2024-2025學年高中數(shù)學模塊素養(yǎng)評價含解析新人教A版選修1-2

PAGE模塊素養(yǎng)評價(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.設i是虛數(shù)單位,若復數(shù)a-QUOTE(a∈R)是純虛數(shù),則a的值為 ()A.-3 B.-1 C.1 【解析】選D.復數(shù)a-QUOTE=a-QUOTE=(a-3)-i為純虛數(shù),所以a-3=0,所以a=3.2.下列命題:①在線性回來模型中,相關指數(shù)R2表示說明變量x對于預報變量y的貢獻率,R2越接近于1,表示回來效果越好;②兩個變量相關性越強,則相關系數(shù)的肯定值就越接近于1;③在回來直線方程=-0.5x+2中,當說明變量x每增加一個單位時,預報變量平均削減0.5個單位;④對分類變量X與Y,它們的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關系”的把握程度越大.其中正確命題的個數(shù)是 ()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】選C.對于①,在回來分析模型中,相關指數(shù)R2表示說明變量x對于預報變量y的貢獻率,R2越接近于1,表示回來效果越好,正確,因為相關指數(shù)R2越大,則殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,①正確.對于②兩個變量相關性越強,則相關系數(shù)的肯定值就越接近于1;正確;對于③在回來直線方程=-0.5x+2中,當說明變量x每增加一個單位時,預報變量平均削減0.5個單位;正確;對于④對分類變量X與Y,它們的隨機變量K2的觀測值k來說,k越小,“X與Y有關系”的把握程度越大.錯誤,因為在對分類變量X與Y進行獨立性檢驗時,隨機變量K2的觀測值k越大,則“X與Y相關”可信程度越大,故④錯誤.3.甲、乙、丙、丁四位同學參與奧賽,其中只有一位獲獎,有人走訪了四位同學,甲說:“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了.”丁說:“是乙獲獎.”已知四位同學的話只有一位是對的,則獲獎的同學是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.假設獲獎的同學是甲,則甲、乙、丙、丁四位同學的話都不對,因此甲不是獲獎的同學;假設獲獎的同學是乙,則甲、乙、丁的話都對,因此乙也不是獲獎的同學;假設獲獎的同學是丙,則甲和丙的話都對,因此丙也不是獲獎的同學.從前面推理可得丁為獲獎的同學,此時只有乙的話是對的.4.《九章算術》中的玉石問題:“今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩.今有石方三寸,中有玉,并重十一斤(即176兩),問玉、石重各幾何?”其意思為:“寶玉1立方寸重7兩,石料1立方寸重6兩,現(xiàn)有寶玉和石料混合在一起的一個正方體,棱長是3寸,質量是11斤(即176兩),問這個正方體中的寶玉和石料各多少兩?”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個求解算法,運行該程序框圖,則輸出的x,y分別為 ()A.90,86 B.94,82C.98,78 D.102,74【解析】選C.執(zhí)行程序:x=86,y=90,s≠27;x=90,y=86,s≠27;x=94,y=82,s≠27;x=98,y=78,s=27,故輸出的x,y分別為98,78.5.圖1是某高三學生進入中學三年來的數(shù)學考試成果莖葉圖,第1次到第14次的考試成果依次記為A1,A2,…,A14,圖2是統(tǒng)計莖葉圖中成果在肯定范圍內考試次數(shù)的一個程序框圖.那么程序框圖輸出的結果是()A.7 B.8 C.9 【解析】選D.由程序框圖可知輸出結果是考試成果大于90的次數(shù),由莖葉圖可知大于90的次數(shù)有10次.6.有下列說法:①在殘差圖中,殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內,說明選用的模型比較合適;②用相關指數(shù)R2來刻畫回來的效果,R2值越大,說明模型的擬合效果越好;③比較兩個模型的擬合效果,可以比較殘差平方和的大小,殘差平方和越小的模型,擬合效果越好.④在探討氣溫柔熱茶銷售杯數(shù)的關系時,若求得相關指數(shù)R2≈0.85,則表明氣溫說明了15%的熱茶銷售杯數(shù)改變.其中正確命題的個數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.對于①在殘差圖中,殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內,說明選用的模型比較合適,正確.對于②用相關指數(shù)R2來刻畫回來的效果,R2值越大,說明模型的擬合效果越好,正確.對于③比較兩個模型的擬合效果,可以比較殘差平方和的大小,殘差平方和越小的模型,擬合效果越好,正確.對于④在探討氣溫柔熱茶銷售杯數(shù)的關系時,若求得相關指數(shù)R2≈0.85,則表明氣溫說明了15%的熱茶銷售杯數(shù)改變,錯誤,應當是氣溫說明了85%的熱茶銷售杯數(shù)改變.7.為了解某高校學生運用手機支付和現(xiàn)金支付的狀況,抽取了部分學生作為樣本,統(tǒng)計其寵愛的支付方式,并制作出如下等高條形圖:依據(jù)圖中的信息,下列結論中不正確的是 ()A.樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量B.樣本中寵愛手機支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量C.樣本中多數(shù)男生寵愛手機支付D.樣本中多數(shù)女生寵愛現(xiàn)金支付【解析】選D.由題干中右邊條形圖知,男生女生寵愛手機支付的比例都高于現(xiàn)金支付的比例,所以男生女生都寵愛手機支付,故C對,D錯,結合兩個條形圖可知,男生女生手機支付都比現(xiàn)金支付多,B對,樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量,A對.8.設x(1+i)=1+yi,其中x,y為實數(shù),則|x+yi|= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選B.因為x(1+i)=1+yi,所以x+xi=1+yi,x=1,y=x=1,|x+yi|=|1+i|=QUOTE.9.在復平面內,復數(shù)QUOTE對應的點位于第一象限,則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-∞,-1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(1,+∞)【解析】選D.因為復數(shù)QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,對應的點位于第一象限,所以QUOTE解得m>1.10.下列說法中正確的是 ()A.先把高三年級的2000名學生編號:1到2000,再從編號為1到50的50名學生中隨機抽取1名學生,其編號為m,然后抽取編號為m+50,m+100,m+150…的學生,這樣的抽樣方法是分層抽樣法B.線性回來直線=x+肯定過樣本中心點(QUOTE,QUOTE)C.若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)r的值越接近于1D.在回來直線=0.2x+12中,當變量x增加一個單位時,平均增加1個單位【解析】選B.A中抽樣方法為系統(tǒng)抽樣,故A錯誤;B中線性回來方程=x+必過樣本中心點(QUOTE,QUOTE),故B正確;C:若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)r的肯定值越接近于1,故C錯誤.D中在回來直線=0.2x+12中,當x增加一個單位時,平均增加0.2個單位,故D錯誤.11.某探討機構在對具有線性相關的兩個變量x和y進行統(tǒng)計分析時,得到如表數(shù)據(jù).由表中數(shù)據(jù)求得y關于x的回來方程為=0.65x+,則在這些樣本點中任取一點,該點落在回來直線下方的概率為 ()x4681012y12356A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為QUOTE=8,QUOTE=3.4所以3.4=0.65×8+所以=-1.8所以=0.65x-1.8故5個點中落在回來直線下方的有(6,2),(8,3),共2個,故所求概率是為QUOTE.12.依據(jù)給出的數(shù)塔揣測123456×9+7= ()1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111…A.1111110 B.1111111C.1111112 D.1111113【解析】選B.由1×9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1111;1234×9+5=11111;…歸納可得:等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為1,位數(shù)跟等式左邊的其次個加數(shù)相同,所以123456×9+7=1111111.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位),則ab=________.

【解析】因為(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,所以QUOTE所以ab=2.答案:214.將正整數(shù)對作如下分組,第1組為{(1,2),(2,1)},第2組為{(1,3),(3,1)},第3組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4組為{(1,5),(2,4)(4,2)(5,1)}……則第30組第16個數(shù)對為________.

【解析】依據(jù)歸納推理可知,每個數(shù)對中兩個數(shù)字不相等,且第一組每一個數(shù)對和為3,其次組每一個數(shù)對和為4,第三組每個數(shù)對和為5,……,第30組每一個數(shù)對和為32,所以第30組第一個數(shù)對為(1,31),其次個數(shù)對為(2,30),……,第15個數(shù)對為(15,17),第16個數(shù)對為(17,15),故答案為(17,15).答案:(17,15)15.點(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=QUOTE,通過類比的方法,可求得:在空間中,點(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距離為________.

【解析】類比可知:點(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距離為d=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.視察下列等式:QUOTE+QUOTE=QUOTE×1×2;QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE×2×3;QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE×3×4;QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE×4×5;……照此規(guī)律,QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=________.

【解析】每組角的分母恰好等于右邊兩個相鄰正整數(shù)因數(shù)的和.答案:QUOTEnQUOTE【補償訓練】已知QUOTE=2·QUOTE,QUOTE=3·QUOTE,QUOTE=4·QUOTE,….若QUOTE=8·QUOTE(a,t均為正實數(shù)),類比以上等式,可推想a,t的值,則a+t=__________.

【解析】因為QUOTE=2·QUOTE,QUOTE=3·QUOTE,QUOTE=4·QUOTE,由類比推理得:QUOTE=5·QUOTE,QUOTE=6·QUOTE,QUOTE=7·QUOTE,QUOTE=8·QUOTE,所以a=8,t=63,所以a+t=71.答案:71三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)據(jù)有關人士預料,我國的消費正由生存型消費轉向質量型消費,城鎮(zhèn)居民的消費熱點是商品住房、車、電子信息產(chǎn)品、新型食品、服務消費和文化消費;農(nóng)村居民的消費熱點是住房、家電.試設計表示消費狀況的結構圖.【解析】消費狀況的結構圖如圖所示:18.(12分)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回來直線方程=x+,其中=-20,=QUOTE-QUOTE;(2)預料在今后的銷售中,銷量與單價仍舊聽從(1)中的關系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)【解析】(1)QUOTE=QUOTE=8.5,QUOTE=QUOTE=80.所以=QUOTE-QUOTE=80+20×8.5=250,所以回來直線方程為=-20x+250.(2)設工廠獲得的利潤為L元,則L=xQUOTE-4QUOTE=-20x2+330x-1000=-20QUOTE+361.25,當且僅當x=8.25時,L取得最大值.故當單價定為8.25元時,工廠可獲得最大利潤.【補償訓練】某工廠前10個月份的產(chǎn)量與生產(chǎn)費用如表:產(chǎn)量x/千件40424855658088100120140生產(chǎn)費用y/千元150140160170150162185165190185(1)求線性回來方程;(2)估計當生產(chǎn)200千件時的生產(chǎn)費用;(3)計算x與y的相關系數(shù).【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)得QUOTE=77.8,QUOTE=165.7,QUOTE=71062,QUOTE=277119,QUOTExiyi=133100,所以=QUOTE=QUOTE≈0.4,=QUOTE-QUOTE≈165.7-0.4×77.8=134.58,所以線性回來方程為=134.58+0.4x.(2)當x=200時,=134.58+0.4×200=214.58(千元)所以當生產(chǎn)200千件時的生產(chǎn)費用為214.58千元.(3)r=QUOTE=QUOTE≈0.81.所以x與y的相關系數(shù)約為0.81.19.(12分)已知復數(shù)z=QUOTE(m∈R,i是虛數(shù)單位).(1)若z是純虛數(shù),求m的值.(2)設QUOTE是z的共軛復數(shù),復數(shù)QUOTE+2z在復平面上對應的點在第一象限,求m的取值范圍.【解析】(1)z=QUOTE=QUOTE=1-2m+(2m+1)i.因為z是純虛數(shù),所以1-2m=0且2m+1≠0,解得m=QUOTE.(2)因為QUOTE是z的共軛復數(shù),所以QUOTE=1-2m-(2m+1)i.所以QUOTE+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]=3-6m+(2m+1)i.因為復數(shù)QUOTE+2z在復平面上對應的點在第一象限,所以QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE,即實數(shù)m的取值范圍為QUOTE.【補償訓練】已知復數(shù)z=QUOTE+i(a∈R).(1)若z∈R,求z.(2)若z在復平面內對應的點位于第一象限,求a的取值范圍.【解析】(1)z=QUOTE+i=QUOTE+i=QUOTE+QUOTEi,若z∈R,則QUOTE=0,所以a=5,所以z=2.(2)若z在復平面內對應的點位于第一象限,則QUOTE>0且QUOTE>0,解得0<a<5,即a的取值范圍為(0,5).20.(12分)有聲書正受著越來越多人的寵愛.某有聲書公司為了解用戶的運用狀況,隨機選取了100名用戶,統(tǒng)計出年齡分布和用戶付費金額(金額為整數(shù))狀況如圖.有聲書公司將付費高于20元的用戶定義為“愛付費用戶”,將年齡在30歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”.已知抽取的樣本中有QUOTE的“年輕用戶”是“愛付費用戶”.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為用戶“愛付費”與其為“年輕用戶”有關?愛付費用戶不愛付費用戶總計年輕用戶非年輕用戶總計(2)若公司采納分層抽樣方法從“愛付費用戶”中隨機選取5人,再從這5人中隨機抽取2人進行訪談,求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”的概率.PQUOTE0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2=QUOTE.【解析】(1)依據(jù)題意可得2×2列聯(lián)表如表:愛付費用戶不愛付費用戶總計年輕用戶244064非年輕用戶63036總計3070100由表中數(shù)據(jù)可得K2的觀測值k=QUOTE≈4.76>3.841,所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“愛付費用戶”和“年輕用戶”有關.(2)由分層抽樣可知,抽取的5人中有4人為“年輕用戶”,記為A1,A2,A3,A4,1人為“非年輕用戶”,記為B.則從這5人中隨機抽取2人的基本領件有:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共10個基本領件.其中滿意抽取的2人均是“年輕用戶”的事務有:QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共6個.所以從中抽取2人恰好都是“年輕用戶”的概率為P=QUOTE=QUOTE.21.(12分)設函數(shù)f(x)=x3+QUOTE,x∈QUOTE.證明:(1)f(x)≥1-x+x2.(2)QUOTE<f(x)≤QUOTE.【證明】(1)方法一(綜合法):1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)=(1-x)(1+x2)=QUOTE=QUOTE,又x∈QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE,即1-x+x2-x3≤QUOTE,所以f(x)≥1-x+x2.方法二(分析法):要證f(x)≥1-x+x2,x∈QUOTE,即證x3+QUOTE≥1-x+x2,只需證x3-x2+x-1+QUOTE≥0,即證x2(x-1)+(x-1)+QUOTE≥0即(x-1)(x2+1)+QUOTE≥0,再證(x+1)(x-1)(x2+1)+1≥0,即證(x2-1)(x2+1)+1≥0,即x4≥0,由x∈QUOTE知,x4≥0,綜上,f(x)≥1-x+x2.(2)方法一:由x∈QUOTE得x3≤x,所以f(x)=x3+QUOTE≤x+QUOTE-QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)≤QUOTE,由(1)得f(x)≥1-x+x2=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,又fQUOTE=QUOTE>QUOTE,所以fQUOTE>QUOTE,綜上,QUOTE<f(x)≤QUOTE.方法二:①由(1)