浙江省杭州外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

杭州外國語學(xué)校20232高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷命題人高一數(shù)學(xué)備課組審核人高一數(shù)學(xué)備課組注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分100分，考試時(shí)間100分鐘.2.整場考試不準(zhǔn)使用計(jì)算器.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知表示兩條不同直線，表示平面，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用空間中直線、平面的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，若，則可能相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則可能平行，或相交，或垂直，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則可能在中，也可能，故C錯(cuò)誤；對于D，由線面垂直的性質(zhì)定理可知D正確.故選：D2.如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點(diǎn)，，則=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算法則，直接寫出向量的表達(dá)式，即可得答案.【詳解】=,故選：A.3.如圖，已知平面α，β，且.設(shè)梯形中，，且，.則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與可能為異面直線 B.直線，，l相交于一點(diǎn)C. D.直線與可能異面直線【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意以及空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】梯形中，，所以與是梯形的兩腰，所以與是共面直線，故A錯(cuò)誤；與是不一定相等，故C錯(cuò)誤，直線與是梯形的對角線，故是共面直線，故D錯(cuò)誤；設(shè)，又且，，所以，，所以，又因?yàn)椋?，即直線，，l共點(diǎn)，故B正確.故選：B.4.如圖，一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且底面經(jīng)過球心.若，則球的表面積是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，平面，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積．【詳解】設(shè)球的半徑為，則，得，∴.故選C【點(diǎn)睛】本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積、體積，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題．5.如圖，在正三棱柱中，，若二面角的大小為，則點(diǎn)C到平面的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接和，由二面角的定義得出，可得出、、的值，由此可計(jì)算出和的面積，然后利用三棱錐的體積三棱錐的體積相等，計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】取的中點(diǎn)，連接和，根據(jù)二面角的定義，.由題意得，所以，.設(shè)到平面的距離為，易知三棱錐的體積三棱錐的體積相等，即，解得，故點(diǎn)C到平面的距離為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，常用的方法有等體積法與空間向量法，等體積法本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為三棱錐的高來求解，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.6.已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】C【解析】【分析】如圖，由題意，根據(jù)空間線面的位置關(guān)系、基本事實(shí)以及面面平行的性質(zhì)定理可得，進(jìn)而，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，設(shè)，分別延長交于點(diǎn)，此時(shí)，連接交于，連接，設(shè)平面與平面的交線為，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，設(shè)，則，此時(shí)，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，故選：C．7.北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中給出的定義，由多面體的總曲率計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故選：B.8.已知正方體邊長為1，點(diǎn)分別在線段和上，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，且滿足，分別記二面角，的平面角為，則總有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出三個(gè)二面角的平面角，求出其正切值后比較大小可得．【詳解】作平面，垂足為，則，因?yàn)槠矫?，所以，作，，，垂足分別為，連接，由于，平面，平面，所以平面，又平面，從而，所以，同理，，所以，，，因?yàn)辄c(diǎn)是正方形對角線的交點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，就是在平面上的射影，，又，，且，則，由得，從而，所以，所以，又，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是作出二面角的平面角，然后求出角的正切值，再利用正方體的性質(zhì)比較線段長的大小，從而可得結(jié)論．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得4分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分9.如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，則在原平面圖形中有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則確定點(diǎn)的位置，再作出，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】在直觀圖中，，取中點(diǎn)，連接，則，而，于，則，，，由斜二測畫法規(guī)則作出，如圖，則，，，，，顯然，A、C、D正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD10.如圖，以等腰直角三角形的斜邊上的高為折痕，翻折和，使得平面平面.下列結(jié)論正確的是（）A. B.是等邊三角形C.三棱錐是正三棱錐 D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】利用面面垂直以及線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，利用勾股定理可判斷B選項(xiàng)；利用正棱錐的定義可判斷C選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，翻折前，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，翻折后，對應(yīng)地有，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，故，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)，翻折前，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，為的中點(diǎn)，則，且，，由勾股定理可得，翻折后，因?yàn)槠矫妫矫?，則，由勾股定理得，在三棱錐中，，則為等邊三角形，B對；對于C選項(xiàng)，在三棱錐中，因?yàn)闉榈冗吶切?，，故三棱錐為正三棱錐，C對；對于D選項(xiàng)，假設(shè)平面平面，如下圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，若平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以，平面，設(shè)等邊的中心為點(diǎn)，連接，由正棱錐的性質(zhì)可知，平面，因?yàn)檫^點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，故假設(shè)不成立，即平面與平面不垂直，D錯(cuò).故選：ABC.11.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧的長度是弧長度的3倍，，則下列說法正確的是（）A.弧長度為 B.曲池的體積為C.曲池的表面積為 D.三棱錐的體積為5【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，根據(jù)弧的長度是弧長度的倍及求出、，再根據(jù)體積、表面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，因?yàn)榛〉拈L度是弧長度的倍，，即，，，，所以弧的長度為，故A正確；曲池的體積為，故B錯(cuò)誤；曲池的表面積為，故C正確；三棱錐的體積為，故D正確．故選：ACD．12.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則四面體的體積為定值B.若的外心為，則為定值2C.若，則點(diǎn)的軌跡長度為D.若且，則存在點(diǎn)，使得的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空間向量基本定理得到三點(diǎn)共線，得到平面，故點(diǎn)為平面的距離為定值，四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合空間向量數(shù)量積的幾何意義得到；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表達(dá)出，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，結(jié)合弧長公式求出答案；D選項(xiàng)，求出，，得到，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到其最小值.【詳解】A選項(xiàng)，在上分別取，使得，，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，即，故，即，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)?，，所以，故平面，故點(diǎn)為平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈耐庑臑?，所以⊥，又題意得，則，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，故⊥，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，設(shè)，則，化簡得，點(diǎn)滿足，即點(diǎn)在正方形內(nèi)，包括邊界，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，落在正方形內(nèi)的部分，如圖所示：因?yàn)椋?，故，故為等腰直角三角形，，故點(diǎn)的軌跡長度為，C正確；D選項(xiàng)，若且，，即，即，又，，設(shè)，設(shè)，即，解得，即，，如圖所示，設(shè)，且⊥，⊥，在線段上取一點(diǎn)，設(shè)，則，故，顯然，直接連接，此時(shí)取得最小值，最小值即為，由勾股定理得，故的最小值為，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】空間向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用空間向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為空間幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.三?填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分13.，點(diǎn)在軸上且到兩點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到兩點(diǎn)的距離相等，可得，即，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.14.如圖，在四面體中，與所成的角為，分別為的中點(diǎn)，則線段的長為__________.【答案】或【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可得到為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，即或，再利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，則或.在中，，，若，由余弦定理可得；若，由余弦定理可得；綜上所述，或.故答案為：或.15.已知（1）若時(shí)，的兩根為，則的最小值為__________.（2）若時(shí)，恒成立，則的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）依題意可得，列出韋達(dá)定理，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）令解得，分析可得，從而得到，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】（1）若時(shí)，，方程，即，顯然，所以，，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，由解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；∴，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故答案為：；16.下列命題正確的是__________.（填序號(hào)）①若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③兩個(gè)平面互相垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，必垂直與另一個(gè)平面；④過兩個(gè)點(diǎn)與已知平面的垂直的平面可能不存在；⑤過兩條異面直線外任一點(diǎn)有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直；⑥到一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的平面有7個(gè).【答案】①⑤⑥【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，依次分析6個(gè)命題，即可判斷．詳解】對于①：如圖，，平面平面，所以，同理，所以，又因?yàn)?，所以，又，所以，所以，若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，故①正確；對于②：垂直于同一條直線的兩條直線相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤；對于③：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，兩個(gè)平面互相垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不在交線上）作交線的垂線，必垂直與另一個(gè)平面，當(dāng)該點(diǎn)在交線上時(shí)，作交線的垂線，得不到該直線與另一個(gè)平面垂直，故③錯(cuò)誤；對于④：分3種情況討論：若兩點(diǎn)確定的直線在已知平面內(nèi)，則過兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面有且只有一個(gè)；若兩點(diǎn)確定的直線不在平面內(nèi)，但與已知平面不垂直，則過兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面有一個(gè)，若兩點(diǎn)確定的直線不在平面內(nèi)且與已知平面垂直，則過兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面有無數(shù)個(gè)，綜上，過兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面有一個(gè)或無數(shù)個(gè)，一定存在，故④錯(cuò)誤；對于⑤：設(shè)直線、異面，過直線上一點(diǎn)作直線，使得且，如下圖所示：設(shè)直線、確定平面，過空間中任意一點(diǎn)，有且只有一條直線，使得，因?yàn)椤?，則，，又因?yàn)?，則，故過兩條異面直線外任一點(diǎn)有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直，故⑤正確；對于⑥：到一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的平面，可以看作是與一個(gè)四面體四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面，可以是與兩條對棱平行，這樣的平面有3個(gè)，也可以是與一個(gè)底面平行，與另一個(gè)頂點(diǎn)距離相等，這樣的面有4個(gè)，則到一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的平面有7個(gè)，⑥正確．故答案為：①⑤⑥【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是正確理解空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，利用反例及適度的數(shù)形結(jié)合是有效且快速的處理方法.四?解答題：本大題共4小題，共44分，解答應(yīng)在相應(yīng)的答題框內(nèi)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知空間向量．（1）計(jì)算和;（2）求與夾角的余弦值．【答案】（1）,（2）．【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解；（2）利用空間向量的夾角公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題可得．【小問2詳解】由題可得，，,與夾角的余弦值為．18.正方體中，，分別是，的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角；（2）求證：平面【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接，，即可得到，則為異面直線與所成的角，結(jié)合正方體的性質(zhì)求出；（2）取中點(diǎn)，連接，，即可證明平面平面，從而得證.【小問1詳解】連接，，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，則為異面直線與所成的角，在正方體中，可得，即為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，，而，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面?9.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）不妨設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】不妨設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；【小?詳解】由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，