湖南衡陽常寧市第五中學2025屆高一上數學期末檢測試題含解析

湖南衡陽常寧市第五中學2025屆高一上數學期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．方程的解所在的區(qū)間是A B.C. D.2．已知，則的值是A.1 B.3C. D.3．已知，，函數的零點為c，則（）A.c＜a＜b B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.a＜b＜c4．命題關于的不等式的解集為的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.5．如圖一銅錢的直徑為毫米，穿徑（即銅錢內的正方形小孔邊長）為毫米，現向該銅錢內隨機地投入一粒米（米的大小忽略不計），則該粒米未落在銅錢的正方形小孔內的概率為A. B.C. D.6．我國著名數學家華羅庚先生曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也可用函數的解析式來琢磨函數的圖象的特征，如通過函數的解析式可判斷其在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.7．已知函數恰有2個零點，則實數a取值范圍是（）A. B.C. D.8．函數圖像大致為（）A. B.C. D.9．已知，且，則A. B.C. D.10．函數的圖像大致為()A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．命題“”的否定是________________.12．已知是第四象限角且，則______________.13．已知直線平行，則實數的值為____________14．求值：__________15．若存在常數k和b，使得函數和對其公共定義域上的任意實數x都滿足：和恒成立（或和恒成立），則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數，，若函數和之間存在隔離直線，則實數b的取值范圍是______16．已知函數給出下列四個結論：①存在實數，使函數為奇函數；②對任意實數，函數既無最大值也無最小值；③對任意實數和，函數總存在零點；④對于任意給定的正實數，總存在實數，使函數在區(qū)間上單調遞減.其中所有正確結論的序號是______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在平行四邊形中，分別是上的點，且滿，記，，試以為平面向量的一組基底.利用向量的有關知識解決下列問題；（1）用來表示向量；（2）若，且，求；18．在中，已知為線段的中點，頂點，的坐標分別為，.（Ⅰ）求線段的垂直平分線方程；（Ⅱ）若頂點的坐標為，求垂心的坐標.19．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，分別取BC，CD的中點E，F，連接AE，EF，AF，以AE，EF，FA為折痕進行折疊，使點B，C，D重合于一點P.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積20．已知，命題：，；命題：，.（1）若是真命題，求的最大值；（2）若是真命題，是假命題，求的取值范圍.21．已知函數（1）求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）若在區(qū)間上存在唯一的最小值為-2，求實數m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】設，則由指數函數與一次函數的性質可知，函數與的上都是遞增函數，所以在上單調遞增，故函數最多有一個零點，而，，根據零點存在定理可知，有一個零點，且該零點處在區(qū)間內，故選答案C.考點：函數與方程.2、D【解析】由題意結合對數的運算法則確定的值即可.【詳解】由題意可得：，則本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查指數對數互化，對數的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.3、B【解析】由函數零點存在定理可得，又，，從而即可得答案.【詳解】解：因為在上單調遞減，且，，所以的零點所在區(qū)間為，即．又因為，，所以a＜c＜b故選：B.4、D【解析】根據三個二次式的性質，求得命題的充要條件，結合選項和充分不必要的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，命題不等式的解集為，即不等式的解集為，可得，解得，即命題的充要條件為，結合選項，可得，所以是的一個充分不必要條件.故選：D.5、B【解析】由題意結合幾何概型公式可得：該粒米未落在銅錢的正方形小孔內的概率為:.本題選擇B選項.點睛：數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A)＝.6、A【解析】根據函數的定義域，函數的奇偶性，函數值的符號及函數的零點即可判斷出選項.【詳解】當時，令，得或，且時，；時，，故排除選項B.因為為偶函數，為奇函數，所以為奇函數，故排除選項C；因為時，函數無意義，故排除選項D；故選：A7、D【解析】由在區(qū)間上單調遞減，分類討論，，三種情況，根據零點個數求出實數a的取值范圍.【詳解】函數在區(qū)間上單調遞減，且方程的兩根為.若時，由解得或，滿足題意.若時，，，當時，，即函數在區(qū)間上只有一個零點，因為函數恰有2個零點，所以且.當時，，，此時函數有兩個零點，滿足題意.綜上，故選：D8、C【解析】先分析給定函數的奇偶性，排除兩個選項，再在x>0時，探討函數值正負即可判斷得解.【詳解】函數的定義域為，，即函數是定義域上的奇函數，其圖象關于原點對稱，排除選項A，B；x>0時，，而，則有，顯然選項D不滿足，C符合要求.故選：C9、A【解析】由條件利用兩角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函數的基本關系與二倍角公式，求得的值【詳解】解：∵tan（α），則tanα，∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），可得sinα∴2sinα＝2（）故選A點睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應用，同角三角函數的基本關系，二倍角公式，考查計算能力，屬于基礎題10、B【解析】分析：通過研究函數奇偶性以及單調性，確定函數圖像.詳解：為奇函數，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】根據含有一個量詞的命題的否定可得結果【詳解】由含有一個量詞的命題的否定可得，命題“”的否定為“”故答案為【點睛】對于含有量詞的命題的否定要注意兩點：一是要改換量詞，把特稱（全稱）量詞改為全稱（特稱）量詞；二是把命題進行否定．本題考查特稱命題的否定，屬于簡單題12、【解析】直接由平方關系求解即可.【詳解】由是第四象限角，可得.故答案為：.13、【解析】對x，y的系數分類討論，利用兩條直線平行的充要條件即可判斷出【詳解】當m=﹣3時，兩條直線分別化為：2y=7，x+y=4，此時兩條直線不平行；當m=﹣5時，兩條直線分別化為：x﹣2y=10，x=4，此時兩條直線不平行；當m≠﹣3，﹣5時，兩條直線分別化為：y=x+，y=+，∵兩條直線平行，∴，≠，解得m=﹣7綜上可得：m=﹣7故答案為﹣7【點睛】本題考查了分類討論、兩條直線平行的充要條件，屬于基礎題14、【解析】直接利用兩角和的正切公式計算可得；【詳解】解：故答案為：15、【解析】由已知可得、恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得實數的取值范圍.【詳解】因為函數和之間存在隔離直線，所以當時，可得對任意的恒成立，則，即，所以；當時，對恒成立，即恒成立，又當時，，當且僅當即時等號成立，所以，綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.16、①②③④【解析】分別作出，和的函數的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為，和時函數的圖象，對于①：當時，，圖象如圖關于原點對稱，所以存在使得函數為奇函數，故①正確；對于②：由三個圖知當時，，當時，，所以函數既無最大值也無最小值；故②正確；對于③：如圖和圖中存在實數使得函數圖象與沒有交點，此時函數沒有零點，所以對任意實數和，函數總存在零點不成立；故③不正確對于④：如圖，對于任意給定的正實數，取即可使函數在區(qū)間上單調遞減，故④正確；故答案為：①②④【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵點是分段函數圖象，涉及二次函數的圖象，要討論，和即明確分段區(qū)間，作出函數圖象，數形結合可研究分段函數的性質.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由平面向量的線性運算法則結合圖形即可得解；（2）由平面向量數量積的運算律可得，進而可得，再由運算即可得解.【詳解】（1）∵在平行四邊形中，，∴；（2）由（1）可知：，∴，∵且，∴，∴，又，∴，∴，∴.【點睛】本題考查了平面向量線性運算及數量積運算的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（1）根據中點坐標公式求中點坐標，根據斜率公式求斜率，最后根據點斜式求方程（2）根據垂心為高線的交點，先根據點斜式求兩條高線方程，再解方程組求交點坐標，即得垂心的坐標.試題解析：（Ⅰ）∵的中點是，直線的斜率是-3，線段中垂線的斜率是，故線段的垂直平分線方程是，即；（Ⅱ）∵，∴邊上的高所在線斜率∵∴邊上高所在直線的方程：，即同理∴邊上的高所在直線的方程:聯(lián)立和，得：，∴的垂心為19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過，證明平面，然后證明；（2）利用，求出幾何體的體積【小問1詳解】證明：，即,平面，平面,又平面，所以；【小問2詳解】由（1）知平面，20、（1）1；（2）.【解析】（1）根據題意可得，為真，令，只需即可求解.（2）根據題意可得與一真一假，當是真命題時，可得或，分別求出當真假或假真時的取值范圍，最后取并集即可求解.【詳解】解：（1）若命題：，為真，∴則令，，又∵，∴，