北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊《1.5三角函數(shù)的應(yīng)用》同步測試題（附答案）

第第頁北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊《1.5三角函數(shù)的應(yīng)用》同步測試題（附答案）一、解答題1．（1）sin2（2）1?2tan2．計(jì)算tan1°?tan2°?tan3°?…?tan88°?tan89°的值．3．（1）計(jì)算：2sin230°?6（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x?3=0的兩個(gè)實(shí)根，求4．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，AF⊥CD，垂足為F，BD與AE，AF分別相交于點(diǎn)G，H，AG=AH．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AG=2，EG=1．①求sin∠BAE②求?ABCD的面積．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E．連接BE并延長交AC于點(diǎn)F

(1)求證：CD(2)若D為BC的中點(diǎn)，ACBC=26．如圖，一座古塔坐落在小山上(塔頂記作點(diǎn)A，其正下方水平面上的點(diǎn)記作點(diǎn)B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無人機(jī)進(jìn)行測量，但由于某些原因，無人機(jī)無法直接飛到塔頂進(jìn)行測量，因此他先控制無人機(jī)從腳底(記為點(diǎn)C)出發(fā)向右上方(與地面成45°，點(diǎn)A，B，C，O在同一平面)的方向勻速飛行4秒到達(dá)空中O點(diǎn)處，再調(diào)整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達(dá)塔頂，已知無人機(jī)的速度為5米/秒，∠AOC=75°，求小李到古塔的水平距離即BC的長．7．在綜合實(shí)踐課中，小明同學(xué)利用無人機(jī)測量小山AB的高度．如圖，CD是小明同學(xué)，無人機(jī)飛到小山AB的右上方時(shí)，測得山頂A的俯角為37°,AP=10米，測得小明同學(xué)頭頂C的俯角為53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD為1.8米，求小山AB的高度．（已知AB,CD分別與水平線BD垂直且在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53.5°≈0.80，8．某中學(xué)鳳棲堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草間，小剛站在雕像前，自C處測得雕像頂A的仰角為53°，小強(qiáng)站鳳棲堂門前的臺(tái)階上，自D處測得雕像頂A的仰角為45°，此時(shí)，兩人的水平距離EC為0.45m，已知鳳棲堂門前臺(tái)階斜坡CD的坡比為i=1:3．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，(1)計(jì)算臺(tái)階DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港裝運(yùn)新的物資，甲貨輪沿A港的東北方向航行40海里到達(dá)D港，再沿東南方向航行一定距離到達(dá)C港．乙貨輪沿A港的南偏東60°方向航行后到達(dá)B港，再沿北偏西15°方向航行一定距離到達(dá)C港．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，(1)求B，C兩港之間的距離；(2)若甲貨輪的速度為20海里/小時(shí)，乙貨輪的速度為30海里/小時(shí)（?？緽，D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請通過計(jì)算說明．10．冬季是滑雪的最佳時(shí)節(jié)，亞布力滑雪場有初、中、高級各類滑雪道．如圖，其中的兩條初級滑雪道的線路為：①A→B→C→D；②A→E→D．點(diǎn)A是雪道起點(diǎn)，點(diǎn)D是雪道終點(diǎn)，點(diǎn)B、C、E是三個(gè)休息區(qū)．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東30°方向1800米處，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正南方向2000米處，點(diǎn)D在C的西南方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的西南方向1300米處，點(diǎn)E在點(diǎn)D的正北方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3(1)求CD的長度；（精確到1米）(2)小外一家周末去亞布力滑雪，小外沿滑雪道線路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途經(jīng)的每個(gè)休息區(qū)都各休息了5分鐘；小外的爸爸比小外晚出發(fā)2分鐘，以3米/秒的速度沿滑雪道線路②滑完全程，且中途沒有休息．請計(jì)算說明小外和爸爸誰先到達(dá)終點(diǎn)D．11．某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測量，活動(dòng)過程如下：

(1)探究原理：制作測角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G測量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此時(shí)目標(biāo)P的仰角是圖②中的∠_____．目標(biāo)P(2)拓展應(yīng)用：公園高臺(tái)上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論，決定先在水平地面上選取觀測點(diǎn)E、F，E、F、H在同一直線上，分別測得點(diǎn)P的仰角a=45°、β=30°，測得E、F間的距離2米，點(diǎn)O1、O2到地面的距離12．如圖，Rt△ABO中，∠ABO=90°，AB=2，反比例函數(shù)y=?8x(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)直線CD垂直平分AO，交AO于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，求線段OE的長．13．隨著南海局勢的升級，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機(jī)場，設(shè)立雷達(dá)塔．某日，在雷達(dá)塔A處偵測到東北方向上的點(diǎn)B處有一艘菲律賓漁船進(jìn)入我方偵測區(qū)域，且以30海里/時(shí)的速度往正南方向航行，我方與其進(jìn)行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了1小時(shí)10分到達(dá)點(diǎn)A南偏東53°方向的C處，與此同時(shí)我方立即通知（通知時(shí)間忽略不計(jì)）與A、C在一條直線上的中國海警船往正西方向?qū)υ摑O船進(jìn)行偵測攔截，其中海警船位于與A相距100海里的D處．(1)求AC的距離和點(diǎn)D到直線BC的距離；(2)若海警船航行速度為40海里/時(shí)，可偵測半徑為25海里，當(dāng)海警船航行1小時(shí)時(shí)，是否可以偵測到菲律賓漁船，為什么？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos14．綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組利用直角尺和皮尺測量建筑物AB和CD的高，因?yàn)檫@兩棟建筑物高度相同，于是這個(gè)小組設(shè)計(jì)出一種簡捷的方案，如圖所示：（1）把直角尺的頂點(diǎn)E放在兩棟建筑物之間的地面上，調(diào)整位置使直角尺的兩邊EM，EN所在直線分別經(jīng)過建筑物外立面的的頂部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的長度；（3）通過計(jì)算得到建筑物的高度．若示意圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，M，N均在同一平面內(nèi)．測得BE=9m，DE=3615．圖1所示是屹立在于都縣紀(jì)念廣場的中央紅軍長征出發(fā)紀(jì)念碑，它是由呈雙帆造型的碑身與方形底座兩部分組成的，底座下方是臺(tái)階，臺(tái)階的橫截面如圖2所示．已知臺(tái)階的坡面DE的坡度i=1:3，坡面DE的長為2.4(1)計(jì)算坡面DE的鉛直高度；(2)如圖3，為了測量紀(jì)念碑的高度，亮亮站在紀(jì)念碑正前方廣場上的點(diǎn)G處用高1.64m的測角儀GH，測得紀(jì)念碑碑身頂端A的仰角是35°，繼續(xù)向紀(jì)念碑前進(jìn)8.1m到達(dá)點(diǎn)K處，此時(shí)測得紀(jì)念碑頂端45°，求紀(jì)念碑的實(shí)際高度AC．（結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：16．如圖1是超市的手推車，如圖2是其側(cè)面示意圖，已知前后車輪半徑均為5cm，兩個(gè)車輪的圓心的連線AB與地面平行，測得支架AC=BC=60cm，AC、CD所在直線與地面的夾角分別為30°、60°，(1)求扶手前端D到地面的距離；(2)手推車內(nèi)裝有簡易寶寶椅，EF為小坐板，打開后，椅子的支點(diǎn)H到點(diǎn)C的距離為10cm，DF=20cm，EF∥AB，17．千廝門大橋是重慶最具特色的斜拉橋之一，也是重慶的“網(wǎng)紅打卡地”之一，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們欲測量千廝門大橋橋塔的高度，如圖2，他們在橋下水平地面上架設(shè)測角儀CM（測角儀垂直于地面放置），此時(shí)測得橋塔最高點(diǎn)A的∠ACE=30°，然后將測角儀沿MB向前水平移動(dòng)132米達(dá)到點(diǎn)N處，并測得橋塔最高點(diǎn)A的∠ADE=45°，測角儀高度CM=DN=1.6米．（點(diǎn)M，N，B在同一水平線上，AB⊥BM）（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：(1)求橋塔的高度AB約為多少米？(2)如圖3，在（1）的條件下，小語同學(xué)在洪崖洞的某地Q處測得千廝門大橋橋塔最高點(diǎn)A的∠AQG=30°，最低點(diǎn)B的∠BQG=60°，則小語同學(xué)所在地18．嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當(dāng)α=30°，β=60°時(shí)，驗(yàn)證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，19．閱讀與思考閱讀下列材料，并解決后面的問題．在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，過C作CE⊥AB于E（如圖1），則sinB=CEa，sinA=CEb，即CE=asinB，CE=bsinA，于是運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理，在銳角三角形中，已知三個(gè)元素（至少有一條邊），就可以求出其余三個(gè)未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題：(1)如圖1，在△ABC中，∠A=60°，∠C=45°，BC=30，則AB=______；(2)如圖2，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔北偏東45°方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔的距離為______海里；（結(jié)果保留根號）(3)在（2）的條件下，試求75°的正弦值．（結(jié)果保留根號）20．如圖1，正方形ABCD中，P是邊AD上任意一點(diǎn)，Q是對角線AC上的點(diǎn)，且滿足∠PBQ=45°．(1)①求證：△PDB∽②DPCQ=(2)如圖2，矩形ABCD中，AB=12，AD=5，P、Q分別是邊AD和對角線AC上的點(diǎn)，∠PBQ=∠ACB，DP=3，求CQ的長；(3)如圖3，菱形ABCD中，DH⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)H．若DC=5，對角線AC=6，P、Q分別是線段DH和AC上的點(diǎn)，tan∠PBQ=34，PH=參考答案：1．解：（1）sin==1+2×=2+=2；（2）1?2====?1．2．解：tan1°?tan2°?tan3°?…?tan88°?tan89°＝（tan1°?tan89°）（tan2°?tan88°）…（tan44°?tan46°）?tan45°＝1．3．（1）解：2====?107（2）解：∵a、b是一元二次方程x2∴x+3x?1解得a=?3，b=1或b=?3，a=1，當(dāng)a=?3，b=1時(shí)，則a==?26+20當(dāng)b=?3，a=1時(shí)，則a==?26+44．（1）證明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∴∠BAG＝90°?∠ABE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABE＝∴∠BAG＝∵AG＝∴∠AGH＝∴∠AGB＝∴在△ABG和△ADH中∠AGB∴△ABG≌∴AB＝∴?ABCD是菱形；（2）①解：∵AD∥∴△ADG∽△EBG，∴ADBE∵AG=2,GE=1，∴ADBE∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴BEAB∵AE⊥BC，∴sin∠BAE=②∵sin∠BAE=∴∠BAE=30°，∴cos∠BAE=∴AB=23∴S?5．（1）證明：∵CE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，∵∠CDE+∠DCE=90°,∠DCE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠CDE，∴△CDE∽∴CD∴CD（2）解：∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵CD∴BD∴BD∵∠ADB=∠ADB，∴△ABD∽∴∠ABD=∠BED，∴∠AEF=∠BED=∠ABD，∵∠AEF+∠CEF=90°，∴sin∵∠ACB=90°，ACBC設(shè)AC=2k,BC=3k，∴AB=A∴cos∠ABD=∴sin6．解：過點(diǎn)O作OD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，如圖所示：由題意得：AO=8×5=40米，OC=4×5=20米，OE=BD，OE∥BD，∴∠EOC=∠OCD=45°，∵∠AOC=75°，∴∠AOE=∠AOC?∠EOC=30°，在Rt△OCD中，CD=OC?在Rt△AOE中，OE=AO?∴OE=BD=203∴BC=BD?CD=203∴小李到古塔的水平距離即BC的長為2037．解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥PF于點(diǎn)G，則四邊形BECD和四邊形AEFG都是矩形，∴AE=FG，BE=CD.在Rt△APG中，由題意知∠PAG=37°,AP=10∴PG=sin在Rt△PCF中，由題意知∠PCF=53.5°,PC=80∴PF=sin∴AB=AE+BE=FG+CD=PF?PG+CD=64?6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度約為59.8米．8．（1）解：∵鳳棲堂門前臺(tái)階斜坡CD的坡比為i=1:3，EC為0.45m∴DEEC∴DE=EC即臺(tái)階DE的高度為0.15m（2）解：如圖所示，設(shè)AB的對邊為MN，作DF⊥MN于F，∴由題意得，四邊形NFDE是矩形，∴FN=DE=0.15m，DF=NE設(shè)MN=xm，則MF=在Rt△MFD中，∠MDF=45°∴FD=MF=x?0.15∴NC=NE?EC=x?0.15∴tan53°=MNNC解得x=2.4，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2.4是原方程的解，答：孔子雕像AB的高度約2.4m9．（1）解：過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，∵甲貨輪沿A港的東北方向航行40海里到達(dá)D港，再沿東南方向航行一定距離到達(dá)C港，∴∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=45°，AD=40海里，∴AD=CD=40海里，∴AC=A∵乙貨輪沿A港的南偏東60°方向航行后到達(dá)B港，再沿北偏西15°方向航行一定距離到達(dá)C港．∴∠CAM=∠ABN=30°，∠CBN=90°?15°=75°，∴∠ABC=∠CBN?∠ABN=45°，在Rt△ACM中，∠CAM=30°∴CM=12AC=40在Rt△BCM中，∠ABC=45°∴CB=CMsin45°∴B，C兩港之間的距離約為40海里；（2）解：乙貨輪先到達(dá)C港，理由如下：∵甲貨輪航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里），∴甲貨輪航行的時(shí)間=80∵乙貨輪航行的路程=AB+BC=206∴乙貨輪航行的時(shí)間=20∵3.91<4，∴乙貨輪先到達(dá)C港．10．（1）解：過B作BL⊥DE于L交AN于N，過作EK⊥AN于K，過C作CM⊥DE于M，∵點(diǎn)E在點(diǎn)A的西南方向，∴∠EAK=45°，∴△AEK是等腰直角三角形，∴EK=AK=2∵∠BAN=30°，∠ANB=90°，∴BN=1∵DE∥BC，CM⊥DE，BL⊥DE，EK⊥AN，∴四邊形ELNK，BCML是矩形，∴BC=BL，NL=EK，EL=KN，ML=BC，∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米），∴MC=1819.38米，∵∠MCD=45°，∴△MCD是等腰直角三角形，∴CD=2（2）解：滑雪道線路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米），∴小外滑行的時(shí)間是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分鐘），∵小外途經(jīng)的每個(gè)休息區(qū)都各休息了5分鐘，∴小外在滑雪道線路①共用時(shí)21.2+5×2=31.2（分鐘），∵AN=3∴NK=AN?AK=1558.8?919.38=639.42（米），∴EL=KN=639.42米，∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米），∵△CDM是等腰直角三角形，∴MD=MC=1819.9米，∴滑雪道線路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米），∴小外的爸爸滑行的時(shí)間是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分鐘），∵小外的把爸爸比小外又晚出發(fā)2分鐘，∴小外先到達(dá)終點(diǎn)D．11．解：（1）目標(biāo)P的仰角是圖②中的∠POC

目標(biāo)P的仰角與圖②中的∠NOG相等證明∵∠COG=90°，∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON，∴∠POC=∠GON；（2）解：由題意可得，O1O2由圖可得，tanβ=PDO∴O2D=∵O∴2=PD∴PD=2∴PH=PD+DH=2tan故PH的值為5212．（1）解：∵AB=2，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為?2，∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)y=?8∴y=?8∴A(?2,4)．（2）解：∵A(?2,4)∴AB=2，BO=4，∴AO=2∵CD垂直平分AO，∴OC=12AO=∵∠DOE=90°，∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3，∴∠1=∠2，∴sin∠1=∴OCOE=AB解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E，AF⊥BC于F，由題意得，BC=30×76=35∵∠BAF=45°,∠ACF=53°，∴BF=AF=x，∴x+3解得，x=20，∴34∴AC=A∴CD=AD?AC=75，∴DE=CD?sin答：AC的距離為25海里，點(diǎn)D到直線BC的距離為60海里；（2）能，理由如下：設(shè)1小時(shí)后，海警船到達(dá)點(diǎn)G，菲律賓漁船到達(dá)點(diǎn)H，則DG=40，CH=30，由（1）知CE=CD?cos∴HE=CE?CH=15，GE=DE?DG=20，由勾股定理，得：GH=故可以偵測到菲律賓漁船．14．解：如圖，由題意得，AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠BEA+∠BAE=90°，∠ECD+∠DEC=90°，∵∠MEN=90°，∴∠BEA+∠DEC=90°，∴∠BAE=∠DEC，∴tan即BEAB設(shè)AB=CD=x，可得，9x解得x=18，經(jīng)檢驗(yàn)，x=18是原方程的解，答：兩棟樓的高度為18m15．（1）解：如圖所示：過點(diǎn)D作DH⊥FE于點(diǎn)H，∵i=DH∴設(shè)DH=xm，EH=∵∠DHE=90°,DE=2.4m∴DH∴x2解得：x=±1.2，（負(fù)值舍去），∴CF=DH=1.2m∴坡面DE的鉛直高度為1.2m（2）設(shè)AM=ym∵∠AMI=90°,∠AIM=45°，∴∠MAI=45°，∴∠MAI=∠AIM，∴MI=AM=ym∵∠AHM=35°，∴tan35°=∴yMH∴MH≈y∵M(jìn)H?MI=8.1，∴y0.7∴y=18.9，∴AM=18.9m∴AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54m∴AC=AF?CF=20.54?1.2=19.34m∴紀(jì)念碑的實(shí)際高度AC為19.34m16．（1）解：如圖2，過C作CM⊥AB，垂足為M，又過D作DN⊥AB，垂足為N，過C作CG⊥DN，垂足為G，則∠DCG=60°．則四邊形CMNG為矩形，CM=NG，∵AC=BC=60cm，AC、CD所在直線與地面的夾角分別為30°、60°∴∠A=∠B=30°，則在Rt△AMC中，CM=∵在Rt△CGD中，sin∠DCG=DG∴DG=CD?sin又GN=CM=30cm，前后車輪半徑均為5∴扶手前端D到地面的距離為DG+GN+5=253（2）解：∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH=∠DCG=60°，∵CD=50cm，椅子的支點(diǎn)H到點(diǎn)C的距離為10cm，∴FH=20cm如圖2，過E作EQ⊥FH，垂足為Q，設(shè)FQ=x，在Rt△EQF中，∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x，EQ=3在Rt△EQH中，∠EHD=45°∴HQ=EQ=3∵HQ+FQ=FH=20cm∴3解得x=103∴EF=210答：坐板EF的寬度為20317．（1）解：如圖所示，延長CD，交AB于點(diǎn)F，由題意得：CD=MN=132，DF=BN，∠AFD=90°，CM=DN=BF=1.6，設(shè)DF=x，則CF=x+132，在Rt△ADF中，∠ADF=45°∴AF=x，在Rt△ACF中，∠ACE=30°，tan∴x≈182，經(jīng)檢驗(yàn)x≈182是原方程的解且符合題意，∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴橋塔的高度約為184米（2）解：延長QG交AB于點(diǎn)M，由題意可知QM⊥AB，AB=184∵∠AQG=30°，∠BQG=60°，∠A=60°，∠B=30°，設(shè)AM=y，則BM=184?y，tan∠A=tan∠B=tan30°解得：y≈46.2∴QM=AM·故Q處與AB的水平距離約為80米18．（1）解：∵sin30°=12∴sin2（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中，sinα=ac，∴sin2（3）解：tanα=在Rt△ABC中，sinα=ac，∴tanα=∴tanα=19．（1）解：由題意可知：asin∵∠A=60°，∠C=45°，BC=30，∴BCsin60°=∴