備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題03函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(新定義高觀點(diǎn)選填壓軸題含新定義解答題)(學(xué)生版+解析)

專題03函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（新定義，高觀點(diǎn)，選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、函數(shù)及其表示 1二、函數(shù)的基本性質(zhì) 2三、分段函數(shù) 3四、函數(shù)的圖象 4五、二次函數(shù) 5六、指對冪函數(shù) 6七、函數(shù)與方程 7八、新定義、新文化題（選填題） 8九、新定義題（解答題） 10一、函數(shù)及其表示1．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為奇函數(shù) B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2024·四川瀘州·二模）已知，都是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對任意，都有，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．（23-24高三上·四川成都·期末）已知為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．5．（23-24高三上·重慶·期末）已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若存在，使得，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、函數(shù)的基本性質(zhì)1．（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，，則=（

）A．4036 B．4040 C．4044 D．40483．（2024·福建漳州·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南·二模）已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知表示不超過的最大整數(shù)，，設(shè)，且，則的最小值為；當(dāng)時(shí)，滿足條件的所有值的和.三、分段函數(shù)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·天津·一模）若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍為．4．（23-24高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）若函數(shù)是的“重覆蓋函數(shù)”，則；（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，記實(shí)數(shù)的最大值為，則.四、函數(shù)的圖象1．（2024·福建莆田·二模）對于函數(shù)和，及區(qū)間，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意恒成立，則稱在區(qū)間上“優(yōu)于”．有以下四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上“優(yōu)于”；②在區(qū)間上“優(yōu)于”；③在區(qū)間上“優(yōu)于”；④若在區(qū)間上“優(yōu)于”，則．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2024·陜西渭南·一模）已知，若存在實(shí)數(shù)（），當(dāng)（）時(shí)，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為16，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（23-24高一上·吉林白山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍是.五、二次函數(shù)1．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知函數(shù)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（多選）（2024·浙江·模擬預(yù)測）二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，且）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x…012…y…m22n…且當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值.下列說法不正確的有（

）A．B．C．關(guān)于x的方程一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間D．和在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，4．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．5．（2024·廣東惠州·一模）已知為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，則的最大值為．六、指對冪函數(shù)1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．1012 B．2024 C．4048 D．80963．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，且對于任意均有，當(dāng)時(shí)，，若（是自然對數(shù)的底），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則．5．（2024·北京豐臺·一模）目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運(yùn)載工具．其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時(shí)將人造天體送入預(yù)定軌道．現(xiàn)有材料科技條件下，對于一個(gè)級火箭，在第級火箭的燃料耗盡時(shí)，火箭的速度可以近似表示為，其中．注：表示人造天體質(zhì)量，表示第（）級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量．給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，若，則．其中所有正確結(jié)論的序號是．6．（23-24高三上·山東青島·期末）已知動點(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，則的最小值為．七、函數(shù)與方程1．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·四川遂寧·二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，存在零點(diǎn)，使，則不能是（

）．A． B．C． D．4．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)有零點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為．5．（23-24高一上·山東濟(jì)南·期末）已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.6．（23-24高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）若函數(shù)是的“重覆蓋函數(shù)”，則；（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，記實(shí)數(shù)的最大值為，則.八、新定義、新文化題（選填題）1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如何計(jì)算一個(gè)橢圓的面積？這個(gè)問題早已在約2000年前被偉大的數(shù)學(xué)、物理學(xué)先驅(qū)阿基米德思考過．他采用“逼近法”，得出結(jié)論：一個(gè)橢圓的面積除以圓周率等于其長半軸長與短半軸長的乘積．即．那如何計(jì)算它的周長呢？這個(gè)問題也在約400年前被我國清代數(shù)學(xué)家項(xiàng)名達(dá)思考過．一個(gè)橢圓的周長等于其短半軸長為半徑的圓周長加上四倍的該橢圓長半軸長與短半軸長的差．即．若一個(gè)橢圓的面積為，那么其周長的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·貴州貴陽·一模）純電動汽車是以車載電源為動力，用電機(jī)驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動．因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量、放電時(shí)間和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為；當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.155．（22-23高二下·遼寧本溪·階段練習(xí)）2023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布”公眾號報(bào)道，我國最新量子計(jì)算機(jī)“悟空”即將面世，預(yù)計(jì)到2025年量子計(jì)算機(jī)可以操控的超導(dǎo)量子比特達(dá)到1024個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，，每增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若，則稱為位數(shù)，已知1024個(gè)超導(dǎo)量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個(gè)位的數(shù)，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．308 B．309 C．1023 D．10246．（多選）（2024·重慶·一模）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）九、新定義題（解答題）1．（2024高三·上海·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上有定義，實(shí)數(shù)，滿足．若在區(qū)間上不存在最小值，則稱在區(qū)間上具有性質(zhì)．(1)若函數(shù)，且在區(qū)間上具有性質(zhì)時(shí)，求常數(shù)的取值范圍；(2)已知，且當(dāng)時(shí)，，判別在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，并說明理由；(3)若對于的任意實(shí)數(shù)和；函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，且對于任意，當(dāng)時(shí)，有：，證明：當(dāng)時(shí)，．2．（23-24高一下·遼寧遼陽·階段練習(xí)）定義：若函數(shù)的值域是定義域的子集，則稱是緊縮函數(shù)．(1)試問函數(shù)是否為緊縮函數(shù)？說明你的理由．(2)若函數(shù)是緊縮函數(shù)，求的取值范圍．(3)已知常數(shù)，函數(shù)，是緊縮函數(shù)，求的取值集合．3．（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象.(1)寫出函數(shù)的解析式；(2)試判斷，，的大小；(3)如果函數(shù)的定義域?yàn)椋魧τ谌我?，，，分別為某個(gè)三角形的邊長，則稱為“三角形函數(shù)”.記，當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，為“三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）我們知道，函數(shù)與互為反函數(shù)．一般地，設(shè)A，B分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)可解得唯一也是一個(gè)函數(shù)（即對任意一個(gè)，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作．在中，y是自變量，x是y的函數(shù)．習(xí)慣上改寫成的形式.反函數(shù)具有多種性質(zhì)，如：①如果是的反函數(shù)，那么也是的反函數(shù)；②互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是一致的．(1)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線傾斜角為60°，求其反函數(shù)的圖象在時(shí)的切線方程；(2)若函數(shù)，試求其反函數(shù)并判斷單調(diào)性；(3)在（2）的條件下，證明：當(dāng)時(shí)，，．5．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進(jìn)行求導(dǎo)．(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的最大值．(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．②設(shè)，求的最小值．專題03函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（新定義，高觀點(diǎn)，選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、函數(shù)及其表示 1二、函數(shù)的基本性質(zhì) 7三、分段函數(shù) 12四、函數(shù)的圖象 17五、二次函數(shù) 22六、指對冪函數(shù) 27七、函數(shù)與方程 33八、新定義、新文化題（選填題） 40九、新定義題（解答題） 47一、函數(shù)及其表示1．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為奇函數(shù) B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)賦值法可得，，進(jìn)而可得，即可判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷在上為減函數(shù)，即可求解B，代值逐步求解即可判斷CD.【詳解】令，，，所以；令，，則．令，得，故為偶函數(shù)．A錯誤，任取，，，則，則，故在上為減函數(shù)．由已知，可得，故，解得，且．B錯誤，若，則，C正確，若，則，，，所以，故D錯誤，故選：C．2．（2024·四川瀘州·二模）已知，都是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷A、D，取可判斷C，對于B，通過觀察選項(xiàng)可以推斷很可能是周期函數(shù)，結(jié)合的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到令和時(shí)可構(gòu)建出兩個(gè)式子，兩式相加即可得出，進(jìn)一步得出是周期函數(shù)，從而可求的值.【詳解】對于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，所以，故A錯誤；對于D，因?yàn)?，令，代入已知等式得，將，代入上式，得，所以函?shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故D正確；對于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：，，兩式相加易得，所以有，即，有，即，所以為周期函數(shù)，且周期為，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，故B錯誤；對于C，取，，滿足及，所以，又，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于含有的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點(diǎn)，以及利用證明了的條件或者選項(xiàng)；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個(gè)或多個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系，此過程中的難點(diǎn)是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項(xiàng)來決定.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，，若對任意，都有，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的簡圖，由圖象分析得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，即當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.以此類推，當(dāng)時(shí)，都有.函數(shù)和函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖可知，，，解得，即對任意，都有，即的取值范圍是.故選：D.4．（23-24高三上·四川成都·期末）已知為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】先觀察出函數(shù)關(guān)于對稱，在根據(jù)所求的式子可以判斷時(shí)比的值要大，所以只需研究的情況即可，把所求的式子經(jīng)過換元，適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)問題，其中一個(gè)內(nèi)層函數(shù)又是兩點(diǎn)斜率問題，借助數(shù)形結(jié)合思想和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出最值.【詳解】由函數(shù)解析式可知函數(shù)關(guān)于對稱，設(shè)，不妨設(shè)則，當(dāng)，，即當(dāng)時(shí)的值要大于時(shí)的值，所以只需研究的情況即可，

當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：時(shí)，遞增，當(dāng)，遞減.，所以的幾何意義是函數(shù)上一點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，設(shè)過點(diǎn)的切線與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（即切點(diǎn)）為，，所以切線的斜率，切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程整理得：，所以或，設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，所以，即不合題意，所以，此時(shí)切線的斜率，如圖：

根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可知的范圍為，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí).故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：式子較為復(fù)雜的最值問題需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃吻蠼?，求函?shù)的最值或值域常用方法有：（1）換元法；（2）函數(shù)單調(diào)性法；（3）復(fù)合函數(shù)法；（4）數(shù)形結(jié)合；（5）導(dǎo)數(shù)法；（6）基本不等式.5．（23-24高三上·重慶·期末）已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若存在，使得，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合賦值法求出，并由單調(diào)性脫去法則，轉(zhuǎn)化為二次方程在上有解即得.【詳解】任取，且，則，而當(dāng)時(shí)，，于是，又，因此，則函數(shù)是增函數(shù)，而，于是，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，即有，因此，原問題即在有解，令，則在時(shí)有解，從而，，所以a的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不斷變換求解即可.二、函數(shù)的基本性質(zhì)1．（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】依題意可得，，，令，，則問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與對應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，為正?shí)數(shù)，且滿足，，，則，，，所以，，，則，，，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，滿足的即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、、的圖象如下所示：由圖可知.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系問題，準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象是關(guān)鍵.2．（2024·安徽蕪湖·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，，則=（

）A．4036 B．4040 C．4044 D．4048【答案】D【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)題中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，從而可得出為周期為4的函數(shù)，從而可求解.【詳解】由題意得為奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，由為偶函數(shù)，所以可得為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以，從而得，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因?yàn)椋?，則，因?yàn)殛P(guān)于直線對稱，所以，又因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對稱，所以，又因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：D.3．（2024·福建漳州·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由為奇函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進(jìn)而分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，兩邊求導(dǎo)得，則，可知關(guān)于直線對稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，可知關(guān)于點(diǎn)對稱，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．4．（2024·湖南·二模）已知，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，【答案】【優(yōu)尖升-分析】構(gòu)造函數(shù)，先分析其值域，從而得到的最大值，進(jìn)而利用解絕對值不等式得到或，結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可得解.【詳解】設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，則，且，由絕對值的性質(zhì)可知的最大值為或，因?yàn)榈葍r(jià)于，又，即關(guān)于的不等式或在上恒成立，由，得；由，得；所以，則，整理得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，將等價(jià)于關(guān)于的不等式或在上恒成立，從而得解.5．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知表示不超過的最大整數(shù)，，設(shè)，且，則的最小值為；當(dāng)時(shí)，滿足條件的所有值的和.【答案】【優(yōu)尖升-分析】由的最小公倍數(shù)為，得只需在這個(gè)范圍內(nèi)討論即可，再結(jié)合等差數(shù)列得前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，則，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，則，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以的最小值為，當(dāng)時(shí)，，則，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，故舍去，因?yàn)榈淖钚」稊?shù)為，以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，設(shè)為，則，以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，設(shè)為，則，所以數(shù)列和是滿足條件的所有值，令，解得，令，解得，則當(dāng)時(shí)，滿足條件的所有值的和.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由的最小公倍數(shù)為，可得只需在這個(gè)范圍內(nèi)討論，求出這個(gè)范圍內(nèi)的的值，是解決本題的關(guān)鍵.三、分段函數(shù)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】先利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象及絕對值的意義作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意及一元二次方程根的分布得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象及絕對值的意義可作出函數(shù)的圖象如圖所示．

令，則，數(shù)形結(jié)合可知要使有6個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，不妨令，有如下兩種情況：若，但，故排除此種情況，若，對于二次函數(shù)開口向上，又，則，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類問題需注意以下幾點(diǎn)：（1）會轉(zhuǎn)化，即會將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，然后利用函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系進(jìn)行解答；（2）會作圖，即會根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象、圖象的平移變換法則或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系畫出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；（3）會觀察，即會利用數(shù)形結(jié)合思想列方程（組）或不等式（組）．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合絕對值函數(shù)的圖象作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意得到一元二次方程根的分布，從而得到關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合絕對值函數(shù)的圖象可畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：

令，則方程，即方程，，①當(dāng)時(shí)，式無實(shí)數(shù)根，直線和的圖象無交點(diǎn)，原方程無實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，式有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線和的圖象最多有4個(gè)交點(diǎn)，因此要使有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則式有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，且，則.則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助導(dǎo)數(shù)與絕對值函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意得到一元二次方程根的分布，從而得到關(guān)于的不等式組，3．（2024·天津·一模）若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍為．【答案】【優(yōu)尖升-分析】借助換元法，設(shè)，可得，令可得，再令，借助對勾函數(shù)性質(zhì)即可得的單調(diào)性及其值域，若恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，可得，即可得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，則，令，顯然,則有，令，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，若恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，且，則，令，解得或，故，即有，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在與使用換元法及參變分離的方式，得到，再設(shè)出函數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)得到的性質(zhì)，從而借助的性質(zhì)研究的解的個(gè)數(shù)，即可得到的取值范圍.4．（23-24高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）若函數(shù)是的“重覆蓋函數(shù)”，則；（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，記實(shí)數(shù)的最大值為，則.【答案】4/【優(yōu)尖升-分析】（1）求出、的值域，作出兩函數(shù)的內(nèi)的大致圖象，結(jié)合圖象可得答案；（2）即對任意，都有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，即，即對任意有2個(gè)實(shí)根，分、、討論可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，又因，可得為奇函?shù)且單調(diào)遞增，作出兩函數(shù)的內(nèi)的大致圖象，如圖所示：，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，由此可知在內(nèi)有4個(gè)解，所以是在的“4重覆蓋函數(shù)”，故；（2）可得的定義域?yàn)椋磳θ我猓加?個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），，，所以，所以，即，即對任意有2個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，已有一個(gè)根，故只需時(shí)，僅有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，則需滿足，解得，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，有最大值，不能滿足對任意，僅有1個(gè)根，故不成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，的最大值為，則.故答案為：4；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題時(shí)，可通過分離變量交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)情況.四、函數(shù)的圖象1．（2024·福建莆田·二模）對于函數(shù)和，及區(qū)間，若存在實(shí)數(shù)，使得對任意恒成立，則稱在區(qū)間上“優(yōu)于”．有以下四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上“優(yōu)于”；②在區(qū)間上“優(yōu)于”；③在區(qū)間上“優(yōu)于”；④若在區(qū)間上“優(yōu)于”，則．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【優(yōu)尖升-分析】對于①②：根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)圖象分析判斷；對于③：構(gòu)建函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可證；對于④：根據(jù)結(jié)合公切線可得，并檢驗(yàn).【詳解】對于①：若在區(qū)間上恒成立，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知：，若，此時(shí)與必有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知：不恒成立，即不存在實(shí)數(shù)，使得對任意恒成立，故①錯誤；對于②：對于，，結(jié)合正切函數(shù)圖象可知，不存在在實(shí)數(shù)，使得對任意恒成立，故②錯誤；對于③：構(gòu)建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；構(gòu)建，則，令，解得；，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；綜上所述：，即存在實(shí)數(shù)，使得對任意恒成立，所以在區(qū)間上“優(yōu)于”，故③正確；對于④：因?yàn)椋?，若在區(qū)間上“優(yōu)于”，可知符合條件的直線應(yīng)為在處的公切線，則，可得，則切線方程為，構(gòu)建在即內(nèi)恒成立，可得；由③可知：，可得;綜上所述：.所以符合題意，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于③：通過構(gòu)建函數(shù)證明；對于④：根據(jù)，結(jié)合題意分析可得，即可得，注意檢驗(yàn).2．（2024·陜西渭南·一模）已知，若存在實(shí)數(shù)（），當(dāng)（）時(shí)，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由函數(shù)性質(zhì)，得，，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)值域.【詳解】作出的圖象如圖，由題，，，所以，令（），則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，且，所以的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】利用正弦型函數(shù)的周期性和對稱性，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)（）的值域，求值域時(shí)，除函數(shù)的單調(diào)性外還要注意函數(shù)的取值特點(diǎn).3．（2023·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為16，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出它們的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)?，先利用指?shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，又當(dāng)時(shí)，，即每過兩個(gè)單位，將的圖象向右平移個(gè)單位，同時(shí)將對應(yīng)的坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀?，再作出函?shù)的圖象，如圖所示：

由圖象可得：，，，，，則，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為16，所以，得，結(jié)合圖象，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是作出的大致圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合即可得解.4．（23-24高一上·吉林白山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】先對分類討論，再畫出圖像，根據(jù)三個(gè)不同跟轉(zhuǎn)化為圖像有三個(gè)交點(diǎn)，得到的取值范圍即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以關(guān)于關(guān)于的方程最多只有2個(gè)解，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖所示，要使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則需滿足，解得或（舍），.所以的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：絕對值函數(shù)的關(guān)鍵在于分類討論，結(jié)合圖像解題能快速得到所需答案.五、二次函數(shù)1．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知函數(shù)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】由已知可得出，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，即可得出，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，，因?yàn)?，其中，所以，，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用指對同構(gòu)思想結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出，將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理.2．（2023·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】由題設(shè)條件畫出函數(shù)的圖象，由圖象分析得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；，所以，即若在上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加2，則對應(yīng)值變?yōu)樵瓉淼?；若減少2，則對應(yīng)值變?yōu)樵瓉淼?倍.當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，對任意，不成立，當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，，以此類推，當(dāng)時(shí)，必有.函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，解得，（舍去），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，成立，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此類問題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時(shí)應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來尋找臨界點(diǎn).3．（多選）（2024·浙江·模擬預(yù)測）二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，且）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x…012…y…m22n…且當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值.下列說法不正確的有（

）A．B．C．關(guān)于x的方程一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間D．和在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，【答案】BCD【優(yōu)尖升-分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)求得，再由當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值求得，從而求得，判斷A，求出后求解范圍判斷B，根據(jù)拋物線的對稱性及函數(shù)過點(diǎn)得函數(shù)零點(diǎn)范圍即可判斷C，由列不等式求解判斷D.【詳解】將代入得，解得，所以二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值，所以，解得，所以，所以，所以，故A錯誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)槎魏瘮?shù)過，所以其對稱軸為，又當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性知，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值，而當(dāng)時(shí)，，所以二次函數(shù)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在和0之間，所以關(guān)于x的方程一定有一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間，故C正確；因?yàn)楹驮谠摱魏瘮?shù)的圖象上，所以，，若，則，因?yàn)?，所以，解得，故D正確.故選：BCD4．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．【答案】2【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)題意，由，設(shè)為變量，可通過分類討論求出，再求出當(dāng)時(shí)的最小值；或由在時(shí)的最大值只可能在或或處取得，結(jié)合圖象可得原式的最小值．【詳解】由，設(shè)為變量，，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最大值只可能在或或處取得，所以的最大值為，所以，當(dāng)時(shí)，原式的最小值為2．或者由在時(shí)的最大值只可能在或或處取得，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可得原式的最小值為2．故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：讀懂題意，分析，最大值只可能在或或處取得，所以的最大值為.5．（2024·廣東惠州·一模）已知為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【優(yōu)尖升-分析】由題意把表示成與的夾角的余弦值的2倍，再由幾何關(guān)系求得最值可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，原點(diǎn)，則，；所以，即，如圖所示，所以當(dāng)直線與函數(shù)在軸右側(cè)相切時(shí)，取到最大值，即取得最大值；聯(lián)立直線與函數(shù)可得，所以，解得（舍去）；此時(shí)，所以，即的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)表達(dá)式的特征，將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示形式，利用幾何關(guān)系求出最值即可.六、指對冪函數(shù)1．（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最大，再利用作差法，結(jié)合基本不等式得到，從而得解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，，，所以，，；當(dāng)時(shí)，，所以，取，則，所以，即，綜上，.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對數(shù)比大小常用結(jié)論：.2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．1012 B．2024 C．4048 D．8096【答案】B【優(yōu)尖升-分析】由已知函數(shù)表達(dá)式變形后分別設(shè)出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用反函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合兩直線垂直，斜率之積的關(guān)系得到結(jié)果.【詳解】由得，由得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又與的圖象關(guān)于直線對稱，且的圖象也關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，即，得，故選：B．3．（2024·甘肅蘭州·一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，且對于任意均有，當(dāng)時(shí)，，若（是自然對數(shù)的底），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】首先分析函數(shù)的周期性與對稱性，畫出函數(shù)在上的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知在內(nèi)要滿足，只需，即可求出的范圍，再結(jié)合周期性即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以，所以，，，所以函數(shù)的周期為且函數(shù)圖象關(guān)于和對稱，又當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上的圖象如下所示：由圖可知，在內(nèi)要滿足，則，即，再根據(jù)函數(shù)的周期性可知.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由題意分析出函數(shù)的周期為且函數(shù)圖象關(guān)于和對稱，再結(jié)合函數(shù)在上的圖象.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則．【答案】【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)等式結(jié)構(gòu)特征先利用換元法化簡等式形式為，，然后通過兩等式的聯(lián)系（均可化為形式），構(gòu)造函數(shù)研究出m與n的關(guān)系，從而建立x與y的關(guān)系，進(jìn)而求出.【詳解】令，，則，，由題可得，，所以，.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以.由，得，得，故.故答案為：.5．（2024·北京豐臺·一模）目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運(yùn)載工具．其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時(shí)將人造天體送入預(yù)定軌道．現(xiàn)有材料科技條件下，對于一個(gè)級火箭，在第級火箭的燃料耗盡時(shí)，火箭的速度可以近似表示為，其中．注：表示人造天體質(zhì)量，表示第（）級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量．給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，若，則．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③【優(yōu)尖升-分析】只需證明每個(gè)都大于1即可判斷①錯誤；直接考慮時(shí)的表達(dá)式即可判斷②正確；時(shí)，將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式，再得到一個(gè)不等關(guān)系，即可證明，推出③正確.【詳解】首先，對，有，故，，這推出.由于，故每個(gè)都大于1，從而，①錯誤；由于當(dāng)時(shí)，有，故②正確；由于當(dāng)時(shí)，，若，則.從而，故.這意味著，即，從而我們有.等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，故，即，即，分解因式可得，再由即知，故，③正確.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷第三問的關(guān)鍵是得到條件等式，結(jié)合基本不等式即可順利得解.6．（23-24高三上·山東青島·期末）已知動點(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【答案】【優(yōu)尖升-分析】先得到圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，由反函數(shù)可知，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，求導(dǎo)得到在點(diǎn)處的切線與平行，求出到的距離最小值，得到答案.【詳解】由題意得，即圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，設(shè)，由于與關(guān)于對稱，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在點(diǎn)處的切線與平行，此時(shí)到的距離最小，最小值為，故的最小值為，則的最小值等于.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩曲線上點(diǎn)的距離最值問題，處理思路如下：①設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出距離，結(jié)合基本不等式或求導(dǎo)，得到函數(shù)最值；②利用幾何關(guān)系，找到取最小距離的位置或點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行求解.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，則的最小值為．【答案】/【優(yōu)尖升-分析】將解析式變形為，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可.【詳解】，令，，因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為2，即．又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，，等號成立．故答案為：【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于對函數(shù)解析式的變形，然后根據(jù)奇偶性得到，從而利用“1”的妙用得解.七、函數(shù)與方程1．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】先將的圖象向左平移2個(gè)單位長度，可得函數(shù)圖像，即把問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；再證明為奇函數(shù)，然后求導(dǎo)后得到在區(qū)間上為減函數(shù)；再求出曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求出，，時(shí)的范圍；最后作出的圖象和的圖像，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】將的圖象向左平移2個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象，所以原題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)”，即研究直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)．因?yàn)?，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)?shù)?，，作出的圖象．如圖：由圖知：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將的圖象向左平移2個(gè)單位長度，可得函數(shù)圖像，即把問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性作出函數(shù)圖像.2．（2024·四川遂寧·二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】可將所給式子變形成、、，則可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)研究其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.【詳解】由，可得，由，可得，由可得，令，，故在上單調(diào)遞增，令，，故在上單調(diào)遞增，令，，故在上單調(diào)遞減，令，則，則時(shí)，，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，，，，，為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用所給式子，將其變形成、、，從而可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)研究其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，借助函數(shù)單調(diào)性畫出圖象即可得.3．（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，存在零點(diǎn)，使，則不能是（

）．A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)給定條件，利用零點(diǎn)存在性定理求出的范圍，再求出各選項(xiàng)中函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷得解.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，對于A，由，得，解得或或，顯然或，A能；對于B，由，得，解得，，即，，B能；對于C，由，得，則，解得，取，，C能；對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而，D不能.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．4．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)有零點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為．【答案】【優(yōu)尖升-分析】首先將方程轉(zhuǎn)化為，再通過構(gòu)造幾何意義，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，再結(jié)合幾何意義，即可求解.【詳解】設(shè)的零點(diǎn)為，則，即，設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)榈皆c(diǎn)的距離，下求的最小值，令，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即，此時(shí)，所以的斜率為，此時(shí)的最小值為，此時(shí)，（此時(shí)）．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)以及難點(diǎn)是構(gòu)造幾何意義，將點(diǎn)看成直線上的任一點(diǎn)，從而根據(jù)幾何意義解決問題.5．（23-24高一上·山東濟(jì)南·期末）已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】由題意首先得，，進(jìn)一步有，由此即可順利得解.【詳解】由題意設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)的圖象以及直線如圖所示：若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，（不妨設(shè)為），則方程的根有三個(gè)根，且，所以，且，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，由此即可順利得解.6．（23-24高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）若函數(shù)是的“重覆蓋函數(shù)”，則；（2）若為的“2重覆蓋函數(shù)”，記實(shí)數(shù)的最大值為，則.【答案】4/【優(yōu)尖升-分析】（1）求出、的值域，作出兩函數(shù)的內(nèi)的大致圖象，結(jié)合圖象可得答案；（2）即對任意，都有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得，即，即對任意有2個(gè)實(shí)根，分、、討論可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因，可得為奇函?shù)且單調(diào)遞增，作出兩函數(shù)的內(nèi)的大致圖象，如圖所示：，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，由此可知在內(nèi)有4個(gè)解，所以是在的“4重覆蓋函數(shù)”，故；（2）可得的定義域?yàn)?，即對任意，都?個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），，，所以，所以，即，即對任意有2個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，已有一個(gè)根，故只需時(shí)，僅有1個(gè)根，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，則需滿足，解得，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，有最大值，不能滿足對任意，僅有1個(gè)根，故不成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，的最大值為，則.故答案為：4；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題時(shí)，可通過分離變量交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)情況.八、新定義、新文化題（選填題）1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】利用指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由函數(shù)圖象可知，的圖象不關(guān)軸對稱,而，，即這兩個(gè)函數(shù)均關(guān)于軸對稱，則排除選項(xiàng)、；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，由的圖象可知存在一個(gè)極小的值，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由圖象可知符合題意，故選：.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如何計(jì)算一個(gè)橢圓的面積？這個(gè)問題早已在約2000年前被偉大的數(shù)學(xué)、物理學(xué)先驅(qū)阿基米德思考過．他采用“逼近法”，得出結(jié)論：一個(gè)橢圓的面積除以圓周率等于其長半軸長與短半軸長的乘積．即．那如何計(jì)算它的周長呢？這個(gè)問題也在約400年前被我國清代數(shù)學(xué)家項(xiàng)名達(dá)思考過．一個(gè)橢圓的周長等于其短半軸長為半徑的圓周長加上四倍的該橢圓長半軸長與短半軸長的差．即．若一個(gè)橢圓的面積為，那么其周長的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)條件先用表示出并計(jì)算出的取值范圍，將看成關(guān)于的函數(shù)，然后結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.【詳解】橢圓長半軸長為，短半軸長為，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)椋?，則，令，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍是，故選：C.3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，化簡可得，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，（）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：D．4．（2024·貴州貴陽·一模）純電動汽車是以車載電源為動力，用電機(jī)驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動．因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量、放電時(shí)間和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為；當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.15【答案】D【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【詳解】由題意知，所以，兩邊取以10為底的對數(shù)，得，所以，故選：D.5．（22-23高二下·遼寧本溪·階段練習(xí)）2023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布”公眾號報(bào)道，我國最新量子計(jì)算機(jī)“悟空”即將面世，預(yù)計(jì)到2025年量子計(jì)算機(jī)可以操控的超導(dǎo)量子比特達(dá)到1024個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2種疊加態(tài)，2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，，每增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若，則稱為位數(shù)，已知1024個(gè)超導(dǎo)量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個(gè)位的數(shù)，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．308 B．309 C．1023 D．1024【答案】B【優(yōu)尖升-分析】由已知可推得當(dāng)有1024個(gè)超導(dǎo)量子比特時(shí)共有種疊加態(tài).兩邊同時(shí)取以10為底的對數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，得個(gè)超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，所以當(dāng)有1024個(gè)超導(dǎo)量子比特時(shí)共有種疊加態(tài).兩邊取以10為底的對數(shù)得，所以.由于，故是一個(gè)309位的數(shù)，即.故選：B.6．（多選）（2024·重慶·一模）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形【答案】ACE【優(yōu)尖升-分析】選項(xiàng)A中注意“若，則；，則”即可；選項(xiàng)B中注意；選項(xiàng)C中，內(nèi)層函數(shù)或，函數(shù)值都是有理數(shù)；選項(xiàng)DE取特殊情況判斷即可.【詳解】由于，對于選項(xiàng)A，設(shè)任意，則，；設(shè)任意，則，總之，對于任意實(shí)數(shù)，恒成立，A正確；對于選項(xiàng)B，的值域?yàn)?，，B錯誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)，則，；當(dāng)，則，，C正確；對于選項(xiàng)DE，取，，得到為等邊三角形，D錯誤E正確.故選：ACE.7．（多選）（23-24高一上·浙江·期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)C．的最小正周期為D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【優(yōu)尖升-分析】由“高斯函數(shù)”的定義結(jié)合的值，即可判斷A；舉反例可判斷B；在區(qū)間上，化簡，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性，可判斷C，D；【詳解】對于A，，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)為的零點(diǎn)，有無數(shù)個(gè)，B錯誤；對于C，在區(qū)間上，，結(jié)合的最小正周期為，由此可得的最小正周期為，C正確，對于D，結(jié)合C的分析可知的值域?yàn)椋珼正確，故選：ACD8．（多選）（2023高一·全國·專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點(diǎn)定理的基石．布勞威爾不動點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾（L．E．J．Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，x為函數(shù)的不動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．為“不動點(diǎn)”函數(shù)B．的不動點(diǎn)為和C．為“不動點(diǎn)”函數(shù)D．若定義在R上有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)的函數(shù)滿足，則【答案】CD【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)不動點(diǎn)的定義，可將問題轉(zhuǎn)化為解方程問題，或函數(shù)的零點(diǎn)存在性的判斷問題，結(jié)合函數(shù)值的符號判斷即可．【詳解】由題意可知，“不動點(diǎn)”函數(shù)的定義域是一個(gè)區(qū)間，且不動點(diǎn)為的根，即函數(shù)的零點(diǎn)，對于A，易知函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然圖象不連續(xù)，不符合定義，故A錯誤；對于B，由定義可知，不動點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，不是“點(diǎn)”的坐標(biāo)，故B錯誤；對于C，易知，即圖象連續(xù)，當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去），時(shí)，再令，或（舍去），故為函數(shù)的不動點(diǎn)，故C正確；對于D，由已知可設(shè)（c為常數(shù)），即，代入原式得，即或，當(dāng)時(shí)，則或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，有唯一零點(diǎn)，故，D正確．故選：CD．9．（23-24高一上·河南駐馬店·期末）給定函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個(gè)“點(diǎn)”．設(shè)函數(shù)，若是的一個(gè)“點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的值為．若為“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】3【優(yōu)尖升-分析】對于第一空，由題可知，代入相應(yīng)解析式可得答案；對于第二空，為“函數(shù)”，則函數(shù)，與函數(shù)圖象有交點(diǎn)，據(jù)此可得答案.【詳解】對于第一空，因是的一個(gè)“點(diǎn)”，則；對于第二空，由題可知為“函數(shù)”，即函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像中，存在中心對稱的兩點(diǎn)，即函數(shù)的圖象，與函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程有大于0的解.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故答案為：.故答案為：3；.九、新定義題（解答題）1．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上有定義，實(shí)數(shù)，滿足．若在區(qū)間上不存在最小值，則稱在區(qū)間上具有性質(zhì)．(1)若函數(shù)，且在區(qū)間上具有性質(zhì)時(shí)，求常數(shù)的取值范圍；(2)已知，且當(dāng)時(shí)，，判別在區(qū)間上是否具有性質(zhì)，并說明理由；(3)若對于的任意實(shí)數(shù)和；函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)，且對于任意，當(dāng)時(shí)，有：，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)在區(qū)間上具有性質(zhì)，理由見解析(3)證明見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）分別討論圖象的對稱軸與1和2的關(guān)系，即可得出是否存在最小值，再求出的取值范圍；（2）由題目條件可得時(shí)的，求出此時(shí)無最小值，再求值比較大?。唬?）首先證明對于任意，；再說明與不在同一區(qū)間上即可.【詳解】（1）函數(shù)對稱軸為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上存在最小值；當(dāng)，即時(shí)，在上存在最小值；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以不存在最小值，所以的取值范圍為.（2）設(shè)，則，所以，，所以在上單減，無最小值，且從左邊趨于時(shí)，趨于0.由可知，，又，所以，所以在區(qū)間上無最小值，具有性質(zhì).（3）對于任意．當(dāng)時(shí)，由，兩邊平方可知，所以介于和之間．若，則，所以在區(qū)間上存在最小值，不具有性質(zhì)．不合題意.所以只有，則，顯然有，則對任意的，則一定存在，使得，則，因?yàn)?，所以，?2．（23-24高一下·遼寧遼陽·階段練習(xí)）定義：若函數(shù)的值域是定義域的子集，則稱是緊縮函數(shù)．(1)試問函數(shù)是否為緊縮函數(shù)？說明你的理由．(2)若函數(shù)是緊縮函數(shù)，求的取值范圍．(3)已知常數(shù)，函數(shù)，是緊縮函數(shù)，求的取值集合．【答案】(1)不是(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）求出的定義域與值域，即可判斷；（2）首先求出的定義域，再利用換元法求出的值域，結(jié)合題意得到不等式，即可求出參數(shù)的取值范圍；（3）首先推導(dǎo)出的值域與定義域相同，再分，兩種情況討論，分別計(jì)算可得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?因?yàn)椴皇堑淖蛹?，所以不是緊縮函數(shù).（2）對于函數(shù)，令，解得，即的定義域?yàn)?令，則，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，即