2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE3．1不等關(guān)系與不等式內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.能用不等式(組)表示實際問題的不等關(guān)系．2.初步學(xué)會作差法比較兩實數(shù)的大?。?.駕馭不等式的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.發(fā)展邏輯推理應(yīng)用數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第50頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點一不等關(guān)系eq\a\vs4\al(閱讀教材P72－74，思索并完成以下問題)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近凹凸各不同”，不等關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系．(1)限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/提示：v≤40.(2)如圖，在日常生活中，我們常常看到下列標(biāo)記：其含義分別為①最低限速：限制行駛時速v不得低于50km/h；②限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量m不得超過10t；③限制高度：裝載高度h不得超過3.5m；④限制寬度：裝載寬度a不得超過3m；⑤時間范圍：t∈[7.5,10]．你能用數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？提示：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.學(xué)問梳理(1)我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系．含有這些不等號的式子叫作不等式．(2)不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.文字語言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號語言＞≥＜≤≤≥≥≤學(xué)問點二作差法比較大小eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)a與b的大小和a－b的運算符號有什么關(guān)系？①若a＞b，那么a－b是正是負(fù)？②若a＝b，那么a－b如何？③若a＜b，那么a－b如何？提示：①正；②零；③負(fù)．學(xué)問梳理比較兩個實數(shù)a，b大小的依據(jù)文字語言符號表示假如a>b，那么a－b是正數(shù)；假如a<b，那么a－b是負(fù)數(shù)；假如a＝b，那么a－b等于0，反之亦然a>b?a－b>0a<b?a－b<0a＝b?a－b＝0學(xué)問點三不等式的性質(zhì)eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)若a＞b，可得出哪些不等式成立？若a＞b，①a＋2＞b＋2成立嗎？②2a＞2b成立嗎？③－2a＞－2b成立嗎？④a2＞b2成立嗎？提示：①成立；②成立；③不成立；④不肯定成立．學(xué)問梳理常用的不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容留意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c?3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性,a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)同正8可開方性,a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)思索假如a＞b，增加一個什么條件，可得出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)？提示：ab＞0.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第2頁探究一用不等式表示不等關(guān)系[閱讀教材P72－73問題1、2、3]方法步驟：(1)分析題意理清不等關(guān)系．(2)用不等式表示關(guān)系．[例1](1)一個工程隊規(guī)定要在6天內(nèi)完成300土石方的工程，第一天完成了60土石方，現(xiàn)在要比原支配至少提前兩天完成任務(wù)，則以后幾天平均每天至少要完成的土石方數(shù)x應(yīng)滿意的不等式為()A．3x≥300－60 B．4x≥300－60C．5x≥300－60 D．6x≥300－60[解析]由題意知，剩余3天所能完成土石方數(shù)應(yīng)當(dāng)不小于所剩余的土石方數(shù)，因此有3x≥300－60.[答案]A(2)已知某地籃球球迷一行56人從旅館乘出租車到現(xiàn)場為山東隊加油，現(xiàn)有甲、乙兩個出租車隊，甲隊比乙隊少3輛車，若全部支配乘甲隊的車，每輛車坐5人，車不夠，每輛車坐6人，有一輛車未坐滿，若全部支配乘乙隊的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿．設(shè)甲隊有x輛車，用不等式將題目中的不等關(guān)系表示出來．[解析]因為甲隊有x輛車，所以乙隊有(x＋3)輛車，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，x∈N*，,x＋3＞0，,5x＜56，,56＜6x＜62，,4x＋3＜56，,5x＋3＞56.))方法技巧1．將不等關(guān)系表示成不等式的思路(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接．(3)多個不等關(guān)系用不等式組表示．2．用不等式(組)表示不等關(guān)系時應(yīng)留意的問題在用不等式(組)表示不等關(guān)系時，應(yīng)留意必需是具有相同性質(zhì)，可以進(jìn)行比較的兩個(或幾個)量，沒有可比性的兩個(或幾個)量之間不能用不等式(組)來表示．第三章不等式數(shù)學(xué)·必修5跟蹤探究1.某校對高一美術(shù)生劃定錄用分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成果x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成果z超過45分，用不等式(組)表示為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z＞45)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y＞380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞95，,y＞380，,z＞45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y＞380，,z＞45))解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超過”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.答案：D2．某商人假如將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采納提高售價，削減進(jìn)貨量的方法增加利潤．已知這種商品的售價每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)削減10件．若把提價后商品的售價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？解析：若提價后商品的售價為x元，則銷售量削減10(x－10)件，因此，每天的利潤為(x－8)[100－10(x－10)]元，則“每天的利潤不低于300元”可以用不等式表示為(x－8)[100－10(x－10)]≥300.探究二比較大小[閱讀教材P75B組第1題的第(4)小題]比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大?。馕觯鹤鞑睿簒2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2＋y2－2x－2y＋3.＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．[例2]已知a＞0，試比較a與eq\f(1,a)的大?。甗解析]因為a－eq\f(1,a)＝eq\f(a2－1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)，a＞0，所以當(dāng)a＞1時，eq\f(a－1a＋1,a)＞0，有a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＝1時，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，有a＝eq\f(1,a)；當(dāng)0＜a＜1時，eq\f(a－1a＋1,a)＜0，有a＜eq\f(1,a).綜上，當(dāng)a＞1時，a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＝1時，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)0＜a＜1時，a＜eq\f(1,a).延長探究1.把本例的條件“a＞0”改為“a＜0”，試比較a與eq\f(1,a)的大?。馕觯篴－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)當(dāng)a＝－1時，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，∴a＝eq\f(1,a)當(dāng)－1＜a＜0時，a－1＜0，a＋1＞0，∴eq\f(a－1a＋1,a)＞0∴a＞eq\f(1,a)當(dāng)a＜－1時，a－1＜0，a＋1＜0，∴eq\f(a－1a＋1,a)＜0，∴a＜eq\f(1,a).綜上：當(dāng)a＝－1時，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)－1＜a＜0時，a＞eq\f(1,a)，當(dāng)a＜－1時，a＜eq\f(1,a).方法技巧作差法比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟第一步：作差并變形，其目標(biāo)是應(yīng)簡潔推斷差的符號．變形有兩種情形：①將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個因式相乘．②將差式通過配方轉(zhuǎn)化為幾個非負(fù)數(shù)之和，然后推斷．其次步：推斷差值與零的大小關(guān)系．第三步：得出結(jié)論．[例3]若a＞b＞0，試比較：aabb與abba的大?。甗解析]法一：aabb－abba＝abba(aa－b·bb－a－1)＝abbaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1))∵a＞b＞0，∴eq\f(a,b)＞1，∴a－b＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1＞0∴abbaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1))＞0，∴aabb＞abba.法二：eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，∵a＞b＞0，∴eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，即eq\f(aabb,abba)＞1，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.方法技巧對于隨意兩個正數(shù)a，b，通過比較eq\f(a,b)與1的大小關(guān)系，從而得到正數(shù)a，b的大小關(guān)系，詳細(xì)方法如下：當(dāng)a＞0，b＞0時，eq\f(a,b)＞1?a＞b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)＜1?a＜b.延長探究2.將本例變?yōu)椋涸O(shè)a＞0，b＞0，試比較aabb與abba的大小．解析：∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，abba＞0，∴eq\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b.當(dāng)a＞b＞0時，eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴aabb＞abba；當(dāng)a＝b時，eq\f(a,b)＝1，a－b＝0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＝1，∴aabb＝abba；當(dāng)b＞a＞0時，0＜eq\f(a,b)＜1，a－b＜0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴aabb＞abba.綜上所述，當(dāng)a＞0，b＞0時，aabb≥abba，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．探究三不等式性質(zhì)的應(yīng)用角度1證明不等式[閱讀教材P74例1]方法步驟：(1)依據(jù)性質(zhì)4，得出倒數(shù)大小eq\f(1,b)＞eq\f(1,a).(2)依據(jù)性質(zhì)4，得出所證：eq\f(c,b)＜eq\f(c,a).[例4](1)給出下列命題：①若ab＞0，a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若a＞|b|，則a2＞b2；③若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d；④對于正數(shù)a，b，m，若a＜b，則eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m).其中真命題的序號是：________.[解析]對于①，若ab＞0，則eq\f(1,ab)＞0，又a＞b，所以eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)，所以eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以①正確；對于②，若a＞|b|≥0，則a2＞b2，所以②正確；對于③，若a＞b，c＞d，則－c＜－d，所以－d＞－c，所以a－d＞b－c，所以a－c＞b－d不成立，③錯誤；對于④，對于正整數(shù)a，b，m，若a＜b，則eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m)成立，即a(b＋m)＜b(a＋m)，所以am＜bm，所以a＜b，④正確．綜上，正確的命題序號是①②④.[答案]①②④(2)已知a＞b＞0，c＜d＜0.求證：eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c)).[證明]因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.所以0＜－eq\f(1,c)＜－eq\f(1,d).又因為a＞b＞0，所以－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.所以eq\r(3,\f(－a,d))＞eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))＞－eq\r(3,\f(b,c)).兩邊同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c)).方法技巧1．運用不等式的性質(zhì)推斷真假的技巧(1)首先要留意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時，也可采納特值法進(jìn)行解除，留意取值肯定要遵循以下原則：一是滿意題設(shè)條件；二是取值要簡潔，便于驗證計算．2．利用不等式的性質(zhì)證明簡潔不等式的實質(zhì)及留意點(1)實質(zhì)：利用不等式性質(zhì)證明簡潔的不等式的實質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式變形．(2)留意點：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．延長探究3.例4(2)中，增加條件：e＜0，證明：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).證明：eq\f(e,a－c2)－eq\f(e,b－d2)＝eq\f(e[b－d2－a－c2],a－c2b－d2)＝eq\f(eb－d＋a－cb－d－a＋c,a－c2b－d2)＝eq\f(e[a＋b－c＋d][b－a＋c－d],a－c2b－d2).因為a＞b＞0，c＜d＜0，所以a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0，所以(a＋b)－(c＋d)＞0，(b－a)＋(c－d)＜0.因為e＜0，所以e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]＞0.又因為(a－c)2(b－d)2＞0，所以eq\f(e,a－c2)－eq\f(e,b－d2)＞0，所以eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).角度2利用性質(zhì)比較大小[閱讀教材P75A組第2題的第(2)題]比較eq\r(7)＋eq\r(10)與eq\r(3)＋eq\r(14)的大小解析：(eq\r(7)＋eq\r(10))2＝17＋2eq\r(70).(eq\r(3)＋eq\r(14))2＝17＋2eq\r(42)∵70＞42＞0，∴2eq\r(70)＞2eq\r(42).∴17＋2eq\r(70)＞17＋2eq\r(42).即(eq\r(7)＋eq\r(10))2＞(eq\r(3)＋eq\r(14))2，∴eq\r(7)＋eq\r(10)＞eq\r(3)＋eq\r(14).[例5]若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋5)＋eq\r(a＋8)(a＞－5)，則P，Q的大小關(guān)系為()A．P＜Q B．P＝QC．P＞Q D．不能確定[解析]P2＝2a＋13＋2eq\r(a＋6a＋7)，Q2＝2a＋13＋2eq\r(a＋5a＋8)，因為(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2＞0，所以(a＋6)(a＋7)＞(a＋5)(a＋8)，所以eq\r(a＋6a＋7)＞eq\r(a＋5a＋8)，所以P2＞Q2，所以P＞Q.[答案]C方法技巧先比較兩個基本數(shù)的大小，利用不等式性質(zhì)，加法、乘法和乘方、開方等推導(dǎo)出所要比較的兩個數(shù)的大?。櫶骄?.實數(shù)a＝eq\r(6)－eq\r(5)，b＝eq\r(7)－eq\r(6)，c＝eq\r(7)－2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b解析：因為eq\r(6)＞2，所以eq\r(7)－eq\r(6)＜eq\r(7)－2，即b＜c.因為a2＝11－2eq\r(30)，c2＝11－2eq\r(28)，且a＞0，c＞0，所以a＜c.由a＝eq\r(6)－eq\r(5)＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5))，b＝eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，得a＞b.綜上所述，c＞a＞b.答案：D角度3利用不等式性質(zhì)求范圍[例6](1)已知1＜a＜2，－2＜b＜－1，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．(答案寫成區(qū)間或集合)(2)已知a－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，則4a－2b的取值范圍是________[解析](1)因為－2＜b＜－1，所以－1＜eq\f(1,b)＜－eq\f(1,2)，所以0＜eq\f(1,2)＜－eq\f(1,b)＜1.又因為0＜1＜a＜2，所以eq\f(1,2)＜－eq\f(a,b)＜2，所以－2＜eq\f(a,b)＜－eq\f(1,2).(2)因為a－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，又4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)，0≤3(a－b)≤3，所以2≤4a－2b[答案](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))(2)[2,7]延長探究4.若本例(2)的條件不變，求eq\f(4a＋2b,4a－2b)的取值范圍．解析：4a＋2b＝3(a＋b)＋(a－b)6≤3(a＋b)≤12∴6≤4a＋2b≤13又∵2≤4a－2b≤7∴eq\f(1,7)≤eq\f(1,4a－2b)≤eq\f(1,2)∴eq\f(6,7)≤eq\f(4a＋2b,4a－2b)≤eq\f(13,2)，即eq\f(4a＋2b,4a－2b)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，\f(13,2))).方法技巧利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的留意事項(1)恰當(dāng)設(shè)計解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)．(2)運用不等式的性質(zhì)時要切實留意不等式性質(zhì)的前提條件，切不行用“好像是很明顯”的理由，代替不等式的性質(zhì)，如a＞b及c＞d，推不出ac＞bd；由a＞b，推不出a2＞b2等．(3)精確運用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第54頁[課后小結(jié)](1)比較兩個數(shù)的大小，有作差法作商法及不等式性質(zhì)法．作差法，主要適合于差易變形為積(商)的形式．作商法，主要適合于“冪、指數(shù)、對數(shù)、含肯定值”的兩個數(shù)的大小．當(dāng)作商法、作差法不能干脆比較時，可考慮不等式性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．(2)不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴(yán)格依照性質(zhì)進(jìn)行，千萬不行想當(dāng)然．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．錯用不等式的性質(zhì)致誤給出下列命題，其中正確的是________．(只填序號)①若a＞b，則a2＞b2；②若a－d＞b－c，則a＞b，c＜d；③若a＜b，則eq\f(1,ab2)＜eq\f(1