廣西賀州市平桂管理區(qū)平桂高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

廣西賀州市平桂管理區(qū)平桂高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.92．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝04．正方體的棱長(zhǎng)為，為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則△面積的最小值為（）A. B.C. D.5．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，6．離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B.或C. D.或7．如果，，…，是拋物線C：上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，，…，，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn).若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.48．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.19．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析作出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.11．已知命題，，則（）A.， B.，C.， D.，12．我國(guó)古代銅錢蘊(yùn)含了“外圓內(nèi)方”“天地合一”的思想．現(xiàn)有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長(zhǎng)為，若在圓內(nèi)隨即取點(diǎn)，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為_(kāi)__14．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).15．若圓平分圓的周長(zhǎng),則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)___________16．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值18．（12分）已知某學(xué)校的初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時(shí)間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級(jí)各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）另?yè)?jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的人中2人來(lái)自初中年級(jí)，3人來(lái)自高中年級(jí)，從中任選2人，恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率是多少19．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點(diǎn)M是線段PD上的一點(diǎn)，且，當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和（1）求列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項(xiàng)和22．（10分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B2、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解：對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對(duì)于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C3、C【解析】?jī)蓤A方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】?jī)蓤A方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)由，得出點(diǎn)的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求得，再根據(jù)垂直關(guān)系求出△面積的最小值【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)所以，得，所以因?yàn)槠矫妫怨省髅娣e的最小值為故選：B5、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D6、B【解析】試題解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上：考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是焦點(diǎn)位置不同方程不同7、A【解析】根據(jù)拋物線定義得個(gè)等式，相加后，利用已知條件可得結(jié)果.【詳解】拋物線C：的準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用拋物線的定義解題是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由雙曲線的性質(zhì)，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因?yàn)?，所以，解得：，又，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過(guò)等式兩邊同時(shí)除以，進(jìn)而得到關(guān)于的方程.9、B【解析】求出焦點(diǎn)，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點(diǎn)為，則設(shè)雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.10、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式求各函數(shù)二階導(dǎo)函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項(xiàng).【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負(fù)，故不是“凸函數(shù)”；故選：B11、C【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱量詞命題，該命題的否定為，.故選：C.12、B【解析】根據(jù)圓和正方形的面積公式結(jié)合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由平面互相垂直可知其對(duì)應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.14、12【解析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項(xiàng)被開(kāi)方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開(kāi)方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，其通項(xiàng)公式為：，設(shè)數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：15、6【解析】根據(jù)兩圓的公共弦過(guò)圓的圓心即可獲解【詳解】?jī)蓤A相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過(guò)圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為故答案為:616、【解析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）12【解析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)椋傻?，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為1218、（1）初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時(shí)，2.4小時(shí)（3）【解析】（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問(wèn)2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因?yàn)椋?，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)；平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).故估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)，平均時(shí)長(zhǎng)為2.4小時(shí)【小問(wèn)3詳解】2人來(lái)自初中年級(jí)，記為，，3人來(lái)自高中年級(jí)，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)有6種可能，所以恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率為19、（1），；（2）過(guò)，.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解判斷即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，所以動(dòng)圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過(guò)點(diǎn)，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過(guò)點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問(wèn)1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因?yàn)椋?，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因?yàn)椋?，易得，，∴，?又因?yàn)锳C，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問(wèn)2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點(diǎn)M到平面ABC的距離為，∴，∴.21、（1）；（2）347.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項(xiàng)和為22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镺為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接