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文檔簡介
2024屆新疆昌吉二中高考模擬考試試題(一)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),某同學(xué)通過下面的隨機(jī)模擬方法來估計(jì)的值:先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對,其中,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),再統(tǒng)計(jì),能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個(gè)數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)來估計(jì)的值.若,則的估計(jì)值為()A. B. C. D.2.已知命題若,則,則下列說法正確的是()A.命題是真命題B.命題的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若,則”D.命題的逆否命題是“若,則”3.已知方程表示的曲線為的圖象,對于函數(shù)有如下結(jié)論:①在上單調(diào)遞減;②函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn);③的最大值為;④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則由方程所確定;則正確命題序號為()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④4.已知函數(shù),,若對任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.5.若兩個(gè)非零向量、滿足,且,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.6.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.7.設(shè)直線過點(diǎn),且與圓:相切于點(diǎn),那么()A. B.3 C. D.18.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A.-40 B.-20 C.20 D.409.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知點(diǎn)是拋物線:的焦點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn),過作拋物線的切線,切點(diǎn)為,若點(diǎn)恰好在以,為焦點(diǎn)的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.212.已知是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_____.14.已知是拋物線的焦點(diǎn),是上一點(diǎn),的延長線交軸于點(diǎn).若為的中點(diǎn),則_________.15.根據(jù)記載,最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高,商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”,其中“股”,為“弦”上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且滿足勾股定理,則______.16.過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),過做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、,交拋物線于另兩點(diǎn)、,記拋物線在點(diǎn)的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補(bǔ).18.(12分)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),且拋物線上點(diǎn)處的切線與圓相切于點(diǎn)(1)當(dāng)直線的方程為時(shí),求拋物線的方程;(2)當(dāng)正數(shù)變化時(shí),記分別為的面積,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意的和恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),當(dāng)時(shí),有極大值3;(1)求,的值;(2)求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.21.(12分)這次新冠肺炎疫情,是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難,但從來沒有被壓垮過,而是愈挫愈勇,不斷在磨難中成長,從磨難中奮起.在這次疫情中,全國人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開了對這次疫情的研究,一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn),從2020年2月1日至2月7日期間,日期和全國累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(單位:萬人)之間的關(guān)系如下表:日期1234567全國累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(萬人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?(2)求出關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01).并預(yù)測2月10日全國累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.22.(10分)已知橢圓的離心率為是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn),直線的斜率為1.(1)求橢圓的方程;(1)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,是否存在直線使得?若存在,求出的方程;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,然后再利用隨機(jī)模擬方法得到,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,二者概率相等即可估計(jì)出.【詳解】因?yàn)?,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),所以有,,若,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長,則,由幾何概型的概率計(jì)算公式知,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一個(gè)中檔題.2、B【解析】
解不等式,可判斷A選項(xiàng)的正誤;寫出原命題的逆命題并判斷其真假,可判斷B選項(xiàng)的正誤;利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式,解得,則命題為假命題,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題的逆命題是“若,則”,該命題為真命題,B選項(xiàng)正確;命題的否命題是“若,則”,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題的逆否命題是“若,則”,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的關(guān)系,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
分四類情況進(jìn)行討論,然后畫出相對應(yīng)的圖象,由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)不存在圖象;(2)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分;(3)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為實(shí)軸為軸的雙曲線一部分;(4)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓的一部分;畫出的圖象,由圖象可得:對于①,在上單調(diào)遞減,所以①正確;對于②,函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn),即沒有零點(diǎn),所以②錯(cuò)誤;對于③,由函數(shù)圖象的對稱性可知③錯(cuò)誤;對于④,函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則中用代替,用代替,可得,所以④正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn)概念,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.4、C【解析】
將函數(shù)解析式化簡,并求得,根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.5、A【解析】
設(shè)平面向量與的夾角為,由已知條件得出,在等式兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值,即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為,,可得,在等式兩邊平方得,化簡得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值,考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.6、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號,即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,排除選項(xiàng)A,B;當(dāng)時(shí),,,排除選項(xiàng)D,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性,屬于中檔題.7、B【解析】
過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),∴;∴;故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項(xiàng),由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80,由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40,故所求的常數(shù)項(xiàng)為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘,若第1個(gè)括號提出x,從余下的5個(gè)括號中選2個(gè)提出x,選3個(gè)提出;若第1個(gè)括號提出,從余下的括號中選2個(gè)提出,選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=409、D【解析】
根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.11、D【解析】
分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進(jìn)而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),等式不是雙曲線的方程;當(dāng)時(shí),,可化為,可得虛半軸長,所以點(diǎn)F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與點(diǎn)到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值,再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意可知的兩根為,再根據(jù)解集的區(qū)間端點(diǎn)得出參數(shù)的關(guān)系,再求解即可.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù),關(guān)于的不等式的解集是的兩根為:和;所以有:且;且;;故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由題意可得,又由于為的中點(diǎn),且點(diǎn)在軸上,所以可得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線方程中可求點(diǎn)的縱坐標(biāo),從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn),所以,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,所以,所以,解得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以,故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的性質(zhì),中點(diǎn)坐標(biāo)公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先由等面積法求得,利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得,依題意可得,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系,設(shè)出所求直線方程,將已知圓圓心坐標(biāo)代入,即可求解.【詳解】圓心為,所求直線與直線垂直,設(shè)為,圓心代入,可得,所以所求的直線方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程、直線方程求法,注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程得,同理可得,進(jìn)而得到,再利用點(diǎn)差法得直線的斜率,利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線的斜率,進(jìn)而可得與互補(bǔ).【詳解】(1)由題意設(shè)直線的方程為,令、,聯(lián)立,得,根據(jù)拋物線的定義得,又,故所求拋物線方程為.(2)依題意,設(shè),,設(shè)的方程為,與聯(lián)立消去得,,同理,直線的斜率=切線的斜率,由,即與互補(bǔ).【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,直線斜率的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.18、(1)x2=4y.(2).【解析】試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求導(dǎo)y′=,因?yàn)橹本€PQ的斜率為1,所以=1且x0--√2=0,解得p=2,所以拋物線C1的方程為x2=4y.(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為:y-=(x-x0),即2x0x-2py-x02=0,∴OQ的方程為y=-x根據(jù)切線與圓切,得d=r,即,化簡得x04=4x02+4p2,由方程組,解得Q(,),所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點(diǎn)F(0,)到切線PQ的距離是d=,所以S1==,S2=,而由x04=4x02+4p2知,4p2=x04-4x02>0,得|x0|>2,所以==+1≥2+1,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號,即x02=4+2,此時(shí),p=.所以的最小值為2+1.考點(diǎn):求拋物線的方程,與拋物線有關(guān)的最值問題.19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,,恒成立,然后構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由得:;由得:.∴當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)間:當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)對任意的和,恒成立等價(jià)于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,則得,由此可得:在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴當(dāng)時(shí),,即又∵,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識,屬于中等題.20、(1);(2)極小值為,遞減區(qū)間為:,遞增區(qū)間為.【解析】
(1)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程組,求解方程組,即可求得的值;(2)結(jié)合(1)中的值得出函數(shù)的解析式,即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值.【詳解】(1)由題意,函數(shù),則,由當(dāng)時(shí),有極大值,則,解得.(2)由(1)可得函數(shù)的解析式為,則,令,即,解得,令,即,解得或,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,極小值為.當(dāng)時(shí),有極大值3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念,以及利
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