《2 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)》講義

《2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)》講義一、課程導(dǎo)入同學(xué)們，咱們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的概念，今天呢，咱們要深入研究一下對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。就像我們認識一個人，光知道他叫什么還不夠，還得了解他的脾氣秉性一樣，咱們得好好探究對數(shù)函數(shù)這個家伙到底有哪些特點。二、知識講解（一）對數(shù)函數(shù)的定義域1、回顧對數(shù)函數(shù)的定義對數(shù)函數(shù)的表達式是$y＝＼log_{a}x$（＄a＞0$且$a＼neq1$）。2、定義域的確定同學(xué)們想一下，對數(shù)函數(shù)里這個$x$有沒有什么限制呢？對數(shù)函數(shù)中，真數(shù)得是大于0的數(shù)。為啥呢？因為對數(shù)是指數(shù)的逆運算，比如說$a^｛y}＝x$，＄a$是正數(shù)，不管$y$取什么值，＄x$肯定是大于0的。所以對數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$的定義域就是$（0,＋＼infty)＄。這就好比一個房子，只有符合條件（大于0）的數(shù)才能住進來成為對數(shù)函數(shù)這個房子里的居民。（二）對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1、分情況討論當(dāng)$a＞1$時，咱們來看個例子，比如說$y=＼log_{2}x$。我們可以取幾個特殊的點來看看，當(dāng)$x＝1$時，＄y=＼log_{2}1＝0$；當(dāng)$x＝2$時，＄y=＼log_{2}2＝1$；當(dāng)$x＝4$時，＄y=＼log_{2}4＝2$。同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒有，隨著$x$的值越來越大，＄y$的值也越來越大。這就是說當(dāng)$a＞1$時，對數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$在定義域$（0,＋＼infty)＄上是單調(diào)遞增的。當(dāng)$0＜a＜1$時，比如$y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝x$。同樣取幾個點，當(dāng)$x＝1$時，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝1＝0$；當(dāng)$x=＼frac{1}｛2}＄時，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝＼frac{1}｛2}＝1$；當(dāng)$x=＼frac{1}｛4}＄時，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝＼frac{1}｛4}＝2$。這次我們發(fā)現(xiàn)，隨著$x$的值越來越大，＄y$的值卻越來越小。所以當(dāng)$0＜a＜1$時，對數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$在定義域$（0,＋＼infty)＄上是單調(diào)遞減的。2、總結(jié)這就好比我們跑步，當(dāng)$a＞1$的時候，對數(shù)函數(shù)這個運動員是越跑越遠（＄y$值隨著$x$增大而增大）；當(dāng)$0＜a＜1$的時候，這個運動員是越跑越近（＄y$值隨著$x$增大而減?。?。（三）對數(shù)函數(shù)的奇偶性1、判斷方法對于對數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$，它的定義域是$（0,＋＼infty)＄，這個定義域是關(guān)于原點不對稱的。同學(xué)們想想，一個函數(shù)要是有奇偶性，它的定義域得關(guān)于原點對稱才行。就像我們的兩只手，左右對稱一樣。所以對數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$是非奇非偶函數(shù)。（四）對數(shù)函數(shù)的值域1、分析因為對數(shù)函數(shù)的定義域是$（0,＋＼infty)＄，當(dāng)$a＞1$時，＄y＝＼log_{a}x$單調(diào)遞增，＄x$趨近于0的時候，＄y$趨近于$＼infty$；＄x$趨近于$＋＼infty$的時候，＄y$趨近于$＋＼infty$。當(dāng)$0＜a＜1$時，＄y＝＼log_{a}x$單調(diào)遞減，＄x$趨近于0的時候，＄y$趨近于$＋＼infty$；＄x$趨近于$＋＼infty$的時候，＄y$趨近于$＼infty$。所以對數(shù)函數(shù)的值域是$（＼infty,＋＼infty)＄，就像這個函數(shù)的取值可以在整個實數(shù)范圍內(nèi)任意馳騁一樣。三、重點與難點（一）重點1、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用。這在比較對數(shù)函數(shù)值的大小、解對數(shù)不等式等問題中經(jīng)常用到。2、對數(shù)函數(shù)的定義域和值域的準確確定。這是對數(shù)函數(shù)相關(guān)問題的基礎(chǔ)，就像蓋房子得先打好地基一樣。（二）難點1、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的理解。特別是對于底數(shù)$a$的不同取值對單調(diào)性的影響，同學(xué)們要多結(jié)合具體例子去理解，不要死記硬背。2、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決復(fù)雜的函數(shù)問題，比如說對數(shù)函數(shù)和其他函數(shù)組合在一起的綜合問題。這就需要同學(xué)們把對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)掌握得很扎實，然后靈活運用。四、互動環(huán)節(jié)（一）提問一1、我先問個問題啊，那對數(shù)函數(shù)$y=＼log_{3}x$是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減呢？同學(xué)們可以先想想對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法哦。（等待同學(xué)們回答）對啦，因為底數(shù)$3＞1$，所以這個對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的。（二）提問二2、那對數(shù)函數(shù)$y=＼log_{＼frac{1}｛5}｝x$的值域是什么呢？（給同學(xué)們一點思考時間）沒錯，根據(jù)我們剛剛講的，對數(shù)函數(shù)的值域都是$（＼infty,＋＼infty)＄，這個函數(shù)也不例外。五、課堂練習(xí)（一）選擇題1、對數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{0.8}x$在$（0,＋＼infty)＄上是（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先遞增后遞減D.先遞減后遞增答案：B。因為底數(shù)$0.8<1$，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，當(dāng)$0＜a＜1$時對數(shù)函數(shù)在$（0,＋＼infty)＄上單調(diào)遞減。（二）填空題2、對數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{5}x$的定義域是____________。答案：＄（0,＋＼infty)＄。對數(shù)函數(shù)的定義域就是$（0,＋＼infty)＄，不管底數(shù)是多少，只要是對數(shù)函數(shù)，真數(shù)就得大于0。