)A的隸屬關(guān)系是不確定的。模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31特點(diǎn)：在各次試驗(yàn)中，是固定的，而在隨機(jī)變動(dòng)。模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)過(guò)程：（1）做n次試驗(yàn)，計(jì)算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對(duì)A的隸屬度：模糊集合及其運(yùn)算2024/10/312、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。3、其它方法德?tīng)柗品ǎ簩?zhuān)家評(píng)分法；二元對(duì)比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。主要有以下方法：相對(duì)比較法、擇優(yōu)比較法和對(duì)比平均法等。模糊集合及其運(yùn)算2024/10/31模糊聚類(lèi)分析一、基本概念及定理2024/10/31模糊聚類(lèi)分析2024/10/31例：設(shè)對(duì)于模糊等價(jià)矩陣模糊聚類(lèi)分析2024/10/31模糊聚類(lèi)分析2024/10/31例：設(shè)有模糊相似矩陣模糊聚類(lèi)分析2024/10/31二、模糊聚類(lèi)的一般步驟１、建立數(shù)據(jù)矩陣模糊聚類(lèi)分析2024/10/31（1）標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化模糊聚類(lèi)分析2024/10/31（2）極差正規(guī)化（3）極差標(biāo)準(zhǔn)化（4）最大值規(guī)格化其中：模糊聚類(lèi)分析2024/10/31２、建立模糊相似矩陣（1）相似系數(shù)法①夾角余弦法②相關(guān)系數(shù)法模糊聚類(lèi)分析2024/10/31（2）距離法①Hamming距離②Euclid距離③Chebyshev距離模糊聚類(lèi)分析2024/10/31（3）貼近度法①最大最小法②算術(shù)平均最小法③幾何平均最小法模糊聚類(lèi)分析2024/10/313、聚類(lèi)并畫(huà)出動(dòng)態(tài)聚類(lèi)圖（1）模糊傳遞閉包法步驟：模糊聚類(lèi)分析2024/10/31模糊聚類(lèi)分析2024/10/31解：由題設(shè)知特性指標(biāo)矩陣為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為模糊聚類(lèi)分析2024/10/31用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到用平方法合成傳遞閉包模糊聚類(lèi)分析2024/10/31取，得模糊聚類(lèi)分析2024/10/31取，得取，得模糊聚類(lèi)分析2024/10/31取，得取，得模糊聚類(lèi)分析2024/10/31畫(huà)出動(dòng)態(tài)聚類(lèi)圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類(lèi)分析2024/10/31模糊聚類(lèi)分析的簡(jiǎn)要流程:YN2024/10/31模糊模式識(shí)別模式識(shí)別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標(biāo)準(zhǔn)模式，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù)；二是有待識(shí)別的對(duì)象。所謂模糊模式識(shí)別，是指在模式識(shí)別中，模式是模糊的，或說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù)中提供的模式是模糊的。2024/10/31一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識(shí)別2024/10/31按最大隸屬原則，該人屬于老年。解：模糊模式識(shí)別2024/10/31模糊模式識(shí)別2024/10/31模糊模式識(shí)別2024/10/31閾值原則：模糊模式識(shí)別2024/10/31二、擇近原則1、貼近度表示兩個(gè)模糊集A，B之間的貼近程度。模糊模式識(shí)別2024/10/31⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ.模糊模式識(shí)別2024/10/31模糊模式識(shí)別2024/10/31模糊模式識(shí)別2024/10/312、擇近原則模糊模式識(shí)別2024/10/31模糊模式識(shí)別2024/10/31模糊模式識(shí)別2024/10/31模糊綜合評(píng)判一、一級(jí)模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31根據(jù)運(yùn)算的不同定義，可得到以下不同模型：模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31其中：模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31二、多級(jí)模糊綜合評(píng)判（以二級(jí)為例）問(wèn)題：對(duì)高等學(xué)校的評(píng)估可以考慮如下方面模糊綜合評(píng)判2024/10/31二級(jí)模糊綜合評(píng)判的步驟：模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊綜合評(píng)判2024/10/31模糊線(xiàn)性規(guī)劃2024/10/31