浙江省培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江培優(yōu)聯(lián)盟2024年5月聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題卷浙江培優(yōu)聯(lián)盟研究院注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊至必修第二冊第8章。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A． B． C．2 D．3．已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．14．正方體的平面展開圖如圖所示，，，，為四條對角線，則在正方體中，這四條對角線所在直線互相垂直的有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對5．在中，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知函數(shù)在上有最大值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．如圖，在正方體中，為正方形的中心，當(dāng)點在線段（不包含端點）上運動時，下列直線中一定與直線異面的是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（）A． B．在上只有1個零點C．在上單調(diào)遞增 D．直線為圖象的一條對稱軸11．如圖，設(shè)，當(dāng)時，定義平面坐標(biāo)系為的斜坐標(biāo)系．在的斜坐標(biāo)系中，任意一點的斜坐標(biāo)這樣定義：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，則記．下列結(jié)論正確的是（）A．設(shè)，，若，則B．設(shè)，，若，則C．設(shè)，則D．設(shè)，，若與的夾角為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第________象限．13．已知函數(shù)，若，則________．14．如圖，點是棱長為1的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為，則點的軌跡長度為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．（1）求當(dāng)時，的解析式；（2）求在上的值域．16．（15分）如圖，在矩形中，，，點為邊的中點，點在邊上．（1）若點為線段上靠近的三等分點，求的值；（2）求的取值范圍．17．（15分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，且是銳角三角形，求面積的最大值．18．（17分）如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點．（1）證明：平面．（2）求異面直線與所成角的大小．（3）求直線與平面所成角的正切值．19．（17分）當(dāng)且時，對一切，恒成立．學(xué)生小剛在研究對數(shù)運算時，發(fā)現(xiàn)有這么一個等式，帶著好奇，他進一步對進行深入研究．（1）若正數(shù)，滿足，當(dāng)時，求的值；（2）除整數(shù)對，請再舉出一個整數(shù)對滿足；（3）證明：當(dāng)時，只有一對正整數(shù)對使得等式成立．浙江培優(yōu)聯(lián)盟2024年5月聯(lián)考高一數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的12345678CCABBCBC1．解：，選C．2．解：由題意得，選C．3．解：由題意知，選A．4．解：將展開圖合成一個正方體，易知與垂直，與垂直，故有2對，選B．5．解：因為，所以，又，所以，或，故選B．6．解：的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點個數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示，故選C．7．解：，令，，，．因為，，要使存在最大值，只需，即，所以，選B．8．解：設(shè)，的中點分別為，，連接，取的中點．因為三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，，分別是，的外接圓圓心．連接，因為平面，所以平面，所以為的外接球的球心．連接，因為球的表面積為，所以球的半徑為1，即，所以，所以，選C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABCABDBD9．解：如圖，由題意易知在平面上，結(jié)合答案圖分析，易知選ABC．10．解：，故A正確；當(dāng)時，，則在上只有1個零點，故B正確；當(dāng)時，，不能保證單調(diào)遞增，故C錯誤；當(dāng)時，，故D正確．11．解：若，則，，故A錯誤；若，則，故B正確；，，故C錯誤；，即，解得，所以，故D正確．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．二解：，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限．13．6解：令，顯然可得為奇函數(shù)，則，所以，所以．14．解：因為直線與平面所成的角為，所以點的軌跡在以為頂點，底面圓的半徑為，高為1的圓雉的側(cè)面上，又因為點是正方體表面上的一個動點，所以點的軌跡如圖所示，則點的軌跡長為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：（1）∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，，…………2分∴．…………5分（2）∵當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴．……7分由奇函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時，．………………9分又，……………………11分∴在上的值域為．…………13分16．解：（1）∵，………………2分，…………4分∴．…………7分（2）設(shè)，…………9分∴，…………11分∴，…………13分∴．…………15分17．解：（1）∵，即，………………2分∴，即或．…………6分（寫出一個給2分）（2）∵是銳角三角形，∴，，…………7分則，…………9分又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．………………12分∵，∴．…………15分18．（1）證明：連接交于點，∵，分別為，的中點，∴．…………2分∵平面，且平面，∴平面．…………4分（2）解：∵且，∴與所成角的大小等于．…………6分∵，∴，即與所成角的大小為．………………8分（3）解：連接，過作于點．∵平面，且平面，∴，又且，∴平面．…………10分∵平面，∴，又，且，∴平面，…………13分∴直線與平面所成角的大小等于．………………15分∵正方體的邊長為1，∴，，∴．…………17分19．（1）解：∵，∴，即，∴．…………4分（2）解：．……