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文檔簡介
2024屆西藏林芝市第二高級中學(xué)高三下學(xué)期月考試(三)數(shù)學(xué)試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.22.已知曲線的一條對稱軸方程為,曲線向左平移個單位長度,得到曲線的一個對稱中心的坐標為,則的最小值是()A. B. C. D.3.設(shè)是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.4.從集合中隨機選取一個數(shù)記為,從集合中隨機選取一個數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.5.已知,則“直線與直線垂直”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.7.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.8.一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B. C. D.9.設(shè)過定點的直線與橢圓:交于不同的兩點,,若原點在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.10.已知實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.1212.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個數(shù)為()①當(dāng)時,函數(shù)的圖象的對稱中心為;②當(dāng)時,函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時,在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四件參賽作品,只評一件一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:甲說:“或作品獲得一等獎”;乙說:“作品獲得一等獎”;丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;丁說:“作品獲得一等獎”.若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是______.14.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點,且,P為BE上一點,且滿足,則的最小值為______.15.已知是偶函數(shù),則的最小值為___________.16.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對任意實數(shù)都有,當(dāng)時,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時,求證:.18.(12分)已知函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若且A為銳角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.19.(12分)已知函數(shù),設(shè)的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實數(shù)a,b,使得,?并說明理由.20.(12分)2019年安慶市在大力推進城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機會,通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:(i)得分不低于可獲贈2次隨機話費,得分低于則只有1次:(ii)每次贈送的隨機話費和對應(yīng)概率如下:贈送話費(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求X的分布列.附:,若,則,.21.(12分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長;(2)已知,為銳角,求.22.(10分)已知橢圓C:()的左、右焦點分別為,,離心率為,且過點.(1)求橢圓C的方程;(2)過左焦點的直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點,若,求直線l的斜率k.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
對復(fù)數(shù)進行化簡計算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算,虛部的概念,屬于簡單題.2、C【解析】
在對稱軸處取得最值有,結(jié)合,可得,易得曲線的解析式為,結(jié)合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.,又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..,注意到故的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對稱性,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算的能力,是一道中檔題.3、C【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.4、A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,分別計算出,再利用公式計算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【點睛】本題考查利用定義計算條件概率的問題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.5、B【解析】
由兩直線垂直求得則或,再根據(jù)充要條件的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,“直線與直線垂直”則,解得或,所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件,故選B.【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系,及必要不充分條件的判定,其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值,同時熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因為的最大值為,所以在點處取得最大值,則,即.故選:A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.8、D【解析】
試題分析:如圖所示,截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點:本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.9、D【解析】
設(shè)直線:,,,由原點在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標的關(guān)系式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.10、B【解析】
畫出可行域,根據(jù)可行域上的點到原點距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值,此時,點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值,此時.所以的取值范圍是.故選:B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識.11、C【解析】
由開始,按照框圖,依次求出s,進行判斷。【詳解】,故選C.【點睛】框圖問題,依據(jù)框圖結(jié)構(gòu),依次準確求出數(shù)值,進行判斷,是解題關(guān)鍵。12、C【解析】
逐一分析選項,①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對稱中心為原點,根據(jù)平移知識,函數(shù)的圖象的對稱中心為,正確.②由題意知.因為當(dāng)時,,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時,,此時在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因為在上不單調(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因為,,所以最大值為64,結(jié)論錯誤.故選:C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、B【解析】
首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”,故假設(shè)分別為一等獎,然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎,則甲、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;若B為一等獎,則乙、丙的說法正確,甲、丁的說法錯誤,滿足題意;若C為一等獎,則甲、丙、丁的說法均正確,不滿足題意;若D為一等獎,則乙、丙、丁的說法均錯誤,不滿足題意;綜上所述,故B獲得一等獎.【點睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時候,可以采用依次假設(shè)為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.14、【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因為三點共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點:向量的運算,基本不等式.【方法點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問題,屬于中檔題目,在解題的過程中,關(guān)鍵步驟在于對題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價于已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案.15、2【解析】
由偶函數(shù)性質(zhì)可得,解得,再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】令得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為:2【點睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式,屬于基礎(chǔ)題16、【解析】
根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時,,所以時,;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:【點睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的極小值為,無極大值.(2)見解析.【解析】
(1)對求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,得到函數(shù)極值.(2)構(gòu)造函數(shù),證明恒成立,得到,,得證.【詳解】(1)由題意知,,令,得,令,得.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的極小值為,無極大值.(2)當(dāng)時,要證,即證.令,則,令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,,所以,即.因為時,,所以當(dāng)時,,所以當(dāng)時,不等式成立.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,極值,不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.18、(1)(2)【解析】
(1)利用降次公式、輔助角公式化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)先由求得,利用正弦定理得到,結(jié)合余弦定理列方程,求得,由此求得三角形的面積.【詳解】(1)函數(shù),,由,得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)因為且為銳角,所以.由及正弦定理可得,又,由余弦定理可得,解得,.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.19、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】
(1)將函數(shù)去絕對值化為分段函數(shù)的形式,從而可求得函數(shù)的最小值,進而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【詳解】(1);(2),若,同號,,不成立;或,異號,,不成立;故不存在實數(shù),,使得,.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點橫坐標之和,再利用正態(tài)分布的對稱性進行求解.(2)寫出隨機變量的所有可能取值,利用互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式,再列表得到其分布列.【詳解】解:(1)從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值為∵由于得分Z服從正態(tài)分布,(2)設(shè)得分不低于分的概率為p,(或由頻率分布直方圖知)法一:X的取值為10,20,30,40;;;;所以X的分布列為X10203040P法二:2次隨機贈送的話費及對應(yīng)概率如下2次話費總和203040PX的取值為10,20,30,40;;;;所以X的分布列為X10203040P【點睛】本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2)4.【解析】
(1)利用三角形的面積公式求得,利用余弦定理求得.(2)利用余弦定理求得,由此求得,進而求得,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】(1)在中,由面積公式:在中,由余弦定理可得:(2
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