湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題含解析

湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.2．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，則“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.4．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.35．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.6．現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則（）A. B.C. D.7．如圖，在平行六面體中，設，，，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.8．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.89．是雙曲線：上一點，已知，則的值（）A. B.C.或 D.10．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B.C. D.11．已知拋物線的準線方程為，則此拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.12．設平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．歐陽修在《賣油翁》中寫道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為4cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，若你隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是_______14．已知為坐標原點，等軸雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上，由向雙曲線的漸近線作垂線，垂足分別為、，則四邊形的面積為______.15．在棱長為1的正方體中，___________.16．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.18．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調性.20．（12分）已知拋物線C：焦點F的橫坐標等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點，判斷原點與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由.21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求直線AB與平面PCE所成角的正弦值；22．（10分）已知復數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實數(shù)（1）當復數(shù)z為純虛數(shù)時，求m的值；（2）當復數(shù)在復平面內對應的點位于第三象限時，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結果共有6×6=36，其中每個結果出現(xiàn)的機會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎題2、A【解析】根據充分條件與必要條件的概念，由導函數(shù)的正負與函數(shù)單調性之間關系，即可得出結果.【詳解】因為函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，若“對任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A3、C【解析】利用導數(shù)公式及運算法則求得，再求解【詳解】因為，所以，所以故選：C4、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可得出關于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C5、B【解析】根據題意先求出，再利用交集定義即可求解.【詳解】全集，集合，則，故故選：B6、A【解析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【詳解】解：由已知得,，則，故選：A【點睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎題7、B【解析】直接利用空間向量基本定理求解即可【詳解】因為在平行六面體中，，，，所以，故選：B8、D【解析】根據雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據雙曲線的對稱性，可假設在第一象限，設，則，所以，，在中，根據余弦定理：，即，解得：，所以故選：D9、B【解析】根據雙曲線定義，結合雙曲線上的點到焦點的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點，，，或，又，.故選：B10、D【解析】取AC的中點O，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據點到線距離的向量求法和投影的定義計算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點O，則，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，所以在上的投影的長度為，故點C到直線距離為：.故選：D11、D【解析】由已知設拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因為拋物線的準線方程為，所以設拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，12、C【解析】根據，可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據，可知向量，則有，解得.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別求出圓和正方形的面積，結合幾何概型的面積型計算公式進行求解即可.【詳解】因為銅錢的面積為，正方形孔的面積為，所以隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是.故答案為：【點睛】本題考查了幾何概型計算公式，考查了數(shù)學運算能力,屬于基礎題.14、##【解析】求出雙曲線的方程，可求得雙曲線的兩條漸近線方程，分析可知四邊形為矩形，然后利用點到直線的距離公式以及矩形的面積公式可求得結果.【詳解】因為雙曲線為等軸雙曲線，則，，可得，所以，雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則，，，所以，四邊形為矩形，設點，則，不妨設點為直線上的點，則，，所以，.故答案為：.15、1【解析】根據向量的加法及向量數(shù)量積的運算性質求解.【詳解】如圖，在正方體中，，故答案為：116、【解析】根據投影向量的計算公式，計算出正確答案.【詳解】向量在向量上的投影向量的坐標是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時除以，結合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得的表達式；（2）求得，利用裂項相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.18、（1）；（2）【解析】（1）將題目的條件寫成的形式并求解，寫出等比等比數(shù)列通項公式；（2）利用錯位相減法求和.小問1詳解】由題意可得，，∴，∵，∴，∴數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】，∴①，②，①-②可得，∴.19、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導函數(shù)，進而根據導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據求出a，進而求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后求出函數(shù)的最值；（3）先求出導函數(shù)，然后討論a的取值范圍，進而求出函數(shù)的單調區(qū)間.【小問1詳解】當時，，，切點坐標為，，切線的斜率為，切線方程為，即.【小問2詳解】，是函數(shù)的極小值點，，即，，令，得或，令，得，的單調遞增區(qū)間為，，的單調遞減區(qū)間為，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，最小值為.【小問3詳解】函數(shù)的定義域為，，令得，.①當時，，函數(shù)在R上單調遞增；②當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區(qū)間為，，的單調遞減區(qū)間為；③當時，，令，得或，令，得，的單調遞增區(qū)間為，，的單調遞減區(qū)間為.綜上：時，，函數(shù)R上單調遞增；時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；時，的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為.20、（1）；（2）原點在以線段AB為直徑的圓上，詳見解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進而可求拋物線的焦點，即求；（2）設直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理法可得，即得.【小問1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問2詳解】由題可設直線l的方程為，由，得，設，則，又，故，∴，∴，即，故原點在以線段AB為直徑的圓上.21、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）將線面平行轉化為面面平行，由已知易證；（2）延長相交與點F，利用等體積法求點A到平面PCE，然后由可得.【小問1詳解】四邊形ABCD為正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小問2詳解】延長相交與點F，因為