猜想07相似三角形（四種基本模型專練）

猜想07相似三角形（四種基本模型專練）題型一：“8”字模型相似三角形題型二：“A”字模型相似三角形題型三：一線三等角構(gòu)造相似模型題型四：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型相似題型一：“8”字模型相似三角形一．選擇題（共6小題）1．（2023春?榮成市期末）四分儀是一種十分古老的測量儀器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學家托勒密的《天文學大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實地測得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ABC＝90°，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BG＝EF，∠BEF＝90°，從而可得∠ABH＝∠FEH＝90°，然后證明8字模型相似三角形△ABH∽△FEH，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2，∵四邊形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°，∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴＝，∴＝，∴EF＝4，∴BG＝EF＝4，故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的應用，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?重慶期末）如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b相交于點G，與這三條平行線分別相交于點A、B、C和點D、E、F，下列比例式中錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】由平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)即可判斷．【解答】解：A、由l1∥l2得到＝，故A正確；B由l1∥l3得到＝，故B正確；C、由l2∥l3得到△BGE∽△CGF推出＝，故C錯誤；D、由l1∥l2得到△AGD∽△BGE，推出＝，故D正確．故選：C．【點評】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理．3．（2022秋?辛集市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為BC的中點，延長AD至點E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點G，則S△CFG：S△DEG等于（）A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：2【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD＝BC，再根據(jù)線段中點的定義可得CF＝BC＝AD，然后證明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG，利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵F為BC的中點，∴CF＝BC，∴CF＝AD，∵AE∥CF，∴∠E＝∠GFC，∠EDG＝∠C，∴△EDG∽△FCG，∵DE：AD＝1：3，∴DE＝AD，∴S△CFG：S△DEG＝（）2＝（）2＝（）2＝，故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?秦都區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，∠EBC的平分線交CD于點F，連接EF，將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在EB上M點處，延長BC、EF交于點N，有下列四個結(jié)論：①BF垂直平分EN；②△BEN是等邊三角形；③△DEF∽△FEB；④SBEF＝3SDEF．其中，正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由折疊的性質(zhì)可得DE＝EM，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠FME＝90°，可證BN＝BE，由等腰三角形的性質(zhì)可得BF垂直平分EN，故①正確；若△BEN是等邊三角形，由此推出BE＝EF，與題意不符合，所以△BEN不是等邊三角形，故②錯誤；由兩組角對應相等的兩個三角形相似，可求△DEF∽△FEB，故③正確；由“AAS”可證△BFM≌△BFC，可得BE＝3EM，則S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正確，即可求解．【解答】解：∵將△DEF沿EF折疊，點D恰好落在EB上M點處，∴DE＝EM，∠DEF＝∠BEF，∠D＝∠FME＝90°，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠N，∴∠DEF＝∠N＝∠BEN，∴BN＝BE，∵BF平分∠EBN，∴BF垂直平分EN，故①正確；若△BEN是等邊三角形，∴BE＝EN＝2EF，∠EBN＝∠N＝30°，∴∠CFN＝∠DFE＝30°＝∠ABE，∴EF＝2DE，BE＝2AE，又∵點E是AD的中點，∴AE＝DE，∴BE＝EF，與題意不符合，∴△BEN不是等邊三角形，故②錯誤；∵BF垂直平分EN，∴∠BFE＝90°＝∠D，又∵∠DEF＝∠BEF，∴△DEF∽△FEB，故③正確；在△BFM和△BFC中，，∴△BFM≌△BFC（AAS），∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM．∴BE＝3EM．∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正確．故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．5．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，則零件的厚度x為（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝2，∵CD＝4cm．∴AB＝8cm．∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣8）÷2＝1（cm），故選：D．【點評】本題考查相似三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是求出AB的值．6．（2022秋?南華縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD上的點，AE交BD于點F，交BC延長線于點G，若DE：CE＝3：1，則AF：FG＝（）A．3：4 B．3：5 C．9：16 D．9：25【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)先說明△ADE∽△GCE，再利用相似三角形的性質(zhì)用CG表示出AD、BG，再通過△ADF∽△BGF可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴AD∥BG．∴△ADE∽△GCE．∴＝＝3．∴AD＝BC＝3CG．∴BG＝4CG．∵AD∥BG，∴△ADF∽△GBF．∴＝＝＝．故選：A．【點評】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）7．（2022秋?香坊區(qū)期末）如圖，AB∥CD，AC與BD相交于點E，AB＝1，CD＝2，△ABE的面積為1，則△CDE的面積為4．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠A＝∠C，∠B＝∠D，則△ABE∽△CDE，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴△ABE∽△CDE，∴，即S△CDE＝4S△ABE，∵△ABE的面積為1，∴S△CDE＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．8．（2022秋?如皋市期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的辦法：如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀測井水水岸D，視線BD與井口的直徑CA交于點E，若測得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，則水面以上深度CD為3米．【分析】根據(jù)已知可得CE＝1.2米，再根據(jù)題意可得：∠BAC＝∠ACD＝90°，然后證明8字模型相似三角形△AEB∽△CED，從而利用相似三角形的性質(zhì)，進行計算即可解答．【解答】解：∵AC＝1.6米，AE＝0.4米，∴CE＝AC﹣AE＝1.2（米），由題意得：∠BAC＝∠ACD＝90°，∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴＝，∴＝，解得：CD＝3米，故答案為：3米．【點評】本題考查了相似三角形的應用，數(shù)學常識，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?靜安區(qū)期末）在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD（如圖所示），矩形的對角線AC交正方形的邊EF于點P．如果點F恰好是邊CD的黃金分割點（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝﹣1．【分析】先根據(jù)黃金分割的定義可得＝，再利用正方形的性質(zhì)可得：DF∥AE，DF＝AE，從而可得＝，然后證明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：∵點F恰好是邊CD的黃金分割點（DF＞FC），∴＝＝，∵四邊形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF＝AE，∴＝，∵DC∥AB，∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴＝＝，∵PE＝2，∴PF＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖是一個零件的剖面圖，已知零件的外徑為10cm，為求出它的厚度x，現(xiàn)用一個交叉卡鉗（AC和BD的長相等）去測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝，且量得CD的長是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長，再根據(jù)某零件的外徑為10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm．∴AB＝9cm．∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣9）÷2＝0.5（cm），故答案為：0.5．【點評】本題考查相似三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是求出AB的值．11．（2022秋?蘆淞區(qū)期末）如圖，直線y＝kx﹣2（k＞0）與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點R，與x軸、y軸的交點分別為P、Q．過R作RM⊥x軸，M為垂足，若△OPQ與△PRM的面積相等，則k的值等于2．【分析】根據(jù)△OPQ與△PRM相似以及它們面積相等，可以得到兩三角形全等，再根據(jù)一次函數(shù)求出點P、Q的坐標，進而得到OP、OQ的長度，再根據(jù)三角形全等表示出點R的坐標，代入反比例函數(shù)表達式，解方程即可求得k的值．【解答】解：∵y＝kx﹣2，∴當x＝0時，y＝﹣2，當y＝0時，kx﹣2＝0，解得x＝，所以點P（，0），點Q（0，﹣2），所以O(shè)P＝，OQ＝2，∵RM⊥x軸，∴△OPQ∽△MPR，∵△OPQ與△PRM的面積相等，∴△OPQ與△PRM的相似比為1，即△OPQ≌△MPR，∴OM＝2OP＝，RM＝OQ＝2，所以點R（，2），∵雙曲線經(jīng)過點R，∴＝2，即k2＝8，解得k1＝2，k2＝﹣2（舍去）．故答案為：2．【點評】本題綜合考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，利用三角形面積相等得到兩三角形全等是解本題的突破口，也是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?丹東期末）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上的點，連接CE．以點E為圓心，以任意長為半徑作弧分別交EC，ED于點N，M，再分別以M，N為圓心，以大于MN長為半徑作弧，兩弧在∠CED內(nèi)交于點P，連接EP并延長交DC于點H，交BC的延長線于點G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，則EH的長為6．【分析】根據(jù)題中作圖判斷EP是∠DEC的角平分線，利用線段比和勾股定理求出EC，再利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CG，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出DH，最后利用勾股定理得結(jié)論．【解答】解：∵以點E為圓心，以任意長為半徑作弧分別交EC，ED于點N，M，再分別以M，N為圓心，以大于MN長為半徑作弧，兩弧在∠CED內(nèi)交于點P，連接EP，∴EP是∠DEC的角平分線，∴∠DEG＝∠CEG．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝16，∠D＝90°，AD∥BC．∵AE：AD＝1：4，AE+ED＝16，∴AE＝4，ED＝12．在Rt△EDC中，EC＝＝＝20．∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEG＝∠CEG．∴EC＝CG＝20．∵AD∥BC，∴△EDH∽△GCH．∴＝＝＝．∵DH+HC＝CD＝16，∴DH＝6．在Rt△EDH中，EH＝＝＝＝6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了勾股定理和相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的作法、等腰三角形的判定等知識點是解決本題的關(guān)鍵．13．（2022秋?廬陽區(qū)期末）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點，則＝2；若∠CMF＝60°，則＝2．【分析】（1）連接BD，根據(jù)相似三角形計算即可；（2）把60°的角放到直角三角形中，所以過C作CN⊥AM所在直線，利用角平分線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）連接BD，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，∴△MCD∽△MEB，∴，∵E為AB中點，∴；（2）過點C作CN⊥AF，交AF的延長線于點N，如圖2，在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，∵sin60°＝，cos60°＝，∴，，即CM＝2MN，∵AE＝CF，BA＝BC，∴BA﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），∴∠FAB＝∠ECB，∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM＝FM，∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°∴∠FAB＝∠FCN，∴∠MCF＝∠NCF，過點F作FG⊥CE于點G，∴FG＝FN，∠FMG＝∠MCN，∴cos∠FMG＝cos∠MCN＝，∵，∴，∵＝，MF＝EM，∴＝＝2+2×＝2+2×＝2+．故答案為：2；2+．【點評】本題考查的是正方形的綜合題，解題的關(guān)鍵是從題中找到作出正確的輔助線CN．三．解答題（共11小題）14．（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分別為B、C，AE交BC于點D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的長．【分析】根據(jù)AB⊥BC，EC⊥BC可得∠C＝∠B＝90°，由對頂角相等得∠CDE＝∠BDA，則△DCE∽△DBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠C＝∠B＝90°，∵∠CDE＝∠BDA，∴△DCE∽△DBA，∴，∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，∴，∴EC＝4．【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知兩個三角形相似，對應邊的比相等是解題關(guān)鍵．15．（2022秋?市南區(qū)期末）將一塊長方體蛋糕平均分成3份，若按照如圖1方式進行分割，每份的蛋糕胚一樣多，但奶油不一樣多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋糕胚和奶油一樣多呢？如圖2，首先我們可以將蛋糕抽象成矩形，用加粗線條表示有奶油的邊，然后將矩形沿其對角線分割并拼成如圖3的平行四邊形ABCD，分別取邊AB、CD的三等分點E、F和G、H，如圖4，按EG、FH分割成3份（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ），此種分法能夠保證每份的蛋糕坯一樣多，奶油是否一樣多，我們只需判斷每份中加粗線條的長度和是否相等，請你給出判斷并加以證明．【分析】設(shè)BD與FH交于點M，與EG交于點N，過點N作NP∥AB交FH于點P，根據(jù)題意可得AB∥DC，BF＝CH＝EF＝GH＝AE＝DG，則Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ區(qū)域均為平行四邊形，易通過AAS證明△FBM≌△PNM，△PNM≌△GDN，得到BM＝NM＝DN，以此即可證明．【解答】此種分法能夠保證奶油一樣多．證明：設(shè)BD與FH交于點M，與EG交于點N，過點N作NP∥AB交FH于點P，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為AB邊的三等分點，G、H為CD邊三等分點，∴AB∥DC，BF＝CH＝EF＝GH＝AE＝DG，∴四邊形FBCH、EFGH、AEGD均為平行四邊形，∵NP∥EF，EN∥FP，∴四邊形EFPN為平行四邊形，∠FBM＝∠PNM，∴NP＝EF＝BF＝DG，在△FBM和△PNM，，∴△FBM≌△PNM（AAS），∴BM＝NM，同理可證明△PNM≌△GDN，則NM＝DN，∴BM＝NM＝DN，∴AE+DG+DN＝EF+GH+NM＝BF+CH+BM，即此種分法能夠保證奶油一樣多．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，理清題意，正確作出輔助線，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．16．（2022秋?杭州期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在線段BD，AC上，連結(jié)AD，EF交于點G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，∠CAB＝2∠CAD，根據(jù)題意不難證明△ABC∽△EFC；（2）過點F作FH∥BC，交AD于點H，）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD＝CD，則DE＝，易證明△AHF∽△ADC，則，易證明△HFG∽△DEG，則，將DE＝，代入即可求解．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵點D是BC的中點，∴∠CAB＝2∠CAD，∵∠CEF＝2∠CAD，∴∠CEF＝∠CAB，在△ABC和△EFC中，，∴△ABC∽△EFC；（2）過點F作FH∥BC，交AD于點H，∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點D是BC的中點，∴BD＝CD，∵BE＝2DE，∴，即DE＝，∵HF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵＝，∴，∴，∵HF∥BC，∴△HFG∽△DEG，∴，由上述知，DE＝，，∴＝．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例答題時解題關(guān)鍵．17．（2022秋?金山區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：DG?AE＝AB?AG．【分析】（1）通過證明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行線的性質(zhì)可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可證△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得＝，且∠DCG＝∠ACB，可證△CDG∽△CAB，可得＝，由平行線分線段成比例可得＝，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AF2＝FG?FE．∴＝，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴＝，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴＝，∵AE∥BC，∴＝，∴＝，∴＝，∴DG?AE＝AB?AG．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（2022秋?市期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．求證：△ABE∽△DCE．【分析】根據(jù)相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE．【解答】證明：∵AB2＝BE?BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE．【點評】本題主要考查相似三角形的判定，涉及A字型相似，8字型相似等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)判定是解題關(guān)鍵．19．（2022秋?陽谷縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定可得△ABE∽△DBA；所以∠BAC＝∠BDC，由此可得出△ABE∽△DCE；（2）由（1）中的相似可得出AE：DE＝BE：CE，再由∠BEC＝∠AED可得△ADE∽△BCE，所以∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，可得△BCD∽△ADE，進而可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB2＝BE?BD，∴AB：BE＝BD：AB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴∠BAC＝∠BDC，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠BAC，∴△ABE∽△DCE；（2）由（1）中相似可得，AE：DE＝BE：CE，∵∠BEC＝∠AED，∴△ADE∽△BCE，∴∠EAD＝∠EBC，∠ADE＝∠BDC＝∠BCE，∴△BCD∽△AED，∴BC：AE＝CD：ED，AE?CD＝BC?ED．【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與安定，涉及A字型相似，8字型相似等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)判定是解題關(guān)鍵．20．（2022秋?吉州區(qū)期末）如圖，BD、AC相交于點P，連接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的長度．【分析】根據(jù)8字型模型證明兩個三角形相似即可解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠APD＝∠BPC，∴△DAP∽△CBP，∴＝，∴＝，∴AP＝6．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握8字型模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，已知銳角∠ABC，以AB為直徑畫⊙O，交BC邊于點M，BD平分∠ABC與⊙O交于點D，過點D作DE⊥BC于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連接OE交BD于點F，若∠ABC＝60°，AB＝4，求DF長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)OD＝OB得到∠ODB＝∠OBD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠OBD＝∠DBE，以此得到OD∥BE，從而即可證明；（2）連接AD，OD，可得∠ADB＝90°，根據(jù)∠ABC＝60°得到AD＝2，再根據(jù)勾股定理即可以此求出BD＝，BE＝3，由（1）知，OD∥BE，則△DFO∽△BFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即，最后由即可求出DF的長．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，則OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠DBE，∴∠ODB＝∠DBE，∴OD∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°，∵OD為半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接AD，OD，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，OD＝OB＝2，∴AD＝2，在Rt△ADB中，＝，∴DE＝，在Rt△DEB中，＝3，∵OD∥BE，∴△DFO∽△BFE，∴，即，∵，∴DF+，解得：DF＝．【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，解含30度角的直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．22．（2022秋?辛集市期末）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D均在格點上．（1）在圖①中，的值為1：3；（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在AB上找一點P，使AP＝3；②如圖③，在BD上找一點P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）如圖①中，利用平行線的性質(zhì)求解即可．（2）①根據(jù)勾股定理得AB的長為5，再根據(jù)相似三角形的判定方法即可找到點P；②作點A的對稱點A′，連接A′C與BD的交點即為要找的點P，使△APB∽△CPD．【解答】解：（1）如圖①中，∵AB∥CD，∴△PCD∽△PBA．∴＝＝，故答案為：1：3；（2）①取格點E，F(xiàn)，連接EF交AB于點P，點P即為所求的點．由勾股定理知：AB＝＝5．∵AP＝3，∴BP＝2．∵BE∥FA，∴△EPB∽△FPA．∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．∴取格點E，F(xiàn)，連接EF交AB于點P，點P即為所求的點；②如圖③所示，作點A的對稱點A′，連接A′C，交BD于點P，點P即為所要找的點，∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．【點評】本題屬于相似綜合題，主要考查作圖﹣應用與設(shè)計，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．23．（2022秋?雙流區(qū)期末）小明為了測量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測儀AB從觀測出發(fā)點A觀測深坑底部P，且觀測視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點E，在深坑右側(cè)用觀測儀CD從測出發(fā)點C觀測深坑底部P，且觀測視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點F，點B，E，F(xiàn)，D在同一水平線上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，觀測儀AB高2m，觀測儀CD高1m，BE＝1.6m，F(xiàn)D＝0.8m，深坑寬度EF＝8.8m，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算深坑深度多少米？【分析】過點P作PH垂直EF，垂足為H，然后根據(jù)已知證明△ABM∽△PHM，△CDN∽△PHN，得出HP＝＝，設(shè)MH＝xm，則NH＝（8.8﹣x）m，解得MH＝4.4，再求HP即可．【解答】解：過點P作PH垂直EF，垂足為H，如圖：∵AB⊥EF，PH⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥HP，CD∥HP，∴△ABM∽△PHM，△CDN∽△PHN，∴＝，＝，∴HP＝，HP＝，∴＝，∵AB＝2m，BM＝1.6m，CD＝1m，DN＝0.8m，MN＝8.8m，設(shè)MH＝xm，則NH＝（8.8﹣x）m，∴＝，∴x＝4.4，∴HP＝＝＝5.5（m），∴深坑深度5.5米．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．24．（2022秋?南開區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，G是CD延長線上一點，連接BG交AC，AD于E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對邊平行，得到∠ABE＝∠CGE，再利用對頂角相等，可得△ABE∽△CGE；（2）利用平行四邊形對邊平行，證明△AEF∽△CEB，得到，再由（1）得，，從而求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠CGE，又∵∠AEB＝∠CGE，∴△ABE∽△CGE．（2）解：設(shè)FD＝m，則AF＝2m，∴AD＝3m，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3m，∴∠EAF＝∠ECB，∠AFE＝∠CBE，∴△AEF∽△CEB∴＝＝，又∵△ABE∽△CGE，∴＝＝．即的值為．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二：“A”字模型相似三角形一．選擇題（共4小題）1．（2023春?東平縣期末）如圖，P為△ABC的邊AB上一點（AB＞AC），則下列條件不一定能保證△ABC∽△ACP的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．【分析】對于選項A，可考慮判定“兩角對應相等，兩三角形相似”；對于選項B，可考慮判定“兩角對應相等，兩三角形相似”；對于選項C，可考慮判定“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”；對于選項D，可考慮判定“兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”或“三邊對應成比例，兩三角形相似”．【解答】解：對于選項A，∠ACP＝∠B，因為∠CAP＝∠BAC，所以△ABC∽△ACP（兩角對應相等，兩三角形相似），故A不符合題意；對于選項B，∠APC＝∠ACB，因為∠CAP＝∠BAC，所以△ABC∽△ACP（兩角對應相等，兩三角形相似），故B不符合題意；對于選項C，，因為∠CAP＝∠BAC，所以△ABC∽△ACP（兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似），故C不符合題意；對于選項D，，因為∠PCA不一定等于∠CBA，或不一定等于，所以不一定能保證△ABC∽△ACP，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查了三角形相似的兩個判定：兩角對應相等兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．關(guān)鍵是找到對應角和邊．2．（2023春?海東市期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E為CD上的點，F(xiàn)為BC的中點，連接AE，AF，點M，N分別是AE和AF的中點，若DE＝2，則MN的長為（）A． B．2 C． D．3【分析】依據(jù)點M，N分別是AE和AF的中點，即可得到MN是△AEF的中位線，故MN的長即為EF的長的一半；在Rt△CEF中根據(jù)勾股定理求得EF的長，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在邊長為6的正方形ABCD中，DE＝2，F(xiàn)為BC的中點，∴CF＝3，CE＝4，∴Rt△CEF中，EF＝＝5．∵點M，N分別是AE和AF的中點，∴MN是△AEF的中位線，∴MN＝EF＝＝，故選：C．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理以及勾股定理的運用，關(guān)鍵是掌握：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．3．（2023春?芝罘區(qū)期末）操場上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在操場的墻壁上，經(jīng)測量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長為2.6m，同時測得一根高為2m的竹竿OM的影長是ON＝1.6m，請根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m【分析】首先需先求出這棵樹全落在地面上時的影子的長，即這棵樹在底面上的影子長與墻壁上的影子落在地面上的投影長度之和；一根長為2m的竹竿的影長是1.6m；根據(jù)竹竿的高與其影長的比值和樹高與其影長的比值相同，即可列方程求出這棵樹的高度．【解答】解：由題意可知，留在墻壁上的樹影高為1.2m，設(shè)這段影子在地面上的長為a，可得：＝，∴a＝0.96m．∴這棵樹全落在地面上時的影子的長為：2.6+0.96＝3.56（m）．設(shè)樹高為xm，再根據(jù)竹竿的高與其影長的比值和樹高與其影長的比值相同可列比例式為：＝，∴x＝4.45．∴樹高是4.45m．故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的應用，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?環(huán)翠區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，點E在對角線BD上，EM∥AD，交AB于點M，EN∥AB，交AD于點N，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)逐個判斷得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．A．∵EM∥AD，∴＝．∵EN∥AB，∴△DNE∽△EMB．∴＝．∵DE不一定等于BM，∴＝不一定成立，故選項A不一定正確；B．∵EM∥AD，∴＝．∵EN∥AB，∴∵DE不一定等于BE，∵不一定成立，故選項B不一定正確；C．∵EM∥AD，∴△BEM∽△BDA．∴＝，故選項C一定正確；D．由C可得，故選項D一定不正確．故選：C．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）5．（2023春?八步區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)G∥DE，若BC+FG＝15，則DE的長為6．【分析】首先利用三角形中位線定理推出DE平行且等于BC，再根據(jù)“A”字模型證明三角形相似，進而得到FG＝BC，然后利用BC+FG＝15，求出BC的長，進而求解．【解答】解：∵D，E分別為AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC，∵FG∥DE，∴FG∥DE∥BC，∴△AFG∽△ABC，又∵F是AD的中點，D是AB的中點，∴，∴FG＝BC，∵BC+FG＝15，∴BC+BC＝15，∴BC＝12，∴DE＝×12＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FG與BC的數(shù)量關(guān)系．6．（2023春?南關(guān)區(qū)校級期末）明珠綠星數(shù)學社團想利用標桿測量樓高，小明先在N處豎立一根高1.6m的標桿MN，發(fā)現(xiàn)點B、M、P在同一直線上．測得PN＝0.5m，AN＝4.5m，已知，點A、N、P在同一直線上，MN⊥AP于點N，AB⊥AP于點A．則樓高AB為16m．【分析】根據(jù)垂直定義可得∠BAP＝∠MNP＝90°，然后證明△BAP∽△MNP，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．【解答】解：∵MN⊥AP，AB⊥AP，∴∠BAP＝∠MNP＝90°，∵∠P＝∠P，∴△BAP∽△MNP，∴＝，∴＝，解得：AB＝16，∴樓高AB為16m，故答案為：16．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春?重慶期末）如圖，小明站在兩路燈AB、CD之間的點F處，兩路燈底部的距離BD＝10m，兩路燈的高度均為8m，小明身高EF＝1.6m，他在路燈AB下的影子FM＝1m，在路燈CD下的影子為FN，則FN＝．【分析】根據(jù)題意可得：EF⊥BD，AB⊥BD，CD⊥BD，從而可得∠B＝∠EFM＝∠EFN＝∠D＝90°，然后先證明A字模型相似三角形△EFM∽△ABM，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BM的長，進而求出DM的長，最后再證明A字模型相似三角形△NFE∽△NDC，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：EF⊥BD，AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠EFM＝∠EFN＝∠D＝90°，∵∠EMF＝∠AMB，∴△EFM∽△ABM，∴＝，∴＝，解得：BM＝5m，∵BD＝10m，∴DM＝BD﹣BM＝5（m），∵∠ENF＝∠CND，∴△NFE∽△NDC，∴＝，∴＝，解得：NF＝m，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的應用，中心投影，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?虹口區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點D是AB的中點．將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AD1C1（點D與點D1對應，點C與點C1對應），當點C1落在邊AB上時，聯(lián)結(jié)BD1，那么線段BD1的長是3．【分析】延長D1C1交BC于點E，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB＝10，再利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AD＝CD＝5，從而可得∠DAC＝∠DCA，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：D1C1＝CD＝5，AC＝AC1＝8，∠ACD＝∠AC1D1，從而可得BC1＝2，∠DAC＝∠D1C1A，進而可得DE∥AC，再利用平行線的性質(zhì)可得∠BEC1＝∠BCA＝90°，∠BC1E＝∠BAC，從而可得△BC1E∽△BAC，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得C1E＝1.6，BE＝1.2，從而可得D1E＝6.6，再在Rt△D1EB中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：延長D1C1交BC于點E，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵點D是AB的中點，∴AD＝CD＝AB＝5，∴∠DAC＝∠DCA，由旋轉(zhuǎn)得：D1C1＝CD＝5，AC＝AC1＝8，∠ACD＝∠AC1D1，∴BC1＝AB﹣AC1＝10﹣8＝2，∠DAC＝∠D1C1A，∴DE∥AC，∴∠BEC1＝∠BCA＝90°，∠BC1E＝∠BAC，∴△BC1E∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝，∴C1E＝1.6，BE＝1.2，∴D1E＝D1C1+C1E＝5+1.6＝6.6，在Rt△D1EB中，BD1＝＝＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?陽曲縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點D位于邊AB上，過點D作邊BC的平行線交邊AC于點E，過點D作邊AC的平行線交邊BC于點F，設(shè)AE＝x，四邊形CEDF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣x2+8x．（不必寫定義域）【分析】根據(jù)已知可證四邊形DECF是平行四邊形，然后利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠C＝90°，進而可得四邊形DECF是矩形，再證明A字模型相似三角形△AED∽△ABC，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得DE＝x，最后根據(jù)矩形的面積公式進行計算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DECF是平行四邊形，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴矩形CEDF的面積＝DE?CE，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+8x，故答案為：y＝﹣x2+8x．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）10．（2023春?龍口市期末）下表是小明填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容，請你借助小明的測量數(shù)據(jù)，計算小河的寬度．題目測量小河的寬度（AB的長）測量目標示意圖相關(guān)數(shù)據(jù)BC＝1.5m，DE＝2m，BD＝4m．【分析】根據(jù)題意可得：CB⊥AB，ED⊥AD，從而可得∠CBA＝∠EDA＝90°，然后證明A字模型相似三角形△ABC∽△ADE，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：CB⊥AB，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴，∴，解得：AB＝12，∴小河的寬度為12m．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?廣州期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度數(shù)．【分析】此題類似于射影定理模型，想到三角形相似．【解答】解：∵AD＝2，BD＝1，DC＝4，∴，∵∠BDA＝∠ADC＝90°，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD＝∠C，∵∠C+∠DAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°．【點評】本題考查了相似三角形的判斷：夾角相等，對應邊成比例．從條件AD＝2，BD＝1，DC＝4上聯(lián)想成比例．12．（2022秋?嶧城區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，設(shè)運動的時間為t秒．（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），由△ABC為等腰直角三角形，可得∠A＝∠B＝45°，則可判斷△APE和△PBD為等腰直角三角形，得出PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，則CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，由矩形和菱形性質(zhì)及勾股定理，即可求得答案．【解答】解：（1）如圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB＝＝＝4（cm），由題意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，則BP＝（4﹣t）cm，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得：t＝2，∴當t＝2時，PQ⊥BC．（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如圖②，AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴△APE和△PBD為等腰直角三角形，∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，∵四邊形PECD為矩形，∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，∴BD＝（4﹣t）cm，∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∵四邊形QPCP′為菱形，∴PQ＝PC，∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∴t1＝，t2＝4（舍去）．∴當t的值為時，四邊形QPCP′為菱形．【點評】此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．13．（2023春?牟平區(qū)期末）我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖所示，現(xiàn)將一高為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置（CG＝DE），此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度．【分析】根據(jù)題意可得：CD＝1.8米，AB⊥BF，GC⊥BF，ED⊥BF，從而可得∠B＝∠GCH＝∠EDF＝90°，然后證明A字模型相似三角形GCH∽△ABH，△EDF∽△ABF，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：CD＝1.8米，AB⊥BF，GC⊥BF，ED⊥BF，∴∠B＝∠GCH＝∠EDF＝90°，∵∠GHC＝∠AHB，∴△GCH∽△ABH，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△EDF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴＝，解得：BC＝0.9，∴＝，解得：AB＝3.8，∴燈桿AB的高度為3.8米．【點評】本題考查了相似三角形的應用，中心投影，平移的性質(zhì)，數(shù)學常識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春?振興區(qū)校級期末）綜合與實踐問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝α，連接BD、CE．當α＝60°時，通過測量，猜想出圖中與BD相等的線段，并加以證明．獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實踐探究：（2）王老師修改條件，并提出新問題，請你解答．如圖2，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝α，連接BD、CE．當α＝120°時，請用已學的知識求出的值．【分析】（1）α＝60°時，三角形ABC和三角形ADE都是等邊三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，進而證明三角形ABD全等于三角形ACE可得結(jié)論；（2）根據(jù)AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝α＝120°，可證明△ABD∽△ACE，又△ABC中∠BAC＝120°，AB＝AC，則AC＝AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）作BM⊥AC于M點，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴AC＝2AM，∠BAC＝30°，∴AB＝2BM，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB2＝BM2+AM2∴4BM2＝BM2+AM2，解得：AM＝BM，∴，∵DA＝AE，∠DAE＝120°，∴∠DAE＝30°，∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴△BAD∽△CAE，∴．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．15．（2023春?德化縣期末）如圖，將線段AB平移得到CD，使A與D對應，B與C對應，連接AD，BC．（1）求證：∠B＝∠ADC；（2）點G在BC的延長線上，點C與C′關(guān)于直線DG對稱，直線DC′交BC的延長線于點E．點F在線段CE上，且∠DFE＝∠EDF．①設(shè)∠B＝α，求∠FDG的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②證明：．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥CD，AB＝CD，從而可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答；（2）①利用平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠DCF＝α，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠DFE＝∠DCF+∠CDF，從而利用角的和差關(guān)系可得∠CDE＝2∠CDF+∠DCF，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠CDG＝∠C′DG＝∠CDE＝∠CDF+∠DCF，從而可得∠CDG﹣∠CDF＝∠DCF，進而可得∠FDG＝∠DCF＝α，即可解答；②過點G作GH∥CD，交DE于點H，連接GC′，先證明A字模型相似三角形△CDE∽△GHE，從而可得＝，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△CDG≌△C′DG，從而可得CG＝C′G，∠DCG＝∠DC′G，進而可得∠DC′G＝∠HGE，然后證明△HC′G∽△HGE，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，即可解答．【解答】（1）證明：由平移得：AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠ADC；（2）①解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCF＝α，∵∠DFE是△DCF的一個外角，∴∠DFE＝∠DCF+∠CDF，∵∠DFE＝∠EDF，∴∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝∠CDF+∠DFE＝∠CDF+∠DCF+∠CDF＝2∠CDF+∠DCF，∵點C與C′關(guān)于直線DG對稱，∴∠CDG＝∠C′DG＝∠CDE＝（2∠CDF+∠DCF）＝∠CDF+∠DCF，∴∠CDG﹣∠CDF＝∠DCF，∴∠FDG＝∠DCF＝α，∴∠FDG的度數(shù)為α；②過點G作GH∥CD，交DE于點H，連接GC′，∴∠DCG＝∠HGE，∠CDH＝∠GHE，∴△CDE∽△GHE，∴＝，∵點C與C′關(guān)于直線DG對稱，∴△CDG≌△C′DG，∴CG＝C′G，∠DCG＝∠DC′G，∴∠DC′G＝∠HGE，∵∠GHE＝∠GHC′，∴△HC′G∽△HGE，∴＝，∴＝，∴＝．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?大連期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．D為AC中點，過D作DE⊥AC交AB于點E．動點P從點D出發(fā)，沿射線DE以1cm/s的速度運動．過D作DM∥AB，過P作PM⊥DM于點M．設(shè)點P的運動時間為t（s）．△PDM與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2）．（1）當點M落在BC邊上時，求t的值；（2）當點M在△ABC內(nèi)部時，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意可得AB＝10cm，DM＝5cm，再根據(jù)DM∥AB，PM⊥DM可得∠PDM＝∠B，∠PMD＝∠ACB＝90°，從而可證△PDM∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PD＝cm，以此即可求解；（2）當點M在△ABC內(nèi)部時，在（1）的情況下，達到了最大值，①當0＜t≤3時，S＝S△PDM，此時PD＝t，由△PDM∽△ABC可得PM＝，DM＝，以此即可算出S；②當3＜t≤時，過E作EQ⊥DM交DM于點Q，S＝S四邊形EDMN＝S△EDQ+S四邊形ENMQ，根據(jù)題意可得DE＝3，四邊形ENMQ為矩形，再由△DQE∽△BCA得DQ＝，QE＝，，根據(jù)△PEN∽△EDQ得EN＝，以此即可算出S．【解答】解：（1）如圖，此時點M落在BC邊上，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴cm，∵D為AC中點，DM∥AB，∴cm，∵DE⊥AC，∴∠PDC＝90°，∵DM∥AB，∴∠A＝∠MDC，∵∠A+∠B＝90°，∠PDM+∠MDC＝90°，∴∠PDM＝∠B，∵PM⊥DM，∴∠PMD＝∠ACB＝90°，∴△PDM∽△ABC，∴，即，∴PD＝cm，∴t＝（s），∴當點M落在BC邊上時，t的值為；（2）由（1）可知，當點M在△ABC內(nèi)部時，在（1）的情況下，達到了最大值，當點P位于點D位置時，達到了最小值，①當0＜t≤3時，S＝S△PDM，此時PD＝t，根據(jù)△PDM∽△ABC，可得，即，∴PM＝，DM＝，∴，∴；②當3＜t≤時，如圖，過E作EQ⊥DM交DM于點Q，S＝S四邊形EDMN＝S△EDQ+S四邊形ENMQ，∵D為AC中點，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵EQ⊥DM，PM⊥DM，∴EQ∥PM，四邊形ENMQ為矩形，∴△DQE∽△DMP，∴△DQE∽△BCA，∴，即，∴DQ＝，QE＝，∴，此時，PD＝t，PE＝t﹣3，∵DM∥AB，∴△PEN∽△EDQ，∴，即，∴EN＝，∴＝，∴S＝S四邊形EDMN＝S△EDQ+S四邊形ENMQ＝，綜上，當0＜t≤3時，；當3＜t≤時，．【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，三角形的面積以及矩形的面積，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，運用分類討論思想是解題關(guān)鍵．題型三：一線三等角構(gòu)造相似模型一．選擇題（共3小題）1．（2023春?榮昌區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，將點B折疊到CD邊上點E處，折痕為AF，連接AE，EF，若點E是CD中點，則CF長為（）A． B．1 C．2 D．3【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊，即可得到AD，DE，CE的長；再根據(jù)△ADE∽△EFC，利用對應邊成比例即可得CF的長．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝6，∴CD＝6，又∵E是CD的中點，∴DE＝CE＝3，Rt△ADE中，AD＝＝3，由題可得，∠D＝∠C＝∠AEF＝90°，∴∠AED+∠CEF＝90°＝∠EFC+∠CEF，∴∠AED＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC，∴＝，即＝，解得CF＝，故選：A．【點評】本題主要考查了折疊問題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．2．（2022秋?寧德期末）如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，點D是AB邊上一個動點，沿過點D的直線折疊∠A，使點A落在BC邊上的點F處，折痕交AC于點E，當BF＝1，AE＝時，則AD的長是（）A． B． C．2 D．【分析】首先由翻折性質(zhì)得到△ADE≌△DEF，所以AD＝DF，AE＝EF，再利用一線三等角證明出△BDF∽△CEF，最后根據(jù)相似三角形對應邊的比相等計算出DF的長即可解答．【解答】解：∵△ABC邊長為4，AE＝，∴CE＝4﹣＝，∵由翻折性質(zhì)得：△ADE≌△FDE，∴AD＝DF，AE＝EF，∵∠DFE＝∠A＝60°，∴∠DFB+∠EFC＝120°，∵∠C＝60°，∴∠EFC+∠CEF＝120°，∴∠CEF＝∠DFB，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDF∽△CFE，∴BD：CF＝BF：CE＝DF：FE＝1：，∴DF＝FE＝，∴AD＝DF＝．故選：B．【點評】本題重點考查了折疊的兩個圖形全等、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用一線三等角證明三角形相似．3．（2022秋?鄒城市校級期末）如圖，AB⊥BD于點B，ED⊥BD于點D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．點C為BD上一點，連接AC、CE．當BC＝（）時，可使AC⊥CE．A．3 B．2或4 C． D．2或3【分析】根據(jù)垂直定義可得∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠A+∠ACB＝90°，再利用平角定義可得∠ACB+∠ECD＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠ECD＝∠A，從而證明△ABC∽△CDE，最后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠ECD＝∠A，∴△ABC∽△CDE，∴＝，∴＝，解得：BC＝2或BC＝4，∴當BC＝2或4時，可使AC⊥CE，故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角構(gòu)造相似模型是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）4．（2023春?寧波期末）如圖，在矩形ABCD中AB＝7cm、BC＝8cm，現(xiàn)將矩形沿EF折疊，點C翻折后交AB于點G，點D的對應點為點H，當BG＝4cm時，線段GI的長為5cm．【分析】設(shè)BE＝x，則CE＝8﹣x＝GE，Rt△BGE中利用勾股定理即可得到BE的長，進而得出GE的長．再根據(jù)△AIG∽△BGE，利用對應邊成比例即可得到GI的長．【解答】解：設(shè)BE＝x，則CE＝8﹣x＝GE，Rt△BGE中，BE2+BG2＝GE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴BE＝3，GE＝5，由題可得，∠A＝∠B＝∠EGI＝90°，AG＝7﹣4＝3，∴∠AGI+∠BGE＝90°＝∠BEG+∠BGE，∴∠AGI＝∠BEG，∴△AIG∽△BGE，∴＝，即＝，解得GI＝5，故答案為：5．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是利用一線三等角構(gòu)造相似模型．5．（2022秋?武功縣期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中點，連接DE，DE的垂直平分線分別交AB、DE、CD于M、O、N，連接EN，過E作EF⊥EN交AB于F，則AF＝2．【分析】設(shè)CN＝x，則DN＝6﹣x，利用線段垂直平分線性質(zhì)可得EN＝DN＝6﹣x，運用勾股定理建立方程求解即可求得CN＝，再證明△BFE∽△CEN，利用相似三角形性質(zhì)即可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝6，∴BC＝CD＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°，∵E是BC中點，∴BE＝CE＝BC＝3，設(shè)CN＝x，則DN＝6﹣x，∵MN是線段DE的垂直平分線，∴EN＝DN＝6﹣x，在Rt△CEN中，CE2+CN2＝EN2，∴32+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，∴CN＝，∵EF⊥EN，∴∠FEN＝90°，∴∠BEF+∠CEN＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠CEN，∴△BFE∽△CEN，∴＝，∴BF＝＝＝4，∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應用，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?大名縣校級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點D、點E分別在BC、AC上，且∠ADE＝60°．（1）寫出和∠CDE相等的角：∠BAD；（2）若AB＝3，BD＝1，則CE長為．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，從而利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAD+∠ADB＝120°，再根據(jù)平角定義可得∠CDE+∠ADB＝120°，從而可得∠CDE＝∠BAD，即可解答；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得求出CD的長，再利用（1）的結(jié)論證明△ABD∽△DCE，然后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠CDE＝∠BAD，∴和∠CDE相等的角：∠BAD，故答案為：∠BAD；（2）∵BC＝3，BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2，由（1）得：∠B＝∠C＝60°，∠CDE＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴CE＝，故答案為：．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角模型相似是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點D作DE⊥AD，交AB于點E，則EB的長為．【分析】過點E作EM⊥BC，垂足為M，先證明一線三等角模型相似三角形△ACD∽△DME，從而利用相似三角形的性質(zhì)可設(shè)EM＝2x，則DM＝3x，然后再證明A字模型相似三角形△BME∽△BCA，從而可得BM＝x，進而根據(jù)BD＝2列出關(guān)于x的方程，進行計算可求出EM，BM的長，最后在Rt△BME中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：過點E作EM⊥BC，垂足為M，∴∠DME＝∠BME＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠CDA+∠EDM＝90°，∴∠CDA＝∠DEM，∵點D是BC的中點，∴CD＝BD＝BC＝2，∵∠C＝∠DME＝90°，∴△ACD∽△DME，∴＝＝，∴設(shè)EM＝2x，則DM＝3x，∵∠BME＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△BME∽△BCA，∴＝，∴＝，∴BM＝x，∵BD＝2，∴DM+BM＝2，∴3x+x＝2，∴x＝，∴EM＝，BM＝，∴BE＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?武侯區(qū)校級期末）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，∠EFB＝15°，若AH＝2，AD＝5+，則四邊形EFGH的周長為4（2+）．【分析】先構(gòu)造15°的直角三角形，求得15°的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH：EF＝2：；作∠ARH＝∠BFT＝15°，分別交直線AB于R和T，構(gòu)造“一線三等角”，先求得FT的長，進而根據(jù)相似三角形求得ER，進而求得AE，于是得出∠AEH＝30°，進一步求得結(jié)果．【解答】解：如圖1，Rt△PMN中，∠P＝15°，NQ＝PQ，∠MQN＝30°，設(shè)MN＝1，則PQ＝NQ＝2，MQ＝，PN＝+，∴cos15°＝，tan15°＝2﹣，如圖2，作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°，分別交直線AB于R和T，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C，在△AEH與△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理證得△EBF≌△GDH，則EF＝GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，設(shè)HK＝a，則EH＝2a，EK＝a，∴EF＝EK＝a，∵∠EAH＝∠EBF＝90°，∴∠R＝∠T＝75°，∵∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，∴∠EHG＝105°，∵GH∥EF，∴∠HEF＝75°，∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°，∵∠EFB＝15°，∴∠EFT＝30°＝∠HER，∴△FTE∽△ERH，∵FT＝＝＝2，AR＝AH?tan15°＝4﹣2，∴＝，∴＝，∴ER＝4，∴AE＝ER﹣AR＝2，∴tan∠AEH＝＝，∴∠AEH＝30°，∴HG＝2AH＝4，∵∠BEF＝180°﹣∠AEH﹣∠HEF＝75°，∴∠BEF＝∠T，∴EF＝FT＝2，∴EH+EF＝4+2＝2（2+），∴2（EH+EF）＝4（2+），∴四邊形EFGH的周長為：4（2+），故答案為：4（2+）．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形，構(gòu)造15°特殊角的圖形及其求15°的函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造“一線三等角”及構(gòu)造15°直角三角形求其三角函數(shù)值．三．解答題（共8小題）9．（2023春?牟平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，BC＝AB＝3BD，求AD：AC的值．【分析】由BC＝AB＝3BD，得，，易證△ABC∽△DBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【解答】解：∵BC＝AB＝3BD，∴，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，∴，∴AD：AC＝1：．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?德惠市期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．【分析】依據(jù)△ABC是等邊三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根據(jù)∠CAD＝∠BDE，即可判定△ADC∽△DEB．【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠BDE+60°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識．解題時注意：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．11．（2022秋?武侯區(qū)期末）為了測量成都熊貓基地觀光瞭望塔“竹筍”建筑物AB的高度，小軍同學采取了如下方法：在地面上點C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個標記，然后人向后退，直至站在點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標記重合（如圖所示）．其中B，C，D三點在同一條直線上．已知小軍的眼睛距離地面的高度ED的長約為1.75m，BC和CD的長分別為40m和1m，求建筑物AB的高度．（說明：由物理知識，可知∠ECF＝∠ACF）【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出＝，進而得出AB的長．【解答】解：由題意可得：∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，故△ABC∽△EDC，則＝，∵小軍的眼睛距離地面的高度ED的長約為1.75m，BC和CD的長分別為40m和1m，∴＝，解得：AB＝70，答：這座建筑物的高度為70m．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．12．（2022秋?魏都區(qū)校級期末）如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．【分析】（1）利用一線三等角模型證明△ACP∽△BPD，即可解答；（2）利用角平分線的性質(zhì)可得∠PCD＝∠ACP，從而可得∠PCD＝∠DPB，然后證明△CPD∽△PBD，即可解答．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的長為；（2）證明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∵∠ACP＝∠DPB，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD?BD．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角模型是解題的關(guān)鍵．13．（2023春?黃岡期末）同學們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：【問題一】如圖①，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F，則AE與BF的數(shù)量關(guān)系為AE＝BF；【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線m、n經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點E、F，直線n分別與AB、CD交于點G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長為8，求四邊形OEAG的面積；【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，頂點E在BC的延長線上，且BC＝6，CE＝2．在直線BE上是否存在點P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長度；若不存在，說明理由．【分析】【問題一】利用ASA判斷出△AOE≌△BOF，即可得出答案；（2）先求出S△AOB＝16，再利用ASA判斷出△AOE≌△BOG，即可求出答案；【問題三】分三種情況：利用三垂線構(gòu)造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．【解答】解：【問題一】∵正方形ABCD的對角線相交于點O，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，∵四邊形A1B1C1O是正方形，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF，故答案為：AE＝BF；【問題二】如圖③，連接OA，OB，∵點O是正方形ABCD的中心，∴S△AOB＝S正方形ABCD＝×82＝16，∵點O是正方形ABCD的中心，∴∠OAE＝∠OBG＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°，∵m⊥n，∴∠EOG＝90°，∴∠AOE＝∠BOG，∴△AOE≌△BOG（ASA），∴S△AOE＝S△BOG，∴S四邊形OEAG＝S△AOE+S△AOG＝S△BOG+S△AOG＝S△AOB＝16；【問題三】在直線BE上存在點P，使△APF為直角三角形，①當∠AFP＝90°時，如圖④，延長EF，AD相交于點Q，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°，∴四邊形ABEQ是矩形，∴AQ＝BE＝BC+CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝90°＝∠E，∴∠EFP+∠EPF＝90，∵∠AFP＝90°，∴∠EFP+∠AFQ＝90°，∴△EFP∽△QAF，∴，∵QF＝EQ﹣EF＝4，∴，∴EP＝1，∴BP＝BE﹣EP＝7；②當∠APF＝90°時，如圖⑤，同①的方法得，△ABP∽△PEF，∴，∵PE＝BE﹣BP＝8﹣BP，∴，∴BP＝2或BP＝6；③當∠PAF＝90°時，如圖⑥，過點P作AB的平行線交DA的延長線于M，延長EF，AD相交于N，同①的方法得，四邊形ABPM是矩形，∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°，同①的方法得，四邊形ABEN是矩形，∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6，∴FN＝EN﹣EF＝4，同①的方法得，△AMP∽△FNA，∴，∴，∴AM＝3，∴BP＝3，即BP的長度為2或3或6或7．【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考