【數(shù)列極限的求解方法及其應(yīng)用探究（論文）8900字】

]：數(shù)列收斂的充要條件是對(duì)?ε>0，總存在自然數(shù)，使當(dāng)都大于,都有an?am<ε.上述定義中，我們需要注意到的一個(gè)問(wèn)題是，在實(shí)數(shù)域中，該準(zhǔn)則只是數(shù)列極限的一個(gè)充分不必要條件。在運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則求極限時(shí)，我們可以不用確定該數(shù)列的極限是否存在，它在理論上就可以大致反映出數(shù)列極限的存在問(wèn)題，通過(guò)分析，我們可以知道：對(duì)于一個(gè)收斂的數(shù)列來(lái)看，收斂數(shù)列的各項(xiàng)值越到后面，各項(xiàng)便越是接近，直至達(dá)到這樣一種收斂的狀態(tài)，也就是后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值都可小于給定的一個(gè)任意正數(shù)，所以，我們?cè)谑褂迷摐?zhǔn)則時(shí)，首先可以用該準(zhǔn)則判斷所給的數(shù)列的收斂性，如果可以證明最好給出相應(yīng)的證明，最后在考慮求解該數(shù)列的極限。在實(shí)數(shù)域中，我們經(jīng)常運(yùn)用到下面六個(gè)基本定理，即確界定理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，聚點(diǎn)定理，柯西收斂準(zhǔn)則，我們只要知道任意一個(gè)定理，就可以推出另外的五個(gè)定理。因此，柯西收斂準(zhǔn)則在求取數(shù)列極限的方式上與單調(diào)有界定理求取數(shù)列極限有相似之處，即都是先要確定數(shù)列的極限是存在的，再利用相應(yīng)的定理去求解它。在這里，我們需要注意一點(diǎn)，有的數(shù)列的極限不一定存在，即數(shù)列的極限可能不是一個(gè)具體的數(shù)值，但是，當(dāng)我們?cè)谶\(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則時(shí)，我們就能夠很容易的判斷出數(shù)列是否收斂或者發(fā)散，這樣的話(huà)，我們就可以知道該數(shù)列存在與否。下面我們來(lái)看看在下列題型中如何應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則在數(shù)列中的計(jì)算。例1.用柯西收斂準(zhǔn)則證明收斂.先來(lái)分析這個(gè)例題，顯然我們經(jīng)過(guò)其它的一些方法來(lái)嘗試證明其收斂時(shí)，都無(wú)法解答，由此我們想到了用柯西收斂準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行證明，但在使用該準(zhǔn)則進(jìn)行證明時(shí)，柯西收斂的準(zhǔn)則的要求是對(duì)?ε>0，總存在自然數(shù)，使得都大于,都有an?am<ε當(dāng)時(shí)，此題的問(wèn)題就得以證明了，下面是其具體的證明過(guò)程：證明：對(duì)?ε>0，取則對(duì)?n≥m>N,有而由知，故由柯西收斂準(zhǔn)則可知數(shù)列收斂。4.3數(shù)列極限在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用4.3.1利用極限法求解圓的面積在我國(guó)古代劉徽發(fā)現(xiàn)了在《九章算術(shù)》中“周三徑一”的方法來(lái)計(jì)算圓周沒(méi)有精準(zhǔn)度，由此創(chuàng)立了割圓術(shù)來(lái)計(jì)算圓的面積，這個(gè)方法是劉徽利用逐步二分的方法來(lái)分割圓周，最后來(lái)求圓的面積。首先他是把這個(gè)圓周平均的分成了6份，再連接各個(gè)頂點(diǎn)以后構(gòu)成了圓內(nèi)接正六邊形，又接著把這6段相等的圓弧又均等的分為了兩份，這就便形成了圓的正十二邊形，照這樣下去，就會(huì)割得越來(lái)越細(xì)，正多邊形和圓周的誤差就會(huì)越來(lái)越小，直到和圓的周長(zhǎng)重合，這就是“割圓術(shù)”具體做法，其實(shí)這也就是極限中的思想，在具體的求解過(guò)程中實(shí)際上也就是得到了這樣的一組數(shù)列：S6為了簡(jiǎn)便計(jì)算可以設(shè)圓的半徑為，圓內(nèi)接的一個(gè)正邊形中它的任意一條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角為，我們可以先算出其中的一個(gè)三角形的面積（用三角形求面積的兩邊夾角的其中一個(gè)公式，即:），然后就可以得到這個(gè)正六邊形的面積，面積如下：.當(dāng)無(wú)限的增大時(shí)，經(jīng)過(guò)了無(wú)數(shù)次的切割之后，這個(gè)內(nèi)接正邊形的形狀就會(huì)無(wú)限的接近于圓的形狀，這個(gè)時(shí)候它的面積也是在無(wú)限的接近于圓的面積。也即就是用有限的去表示無(wú)限的思想，無(wú)論這個(gè)有多么的大，很明顯得到的結(jié)果其實(shí)也就是一個(gè)近似值，但是隨著無(wú)限增大的時(shí)候，我們就可以得到了圓面積的一個(gè)精確值，得到的正是我們想要的結(jié)果，這也是極限的思想的獨(dú)特的一點(diǎn)。這個(gè)極限的求法需要用到函數(shù)的極限來(lái)輔助求解，當(dāng)時(shí)，有即當(dāng)無(wú)限減小時(shí)，的圖像與直線(xiàn)是重合的，在這種情況下，我們可以用的值來(lái)代替,以在某些領(lǐng)域做近似計(jì)算，那么我們可以得到：,于是，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即上式，則可得到圓的面積：.4.3.2利用數(shù)列極限求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成的面積在解決下述問(wèn)題的前提下，首先得知道微元法，所謂的微元法也就是將要所要研究的對(duì)象不斷的進(jìn)行一個(gè)無(wú)限的細(xì)分，然后接著從其中抽取某一段微小的部分來(lái)著重進(jìn)行討論和研究。再通過(guò)我們對(duì)圖像的分析，找出其中被研究對(duì)象整體變化規(guī)律的一種方法。很顯然，這種方法體現(xiàn)的就是一種極限的思想，然后通過(guò)我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，其中，我們最常用的方法也就是分割，近似求和，取極限，來(lái)求解問(wèn)題，最后將問(wèn)題簡(jiǎn)單化。有了這個(gè)方法，下面我們將以實(shí)例來(lái)求解這種類(lèi)型的幾何問(wèn)題，在解決幾何應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，我們最好通過(guò)數(shù)形結(jié)合的辦法來(lái)解決。求解此類(lèi)幾何問(wèn)題時(shí)，我們最好通過(guò)數(shù)形結(jié)合的辦法來(lái)解決，如求與y=0和x=1圍成的面積時(shí)，首先我們根據(jù)題意畫(huà)出相關(guān)的圖形（見(jiàn)圖1）。圖1在這個(gè)問(wèn)題中將其在將區(qū)間等分為個(gè)小區(qū)間0,1n，1n,2n，…,n?1n,1n,以這些小區(qū)間為底邊，分別以0，1n這個(gè)小矩形的面積之和是我們不妨就定義這樣的一個(gè)數(shù)列，可以看到對(duì)于每個(gè)，它都小于需要求得的“面積”，而且這兩者之間的差別都不會(huì)大于長(zhǎng)為1，寬為的矩形面積，也即，所以，當(dāng)隨著越來(lái)越大的時(shí)候，也將會(huì)無(wú)限接近于我們想要求的“面積”，因此，我們可以定義此面積為：.可以看到使用這種定義面積并求解面積的方法既樸素又很簡(jiǎn)單，是數(shù)列極限在數(shù)學(xué)解題中的一大應(yīng)用.4.4利用數(shù)列極限求方程的數(shù)值解我們都知道，2是一個(gè)無(wú)理數(shù)，那么我們?nèi)绾蝸?lái)運(yùn)用有理數(shù)來(lái)無(wú)限逼近2，以此來(lái)達(dá)到事先就指定的精確度是我們現(xiàn)在所需要解決的問(wèn)題，而2是二次方程的一個(gè)正根，所以這個(gè)問(wèn)題也就是“求解方程的數(shù)值解”。想要解決這個(gè)問(wèn)題，首先，我們得將這個(gè)問(wèn)題重新描述，如下：設(shè)任意給定的，求的近似值，對(duì)給定的的一個(gè)近似值，在以下的兩個(gè)正數(shù)，中，肯定其中有一個(gè)大于，而另外一個(gè)小于，當(dāng)正好就是的時(shí)候，我們就有理由指望這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值，即：當(dāng)時(shí)，它的值可能更加靠近，這就便得到了一個(gè)更好的近似值，不妨我們先來(lái)看下列式子就比較清楚了。可以看出：不論這個(gè)初值如何，很明顯得出的第一次近似值就是過(guò)剩近似值，我們不妨就設(shè)這個(gè)初值本身就是一個(gè)過(guò)剩近似值，則有x0>x0?a>.由這個(gè)不等式我們可以知道：第一次近似值到的距離至多是初值到的距離的一半。當(dāng)我們?cè)俳又貜?fù)上述的步驟以后，便會(huì)產(chǎn)生一系列的數(shù)列其中由此.可見(jiàn)這個(gè)結(jié)果就是，不論有多大，這個(gè)數(shù)值與的距離我們要多小就有多小。讓我們來(lái)觀(guān)察實(shí)際應(yīng)用起來(lái)的便利性，設(shè)想我們要求的是2的近似值，我們不妨就隨機(jī)取其初值（但是這是一個(gè)相當(dāng)粗糙的近似值），不過(guò)想要達(dá)到一個(gè)比較精確的近似值，還得運(yùn)用迭代法，而迭代法就是通過(guò)利用遞推公式或循環(huán)算法來(lái)構(gòu)造序列求解問(wèn)題近似解的一種方法，通過(guò)反復(fù)進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程，來(lái)逐次無(wú)限的逼近近似值，如此下去就可以得到一個(gè)非常理想的近似值，下面我們具體來(lái)看一下反復(fù)運(yùn)用迭代法產(chǎn)生的結(jié)果如下：通過(guò)分析上述內(nèi)容，可以看到上述式子和很是接近，所以當(dāng)?shù)降谖宕尉鸵呀?jīng)很接近真實(shí)值了，很明顯其收斂的速度整體令人滿(mǎn)意，從文獻(xiàn)調(diào)研來(lái)看，只要上述方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是連續(xù)的，且對(duì)應(yīng)零點(diǎn)是孤立的，則存在一個(gè)區(qū)間范圍，只要選取的初始迭代值在該區(qū)間范圍，通過(guò)迭代法求解的近似解序列則一定逐步收斂到真實(shí)值，所以迭代到第五次已是相當(dāng)精確的近似值。5.總結(jié)數(shù)列極限作為數(shù)學(xué)分析中?？疾斓幕A(chǔ)概念之一，不僅需要我們掌握數(shù)列極限的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法，也需要我們能靈活巧妙的應(yīng)用數(shù)列極限的相關(guān)知識(shí)，只有扎實(shí)的掌握數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)，我們才能很好的解決函數(shù)極限及微積分的相關(guān)問(wèn)題，那么我們遇到的一些看似困難的問(wèn)題就可以迎刃而解了。本文主要以數(shù)列極限的求法為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)研究數(shù)列極限的定義、性質(zhì)等簡(jiǎn)單介紹了求解時(shí)常用到的解題方法，再由相關(guān)的方法例題引申到數(shù)列極限在生活中的具體應(yīng)用上。用定義法證明極限值比較抽象，存在很大的局限性。而用單調(diào)有界定理來(lái)證明數(shù)列的收斂性時(shí)，我們?cè)趹?yīng)用中可以不用考慮其極限，但是必須保證其是單調(diào)的。。用迫斂定理求解數(shù)列,應(yīng)用時(shí)局限性更大，因?yàn)槠葦慷ɡ硎菙?shù)列收斂的充分條件.所以在對(duì)待不同類(lèi)型的極限問(wèn)題時(shí)，我們要根據(jù)極限題型的實(shí)際情況，來(lái)選擇合適的求解方法來(lái)求值，對(duì)于解決哪些過(guò)程比較復(fù)雜的數(shù)列極限問(wèn)題時(shí)，我們盡量將數(shù)列化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，在結(jié)合不同的方法求出對(duì)應(yīng)的極限值，對(duì)此，我們要具體問(wèn)題具體分析，活學(xué)活用。本文主要從數(shù)列極限的理論角度概述了數(shù)列極限的定義與收斂數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)求解數(shù)列極限的類(lèi)型歸納總結(jié)了數(shù)列極限的方法技巧，同時(shí)，引用具體的實(shí)例分析了數(shù)列極限在數(shù)學(xué)分析中的實(shí)際應(yīng)用，分析數(shù)列極限的求解方法可以培養(yǎng)學(xué)生的極限思維能力，進(jìn)而運(yùn)用不同的定理來(lái)理解數(shù)列極限在解題中的應(yīng)用參考文獻(xiàn)[1]林潘能.數(shù)列極限不同求解方法及應(yīng)用[J].報(bào)刊薈萃,2018,000(007):P.244-244.[2]景慧麗.極限求解方法研究[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2015,31(05):16-22.[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第四版)上冊(cè)[M].高等教育出版社，2010,7：23-260.[4]葛喜芳.數(shù)列極限的幾種計(jì)算方法[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2013(03):63-65.[5]李婧祎.數(shù)列極限在實(shí)際中的應(yīng)用研究[J].赤子(下旬),2016[6]唐燕武.極限的幾種求解方法[J].自然科學(xué)版,2009,15(3):86-87.[7]周淑娟，郭曉沛，李澎濤.淺談N項(xiàng)和數(shù)列極限的幾種求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2019,22(5):45-47.[8]李素峰.談數(shù)列極限證明中的“放大法”[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào),2009,11(04):4-7.[9]花中東.淺談高等數(shù)學(xué)中幾種數(shù)列的求法[J].池州學(xué)院學(xué)報(bào),2007,21(5):127-128.[10]王淑芳.數(shù)列極限的求解方法研究[J].高教學(xué)刊,2015,16:199-200.[11]但仲康,張亞，朱偉.數(shù)列極限的求解方法與技巧探討[J].教育教學(xué)論壇,2018,16:202[12]塔懷鎖.數(shù)列極限的幾種特殊求解方法[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2011(02):72-74[13]李陽(yáng).定積分中微元法及其應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代鹽化工,