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文檔簡介
2024屆上海市七寶高中高三第一次調(diào)研測數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若集合,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.若變量,滿足,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.104.已知是圓心為坐標原點,半徑為1的圓上的任意一點,將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.5.已知集合,則的值域為()A. B. C. D.6.函數(shù)(),當時,的值域為,則的范圍為()A. B. C. D.7.設(shè)過定點的直線與橢圓:交于不同的兩點,,若原點在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.8.在中,已知,,,為線段上的一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.9.曲線在點處的切線方程為()A. B. C. D.10.定義域為R的偶函數(shù)滿足任意,有,且當時,.若函數(shù)至少有三個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.12.三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在二項式的展開式中,的系數(shù)為________.14.已知直線與圓心為的圓相交于兩點,且,則實數(shù)的值為_________.15.曲線在點處的切線方程為________.16.(5分)已知,且,則的值是____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知均為正實數(shù),函數(shù)的最小值為.證明:(1);(2).18.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù).(1)當時,不等式恒成立,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列,其前項和為,證明:.20.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設(shè)點在上,點在上,求的最小值以及此時的直角坐標.21.(12分)已知點P在拋物線上,且點P的橫坐標為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點),與拋物線C的準線交于M,N兩點,且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準線與y軸的交點為H.過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.22.(10分)如圖,在中,角的對邊分別為,且滿足,線段的中點為.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)已知,求的大小.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關(guān)系,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點,進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為,當時,,,當時,,則當時,,單減,當時,,單增;當時,,,當,,當時,單減,當時,單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當與()相切時,得,解得;當與()相切時,滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題3、D【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:如圖點坐標分別為,目標函數(shù)的幾何意義為,可行域內(nèi)點與坐標原點的距離的平方,由圖可知到原點的距離最大,故.故選:D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.4、C【解析】
設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當時,取得等號.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.5、A【解析】
先求出集合,化簡=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題6、B【解析】
首先由,可得的范圍,結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關(guān)于實數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【詳解】因為,所以,若值域為,所以只需,∴.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).7、D【解析】
設(shè)直線:,,,由原點在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關(guān)系式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.8、A【解析】
在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標運算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,則、、,為線段上的一點,則存在實數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當且僅當時,等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個關(guān)鍵點在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計算能力,屬于難題.9、A【解析】
將點代入解析式確定參數(shù)值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點斜式求的切線方程.【詳解】曲線,即,當時,代入可得,所以切點坐標為,求得導(dǎo)函數(shù)可得,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知,由點斜式可得切線方程為,即,故選:A.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在曲線上一點的切線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由題意可得的周期為,當時,,令,則的圖像和的圖像至少有個交點,畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,根據(jù),求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當時,,當,當,作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個零點,則的圖像和的圖像至少有個交點,,若,的圖像和的圖像只有1個交點,不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個交點,則有,即,.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法,這也是高考??嫉臒狳c問題,屬于中檔題.11、C【解析】
對此分段函數(shù)的第一部分進行求導(dǎo)分析可知,當時有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點的通項公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當時,,顯然當時有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時,∴,,,…,均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴,,∴對應(yīng)極值,,∴故選:C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題12、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型,只需把這個變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述,則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述,則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、60【解析】
直接利用二項式定理計算得到答案.【詳解】二項式的展開式通項為:,取,則的系數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.14、0或6【解析】
計算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.【點睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。15、【解析】
求導(dǎo),得到和,利用點斜式即可求得結(jié)果.【詳解】由于,,所以,由點斜式可得切線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
由于,且,則,得,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)運用絕對值不等式的性質(zhì),注意等號成立的條件,即可求得最小值,再運用柯西不等式,即可得到最小值.(2)利用基本不等式即可得到結(jié)論,注意等號成立的條件.【詳解】(1)由題意,則函數(shù),又函數(shù)的最小值為,即,由柯西不等式得,當且僅當時取“=”.故.(2)由題意,利用基本不等式可得,,,(以上三式當且僅當時同時取“=”)由(1)知,,所以,將以上三式相加得即.【點睛】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點,連接,由于平面,得出,根據(jù)線線位置關(guān)系得出,利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出,結(jié)合條件以及面面垂直的判定,即可證出平面平面;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標系,利用空間向量法分別求出和平面的法向量,利用空間向量線面角公式,即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解:(Ⅰ)證明:連接交于點,連接,則平面平面,平面,,為的中點,為的中點,平面,,平面,平面,平面平面(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標系,設(shè)則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,取得,設(shè)直線與平面所成角為,直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值,考查空間想象能力和推理能力.19、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當時,方程的,因此在區(qū)間上恒為負數(shù).所以時,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;當時,方程有兩個不等實根,且滿足,所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當時,在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),所以在區(qū)間上恒為正數(shù),不滿足題意;綜上可知:若時,不等式恒成立,的最小值為.(2)由第(1)知:若時,.若,則,即成立.將換成,得成立,即,以此類推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題,考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計算能力,是一道難題.20、(1):,:;(2),此時.【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為;(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標為到的距離當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為.(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.考點:坐標系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征
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