滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(八)構(gòu)造全等三角形的方法課件

專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(八)構(gòu)造全等三角形的方法1.在△ABC中,點(diǎn)E在AC邊上,D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE交BC

于點(diǎn)F.若BD=CE,DF=EF,求證:∠C+∠DBF=180°.類型一作平行線法證明如圖,過點(diǎn)E作EG∥AB,交BC于點(diǎn)G,則∠FEG=∠D.在△FBD和△FGE中,

∴△FBD≌△FGE(ASA),∴∠DBF=∠EGF,BD=EG.∵BD=CE,∴EG=CE,過點(diǎn)E作EH

⊥BC于點(diǎn)H,如圖,在Rt△HGE和Rt△HCE中,

∴Rt△HGE≌Rt△HCE(HL),∴∠EGH=∠C,∵∠EGH+∠EGF=180°,∴∠C+∠DBF=180°.類型二延長(zhǎng)構(gòu)造法2.(2024遼寧大連金州期末)如圖,AD∥BC,AE平分∠BAD,BE

平分∠ABC,點(diǎn)E在DC上,求證:AD+BC=AB.證明如圖,延長(zhǎng)AE,BC交于點(diǎn)F,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F.∵AE平分∠BAD,∴∠DAF=∠

BAE,∴∠F=∠BAE.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE,∵BE=BE,∴△ABE≌△FBE(AAS),∴AB=BF,AE=EF.在△ADE與△FCE中,

∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=CF.∴AB=BF=BC+CF=BC+AD.類型三倍長(zhǎng)中線法3.如圖,AD是△ABC的中線,BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且∠

CAD=∠AFE.求證:AC=BF.證明如圖,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M,使AD=DM,連接BM.

∵AD是△ABC的中線,∴CD=BD.在△ADC和△MDB中,

∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M,∵∠CAD=∠AFE,∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠CAD=∠M.過點(diǎn)B作BG⊥DM于點(diǎn)G,如圖,

則∠BGF=∠BGM=90°.在△BGF和△BGM中,

∴△BGF≌△BGM(AAS),∴BF=BM,∴AC=BF.方法歸納

遇到三角形的中線問題,常會(huì)延長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)的線段與

原中線長(zhǎng)度相等,構(gòu)造全等三角形,這種方法稱為倍長(zhǎng)中線

法.倍長(zhǎng)中線法是在證明三角形全等時(shí)常用的作輔助線的方

法,具有構(gòu)造全等三角形,平移線段等作用.用倍長(zhǎng)中線法證

明三角形全等的過程:(1)延長(zhǎng)已知中線到某點(diǎn),使新線段(延

長(zhǎng)的那部分線段)的長(zhǎng)等于已知中線的長(zhǎng);(2)利用“SAS”證

明三角形全等.類型四截長(zhǎng)補(bǔ)短法4.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,若AC=5,AB=3,

求BD的長(zhǎng).解析如圖,在AC上截取AE=AB,連接DE,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,

∴△ABD≌△AED(SAS),∴∠B=∠AED,BD=DE,∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C.∵∠AED=∠C+∠CDE,∴

∠CDE=∠C.過E作EF⊥BC于F,則∠EFC=∠EFD.∵EF=EF,

∴△EFD≌△EFC(AAS),∴DE=CE,∴BD=EC.∵AC=5,AB=

AE=3,∴BD=CE=AC-AE=2.方法歸納

截長(zhǎng)補(bǔ)短法主要用來證明線段的和差問題.截長(zhǎng)法:在較

長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于要