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文檔簡介
2025屆廣東省肇慶市省部分重點中學高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.2.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.53.已知函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列的前13項和為52,則()A.256 B.-256 C.32 D.-325.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.6.將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變),再向右平移個單位長度,則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.7.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.58.已知、分別是雙曲線的左、右焦點,過作雙曲線的一條漸近線的垂線,分別交兩條漸近線于點、,過點作軸的垂線,垂足恰為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值等于()A. B. C. D.10.曲線在點處的切線方程為()A. B. C. D.11.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.12.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在一塊土地上種植某種農作物,連續(xù)5年的產量(單位:噸)分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農作物的年平均產量是______噸.14.(5分)已知橢圓方程為,過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點,為坐標原點,則面積的取值范圍是____________.15.已知數(shù)列滿足,且,則______.16.等腰直角三角形內有一點P,,,,,則面積為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點在線段上,且平面,,,求二面角的余弦值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,側面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點.(1)證明:平面平面;(2)已知點在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.19.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求和的直角坐標方程;(2)已知為曲線上的一個動點,求線段的中點到直線的最大距離.20.(12分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側面為等邊三角形,側棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.22.(10分)2019年春節(jié)期間,某超市準備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動,超市設計了兩種抽獎方案.方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;(2)若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望;②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
令,進而求得,再轉化為函數(shù)的最值問題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點睛】本題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)最值中的應用,考查了轉化的數(shù)學思想,恰當?shù)挠靡粋€未知數(shù)來表示和是本題的關鍵,屬于中檔題.2、B【解析】
先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算,是基礎題.3、B【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖像.結合圖像,分段討論函數(shù)的零點情況:易知為的一個零點;對于當時,由代入解析式解方程可求得零點,結合即可求得的范圍;對于當時,結合導函數(shù),結合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,畫出函數(shù)圖像如下圖所示:函數(shù)的零點,即.由圖像可知,,所以是的一個零點,當時,,若,則,即,所以,解得;當時,,則,且若在時有一個零點,則,綜上可得,故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法,函數(shù)零點定義及應用,根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,導數(shù)的幾何意義應用,屬于中檔題.4、A【解析】
利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質可以求得結果.【詳解】由,,得.選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質,等差數(shù)列的等和性應用能快速求得結果.5、A【解析】
因為,所以函數(shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.6、D【解析】
先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,
將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,
再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為,故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質是高考考查的熱點之一,經(jīng)??疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等,其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn),在復習時要注意基礎知識的理解與落實.三角函數(shù)的性質由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關鍵,在函數(shù)解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質求解.7、D【解析】
由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質計算.【詳解】由題意.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質,考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質是解題關鍵.8、B【解析】
設點位于第二象限,可求得點的坐標,再由直線與直線垂直,轉化為兩直線斜率之積為可得出的值,進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限,由于軸,則點的橫坐標為,縱坐標為,即點,由題意可知,直線與直線垂直,,,因此,雙曲線的離心率為.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算,解答的關鍵就是得出、、的等量關系,考查計算能力,屬于中等題.9、A【解析】
首先畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求的最小值.【詳解】解:作出實數(shù),滿足不等式組表示的平面區(qū)域(如圖示:陰影部分)由得,由得,平移,易知過點時直線在上截距最小,所以.故選:A.【點睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題,求目標函數(shù)的最值先畫出可行域,利用幾何意義求值,屬于中檔題.10、A【解析】
將點代入解析式確定參數(shù)值,結合導數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當時,代入可得,所以切點坐標為,求得導函數(shù)可得,由導數(shù)幾何意義可知,由點斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義,在曲線上一點的切線方程求法,屬于基礎題.11、A【解析】
作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示,當時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關鍵,屬于中檔題.12、C【解析】
根據(jù)線面平行的性質定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質定理和判定定理,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】
根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算即得.【詳解】由題得,.故答案為:10【點睛】本題考查求平均數(shù),是基礎題.14、【解析】
由題意,,則,得.由題意可設的方程為,,聯(lián)立方程組,消去得,恒成立,,,則,點到直線的距離為,則,又,則,當且僅當即時取等號.故面積的取值范圍是.15、【解析】
數(shù)列滿足知,數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列,再由已知結合等比數(shù)列的性質求得的值即可.【詳解】,數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,又,,.故答案為:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列定義,考查了對數(shù)的運算性質,考查了等比數(shù)列的通項公式,是中檔題.16、【解析】
利用余弦定理計算,然后根據(jù)平方關系以及三角形面積公式,可得結果.【詳解】設由題可知:由,,,所以化簡可得:則或,即或由,所以所以故答案為:【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形,仔細觀察,細心計算,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)推導出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設AC與BD的交點為G,推導出EC//FG,取BC的中點為O,連結OD,則OD⊥BC,以O為坐標原點,以過點O且與CE平行的直線為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因為平面平面,所以平面,所以,因為,所以平面,所以,因為四邊形是平行四邊形,所以四邊形是菱形,故;解法一:(Ⅱ)設與的交點為,因為平面,平面平面于,所以,因為是中點,所以是的中點,因為,取的中點為,連接,則,因為平面平面,所以面,以為坐標原點,以過點且與平行的直線為軸,以所在直線為軸,以所在直線為軸建立空間直角坐標系.不妨設,則,,,,,,,設平面的法向量,則,取,同理可得平面的法向量,設平面與平面的夾角為,因為,所以二面角的余弦值為.解法二:(Ⅱ)設與的交點為,因為平面,平面平面于,所以,因為是中點,所以是的中點,因為,,所以平面,所以,取中點,連接、,因為,所以,故平面,所以,即是二面角的平面角,不妨設,因為,,在中,,所以,所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值,還考查由空間中線面關系進而證明線線相等,屬于中檔題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標系,可求得面PAB的法向量,再運用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點,,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內的兩條相交直線,故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設是平面PAB的法向量,,令,則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.19、(1)..(2)最大距離為.【解析】
(1)直接利用極坐標方程和參數(shù)方程的公式計算得到答案.(2)曲線的參數(shù)方程為,設,計算點到直線的距離公式得到答案.【詳解】(1)由,得,則曲線的直角坐標方程為,即.直線的直角坐標方程為.(2)可知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設,,則到直線的距離為,所以線段的中點到直線的最大距離為.【點睛】本題考查了極坐標方程,參數(shù)方程,距離的最值問題,意在考查學生的計算能力.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取的中點,連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點,,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內作直線的垂線,以為原點,以,,為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設平面的法向量為,,,則,即,令可得:,,,,.直線與平面所成角的正弦值為,.【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質,考查空間向量與空間角的計算,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設中點為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結果.【詳解】(1)設中點為,連接、,因為,所以.又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因為,所以,,,平面,又平面,平面平面;(2)由于是底面直角三角形的
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