《2 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)》講義

《2對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)》講義一、課程導(dǎo)入同學(xué)們，咱們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，今天呢，咱們要深入研究一下對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。就像我們認(rèn)識(shí)一個(gè)人，光知道他叫什么還不夠，還得了解他的脾氣秉性一樣，咱們得好好探究對(duì)數(shù)函數(shù)這個(gè)家伙到底有哪些特點(diǎn)。二、知識(shí)講解（一）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域1、回顧對(duì)數(shù)函數(shù)的定義對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式是$y＝＼log_{a}x$（＄a＞0$且$a＼neq1$）。2、定義域的確定同學(xué)們想一下，對(duì)數(shù)函數(shù)里這個(gè)$x$有沒(méi)有什么限制呢？對(duì)數(shù)函數(shù)中，真數(shù)得是大于0的數(shù)。為啥呢？因?yàn)閷?duì)數(shù)是指數(shù)的逆運(yùn)算，比如說(shuō)$a^｛y}＝x$，＄a$是正數(shù)，不管$y$取什么值，＄x$肯定是大于0的。所以對(duì)數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$的定義域就是$（0,＋＼infty)＄。這就好比一個(gè)房子，只有符合條件（大于0）的數(shù)才能住進(jìn)來(lái)成為對(duì)數(shù)函數(shù)這個(gè)房子里的居民。（二）對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1、分情況討論當(dāng)$a＞1$時(shí)，咱們來(lái)看個(gè)例子，比如說(shuō)$y=＼log_{2}x$。我們可以取幾個(gè)特殊的點(diǎn)來(lái)看看，當(dāng)$x＝1$時(shí)，＄y=＼log_{2}1＝0$；當(dāng)$x＝2$時(shí)，＄y=＼log_{2}2＝1$；當(dāng)$x＝4$時(shí)，＄y=＼log_{2}4＝2$。同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，隨著$x$的值越來(lái)越大，＄y$的值也越來(lái)越大。這就是說(shuō)當(dāng)$a＞1$時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$在定義域$（0,＋＼infty)＄上是單調(diào)遞增的。當(dāng)$0＜a＜1$時(shí)，比如$y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝x$。同樣取幾個(gè)點(diǎn)，當(dāng)$x＝1$時(shí)，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝1＝0$；當(dāng)$x=＼frac{1}｛2}＄時(shí)，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝＼frac{1}｛2}＝1$；當(dāng)$x=＼frac{1}｛4}＄時(shí)，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝＼frac{1}｛4}＝2$。這次我們發(fā)現(xiàn)，隨著$x$的值越來(lái)越大，＄y$的值卻越來(lái)越小。所以當(dāng)$0＜a＜1$時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$在定義域$（0,＋＼infty)＄上是單調(diào)遞減的。2、總結(jié)這就好比我們跑步，當(dāng)$a＞1$的時(shí)候，對(duì)數(shù)函數(shù)這個(gè)運(yùn)動(dòng)員是越跑越遠(yuǎn)（＄y$值隨著$x$增大而增大）；當(dāng)$0＜a＜1$的時(shí)候，這個(gè)運(yùn)動(dòng)員是越跑越近（＄y$值隨著$x$增大而減小）。（三）對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性1、判斷方法對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$，它的定義域是$（0,＋＼infty)＄，這個(gè)定義域是關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)的。同學(xué)們想想，一個(gè)函數(shù)要是有奇偶性，它的定義域得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)才行。就像我們的兩只手，左右對(duì)稱(chēng)一樣。所以對(duì)數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{a}x$是非奇非偶函數(shù)。（四）對(duì)數(shù)函數(shù)的值域1、分析因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的定義域是$（0,＋＼infty)＄，當(dāng)$a＞1$時(shí)，＄y＝＼log_{a}x$單調(diào)遞增，＄x$趨近于0的時(shí)候，＄y$趨近于$＼infty$；＄x$趨近于$＋＼infty$的時(shí)候，＄y$趨近于$＋＼infty$。當(dāng)$0＜a＜1$時(shí)，＄y＝＼log_{a}x$單調(diào)遞減，＄x$趨近于0的時(shí)候，＄y$趨近于$＋＼infty$；＄x$趨近于$＋＼infty$的時(shí)候，＄y$趨近于$＼infty$。所以對(duì)數(shù)函數(shù)的值域是$（＼infty,＋＼infty)＄，就像這個(gè)函數(shù)的取值可以在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意馳騁一樣。三、重點(diǎn)與難點(diǎn)（一）重點(diǎn)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判斷和應(yīng)用。這在比較對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小、解對(duì)數(shù)不等式等問(wèn)題中經(jīng)常用到。2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域的準(zhǔn)確確定。這是對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，就像蓋房子得先打好地基一樣。（二）難點(diǎn)1、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的理解。特別是對(duì)于底數(shù)$a$的不同取值對(duì)單調(diào)性的影響，同學(xué)們要多結(jié)合具體例子去理解，不要死記硬背。2、根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，比如說(shuō)對(duì)數(shù)函數(shù)和其他函數(shù)組合在一起的綜合問(wèn)題。這就需要同學(xué)們把對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)掌握得很扎實(shí)，然后靈活運(yùn)用。四、互動(dòng)環(huán)節(jié)（一）提問(wèn)一1、我先問(wèn)個(gè)問(wèn)題啊，那對(duì)數(shù)函數(shù)$y=＼log_{3}x$是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減呢？同學(xué)們可以先想想對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法哦。（等待同學(xué)們回答）對(duì)啦，因?yàn)榈讛?shù)$3＞1$，所以這個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的。（二）提問(wèn)二2、那對(duì)數(shù)函數(shù)$y=＼log_{＼frac{1}｛5}｝x$的值域是什么呢？（給同學(xué)們一點(diǎn)思考時(shí)間）沒(méi)錯(cuò)，根據(jù)我們剛剛講的，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域都是$（＼infty,＋＼infty)＄，這個(gè)函數(shù)也不例外。五、課堂練習(xí)（一）選擇題1、對(duì)數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{0.8}x$在$（0,＋＼infty)＄上是（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先遞增后遞減D.先遞減后遞增答案：B。因?yàn)榈讛?shù)$0.8<1$，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，當(dāng)$0＜a＜1$時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)在$（0,＋＼infty)＄上單調(diào)遞減。（二）填空題2、對(duì)數(shù)函數(shù)$y＝＼log_{5}x$的定義域是____________。答案：＄（0,＋＼infty)＄。對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域就是$（0,＋＼infty)＄，不管底數(shù)是多少，只要是對(duì)數(shù)函數(shù)，真數(shù)就得大于0。