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文檔簡介
江蘇省江陰市石莊中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.2.在展開式中的常數(shù)項為A.1 B.2 C.3 D.73.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.4.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.25.已知點是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點,點為拋物線的焦點,點在拋物線上且滿足,若取得最大值時,點恰好在以為焦點的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.6.《周易》是我國古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個爻組成,其中“”表示一個陽爻,“”表示一個陰爻)若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為()A. B. C. D.7.“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機投擲200個點,己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此可估計陰影部分的面積是()A. B. C.10 D.8.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.19.若點(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或10.為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗(指標(biāo)值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達圖,則下面敘述正確的是()A.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差11.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm312.在中,為中點,且,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,項的系數(shù)是__________(用數(shù)字作答).14.已知實數(shù),滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________.15.已知,,則與的夾角為.16.設(shè)直線過雙曲線的一個焦點,且與的一條對稱軸垂直,與交于兩點,為的實軸長的2倍,則雙曲線的離心率為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.18.(12分)如圖1,四邊形為直角梯形,,,,,,為線段上一點,滿足,為的中點,現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2),使平面平面.(1)求證:平面平面;(2)能否在線段上找到一點(端點除外)使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在,試確定點的位置;若不存在,請說明理由.19.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的最小值20.(12分)已知.(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若,,證明:.21.(12分)如圖,直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點,直線y=p2與(1)求p的值;(2)設(shè)A是直線y=p2上一點,直線AM2交拋物線于另一點M3,直線M1M22.(10分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計算時的函數(shù)值可排除三個選項.【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù),排除B,時,函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時,,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項.2、D【解析】
求出展開項中的常數(shù)項及含的項,問題得解。【詳解】展開項中的常數(shù)項及含的項分別為:,,所以展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題。3、C【解析】
由已知畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點到坐標(biāo)原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標(biāo)原點的距離最大,即.故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯題.5、B【解析】
設(shè),利用兩點間的距離公式求出的表達式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標(biāo),結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因為是拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線的交點,點為拋物線的焦點,所以,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時,,點在以為焦點的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.6、C【解析】
分類討論,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦;從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個,再取沒有陽爻的坤卦,計算滿足條件的種數(shù),利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知,僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦,從中取兩卦滿足條件,其種數(shù)是;僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦,沒有陽爻的是坤卦,此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是,于是所求的概率.故選:C【點睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型:,故.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.8、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、虛部概念,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式,意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.10、C【解析】
根據(jù)題目所給圖像,填寫好表格,由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【詳解】根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù):數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.11、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長方體,下面是四棱柱;長方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點:三視圖和幾何體的體積.12、B【解析】
選取向量,為基底,由向量線性運算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).14、-1【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出實數(shù)x,y滿足對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線yx,由圖象可知當(dāng)直線yx經(jīng)過點A時,直線yx的縱截距最小,此時z最?。桑肁(﹣1,﹣1),此時z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎(chǔ)題15、【解析】
根據(jù)已知條件,去括號得:,16、【解析】
不妨設(shè)雙曲線,焦點,令,由的長為實軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線,焦點,對稱軸,由題設(shè)知,因為的長為實軸的二倍,,,,故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率,屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來,再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式,從而求出的值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分?jǐn)?shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用(單位:元)因為,且,1°若,則,(元);2°若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用(單位:元)1°若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為(元);2°若,則,的分布列為800100012000.520.320.16(元).因為所以選擇方案:.【點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用,考查古典概型,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2)存在點是線段的中點,使得直線與平面所成角的正弦值為.【解析】
(1)在直角梯形中,根據(jù),,得為等邊三角形,再由余弦定理求得,滿足,得到,再根據(jù)平面平面,利用面面垂直的性質(zhì)定理證明.(2)建立空間直角坐標(biāo)系:假設(shè)在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為,且,,求得平面的一個法向量,再利用線面角公式求解.【詳解】(1)證明:在直角梯形中,,,因此為等邊三角形,從而,又,由余弦定理得:,∴,即,且折疊后與位置關(guān)系不變,又∵平面平面,且平面平面.∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)∵為等邊三角形,為的中點,∴,又∵平面平面,且平面平面,∴平面,取的中點,連結(jié),則,從而,以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:則,,則,假設(shè)在上存在一點使直線與平面所成角的正弦值為,且,,∵,∴,故,∴,又,該平面的法向量為,,令得,∴,解得或(舍),綜上可知,存在點是線段的中點,使得直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和向量法研究線面角問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)由得,兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當(dāng)時,,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因為,,兩式相減得:,即,是從第二項開始的等比數(shù)列,∵∴,則,;(2),當(dāng)時,;當(dāng)時,設(shè)遞增,,所以實數(shù)的最小值.【點睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)(2)見證明【解析】
(1)利用零點分段法討論去掉絕對值求解;(2)
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