專題7.4 空間直線、平面的垂直（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題7.4空間直線、平面的垂直【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1垂直關系的有關命題的真假判斷】 5【題型2證明線線垂直】 5【題型3線面垂直的判定】 7【題型4線面垂直的性質定理的應用】 9【題型5面面垂直的判定】 11【題型6面面垂直性質定理的應用】 12【題型7垂直關系的綜合應用】 15【題型8平行、垂直關系的綜合應用】 161、空間直線、平面的垂直考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系(2)掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用2022年全國乙卷（文數(shù)）：第9題，5分2022年全國乙卷（文數(shù)）：第18題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第20題，12分2024年新高考Ⅱ卷：第17題，15分空間直線、平面的垂直是高考的重點、熱點內容.從近幾年的高考情況來看，主要分三方面進行考查，一是空間中線面垂直關系的命題的真假判斷，常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；二是空間線線、線面、面面垂直的證明以及垂直關系的轉化，一般以解答題的第一小問的形式考查，難度中等；三是線面平行、垂直關系的存在性問題，難度中等；解題時要靈活運用直線、平面的垂直的判定與性質.【知識點1線面垂直的判定定理和性質定理】1．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.(2)點到平面的距離過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.2．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.3．直線與平面垂直的性質定理(1)直線與平面垂直的性質定理①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．②圖形語言：如圖所示．③符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構造平行線.【知識點2面面垂直的判定定理和性質定理】1．面面垂直的定義及判定定理(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與垂直，記作⊥.(2)兩個平面互相垂直的畫法

如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理①自然語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.2．平面與平面垂直的性質定理(1)平面與平面垂直的性質定理①自然語言兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.②圖形語言③符號語言.(2)性質定理的作用①證明線面垂直、線線垂直；

②構造面的垂線.【知識點3空間中的垂直關系的判定方法】1．直線與直線垂直的判定方法(1)定義法：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b；(2)利用線面垂直的性質定理；(3)利用面面垂直的性質定理；2．直線與平面垂直的判定方法(1)定義法：利用定義：若一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面(不常用)；(2)利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平面垂直(常用方法);(3)可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面(選擇、填空題常用)；(4)面面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于這兩個平面的交線的直線垂直于另一個平面(常用方法)；(5)面面平行的性質：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條直線也垂直于另一個平面；(6)面面垂直的性質：若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.3．面面垂直判定的兩種方法與一個轉化(1)兩種方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.(2)一個轉化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化.在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.4．平面與平面垂直的其他性質與結論

(1)如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內.(2)如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.(3)如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內.(4)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.(5)三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.【知識點4空間中位置關系的相互轉化】1．線、面垂直位置關系的相互轉化2．平行關系與垂直關系的相互轉化【方法技巧與總結】1．三垂線定理平面內的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.2．三垂線定理的逆定理平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影垂直.3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.【題型1垂直關系的有關命題的真假判斷】【例1】（2024·四川成都·三模）已知直線l、m、n與平面α、β，下列命題正確的是（

）A．若l⊥n，m⊥n，則l//mB．若l⊥α，l//β，則α⊥βC．若l⊥α，l⊥m，則m//αD．若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，則l⊥β【變式1-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ B．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．m⊥n，m//α，α//β，則n⊥β【變式1-2】（2024·福建泉州·模擬預測）已知m,n是兩條不同的直線，α,β,γ是三個不同的平面，則下列命題是真命題的是（

）A．若α⊥β,m?α,n?β，則m⊥n B．若α⊥β,β⊥γ，則α//γC．若m⊥α,m//n,n//β，則α⊥β D．若m//n,m//α，則n//α【變式1-3】（2024·重慶·模擬預測）已知兩條直線m，n和三個平面α，β，γ，下列命題正確的是（

）A．若m∥α，m∥β，則α∥βB．若α⊥β，α⊥γ，則β∥γC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，則m⊥γD．若n?γ，n∥α，n∥β，α∩β=m，則m∥γ【題型2證明線線垂直】【例2】（2024·四川宜賓·三模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，∠PDC=120°，PA=22，點E為線段PC的中點，點F在線段AB上，且AF=(1)求證：CD⊥EF；(2)求三棱錐P?ABD的體積．【變式2-1】（2024·陜西西安·三模）在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=2，(1)證明：BD⊥AP．(2)若△PAD為等邊三角形，求點C到平面PBD的距離．【變式2-2】（2024·陜西商洛·三模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面PBD,AB=AD=AP=2．(1)證明：BD⊥PC；(2)若E為AD的中點，∠BAD=60°，求E到平面PBD的距離．【變式2-3】（2024·內蒙古·三模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：AB⊥B(2)已知平面ABC⊥平面ABB1A1，【題型3線面垂直的判定】【例3】（2024·四川樂山·三模）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面(1)證明：A1O⊥平面(2)求四棱錐A1【變式3-1】（2024·四川雅安·三模）四棱錐P?ABCD中，AP=AC，底面ABCD為等腰梯形，CD∥AB，AB=2CD=2BC=2，E為線段PC的中點，PC⊥CB.(1)證明：AE⊥平面PCB；(2)若PB=2，求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值.【變式3-2】（2024·廣西貴港·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為邊CD的中點，沿AE把△ADE折起，使點D到達點P的位置，且∠PAB=π(1)求證：PE⊥平面PAB；(2)求三棱錐E?PAB的表面積【變式3-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，且AB=2CD=2AD=2.(1)證明：BC⊥面PAC；(2)若點A到平面PBC的距離為32，求四棱錐P—ABCD【題型4線面垂直的性質定理的應用】【例4】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB，試判斷直線a與直線l的位置關系，并說明理由．【變式4-1】（2024·陜西西安·模擬預測）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD=22(1)求三棱錐B?ACP的體積；(2)求證：AB⊥PC．【變式4-2】（2024高一·全國·專題練習）在三棱錐P?ABC中，△ABC為等邊三角形，PA⊥平面ABC，將三角形PAC繞PA逆時針旋轉至PAD位置（如圖），且二面角D?PA?B的大小為90°．證明：A，B，C，D四點共面，且AD⊥PB；【變式4-3】（23-24高一下·江蘇淮安·期中）已知三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC(1)求證：B1(2)已知A1A=2,P∈平面ABC，且C1P⊥平面【題型5面面垂直的判定】【例5】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1所有棱長都為(1)證明：平面BCD⊥平面AB(2)若DB1=【變式5-1】（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=2，BC⊥BD，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點.(1)證明：平面ACD⊥平面BCD；(2)求點A到平面BDF的距離.【變式5-2】（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱ABC?A1B1C1，各棱長均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱(1)證明：平面A1CD⊥平面(2)求直線EF與A1【變式5-3】（2024·四川德陽·三模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，∠A1AB=∠A1AC，D為(1)求證：平面A1AD⊥平面(2)設M為B1C1的中點，平面EB1C1F交AD于P，且【題型6面面垂直性質定理的應用】【例6】（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，四棱錐P?ABCD，側面PAD是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為棱PC上的動點且(1)求證:△PBC為直角三角形;(2)試確定λ的值，使得三棱錐P?AMD的體積為23【變式6-1】（2024·廣東·二模）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側面ACC(1)證明：A1(2)求點C1到平面AB【變式6-2】（2024·四川成都·三模）如圖，在三棱臺ABC?DEF中，H在AC邊上，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACD=60°，CH=2，CD=4，BC=3，BH⊥BC(1)證明：EF⊥BD；(2)若△ABC的面積為334，求三棱錐【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）如圖，在多面體PABCDE中，PA⊥平面ABCD,DE//PA,PA=2DE=2AD=4，四邊形ABCD是正方形，BE=23(1)證明：∠PEA=90°；(2)證明：PE⊥平面ABE；(3)求三棱錐P?ABE的體積．【題型7垂直關系的綜合應用】【例7】（2024·四川成都·一模）點A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=BC=2，已知球O的表面積是12π，下列說法中正確的個數(shù)是（①BC⊥平面PAB；②平面PAC⊥平面ABC；③PB⊥AC．A．0 B．1 C．2 D．3【變式7-1】（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是棱AA①四邊形MBND1是平行四邊形；②四邊形MBND1可能是正方形；③存在平面MBND1與直線

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④【變式7-2】（23-24高一下·云南昭通·期末）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：MC1⊥(2)在棱BB1上是否存在點Q，使得AQ⊥平面BC【變式7-3】（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，且PA=AD=2,AB=BC=1,PB=5,E為(1)求證：AB⊥AE；(2)求二面角E?AC?D的余弦值；(3)在線段AP上是否存在點M使得平面BCEM⊥平面PAB？若存在，請指明點M的位置；若不存在，請說明理由．【題型8平行、垂直關系的綜合應用】【例8】（2024·四川南充·二模）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面(1)求證：A1N//(2)若∠BAD=60°，求證：平面A1【變式8-1】（2024·江西·模擬預測）如圖所示，四邊形BCDE為直角梯形，且BC//DE，ED⊥CD，BC=2，CD=3，ED=1．△ABE為等邊三角形，平面ABE⊥

(1)線段AC上是否存在一點G，使得DG//平面ABE，若存在，請說明G(2)空間中有一動點Q，滿足AQ⊥BE，且QB?QC=0【變式8-2】（2024·四川宜賓·模擬預測）如圖（1）示，在梯形BCDE中，BC//DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，如圖（2）沿AB將四邊形ABCD折起，使得平面ABCD與平面ABE垂直，M為CE的中點．(1)求證：BC//面DAE;(2)求證：AM⊥BE；(3)求點D到平面BCE的距離．【變式8-3】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知正方體ABCD?A(1)求證：A1(2)若平面α/平面AB1(3)已知平面α/平面AB1D1，設平面α與正方體的棱AB、BB1、B1C1交于點E、一、單選題1．（2024·安徽合肥·二模）設α，β是兩個不同平面，a，b是兩條不同直線，則α//β的一個充分條件是（A．a//α，b//β，a∥b B．a⊥α，b⊥βC．a⊥α，b⊥β，a∥b D．a//α，b//β，a與2．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A．AB∥HG B．CG⊥BH C．CG⊥DH D．AC∥DG3．（2024·山東·二模）《蝶戀花·春景》是北宋大文豪蘇軾所寫的一首詞作.其下闕為：“墻里秋千墻外道，墻外行人，墻里佳人笑，笑漸不聞聲漸悄，多情卻被無情惱”.如圖所示，假如將墻看作一個平面，墻外的道路、秋千繩、秋千板看作是直線.那么道路和墻面線面平行，秋千靜止時，秋千板與墻面線面垂直，秋千繩與墻面線面平行.那么當佳人在蕩秋千的過程中，下列說法錯誤的是（

）A．秋千繩與墻面始終平行B．秋千繩與道路始終垂直C．秋千板與墻面始終垂直D．秋千板與道路始終垂直4．（2024·湖南·三模）已知m，n是兩條不重合的直線，α,β是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（

）A．若m//α,nB．若m?α,n?α,m//β,nC．若m⊥α,m//n,α⊥βD．若m⊥α,n⊥β,m⊥n，則α⊥β5．（2024·陜西榆林·模擬預測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，A．EF//BD B．FD1C．EF⊥BC1 D．AF⊥6．（2024·山東濟南·二模）已知正方體ABCD?A1B1CA．A1D∥D1B,MNB．A1D∥DC．A1D⊥D1D．A1D⊥7．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下面結論中錯誤的是（

）A．AE⊥CEB．BC//平面ADEC．平面ADE⊥平面BCED．DE⊥平面BCE8．（2024·四川廣安·二模）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，EF是△BCD的中位線，AC與EF交于點G，已知△PEF是△CEF繞EF旋轉過程中的一個圖形﹐且P?平面ABCD.給出下列結論：①BD//平面PEF；②平面PAC⊥平面ABCD；③“直線PF⊥直線AC”始終不成立.其中所有正確結論的序號為（

）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③二、多選題9．（2024·廣東肇慶·三模）已知α，β是兩個不同的平面，m，n，l是三條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若m⊥α，n⊥α，則mB．若m∥α，nC．若α∩β=l，m∥α，mD．若α∩β=l，m?α，m⊥l，則m⊥β10．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（

）A．AF∥CN C．CN與BM成60°角 D．NE與BM是異面直線11．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且四邊形ABCD為正方形，PA=AB，點E，M，N分別為AD，PD，BC的中點，記過點M，N，E的平面為α，四棱錐P-ABCD的體積為V，則（

）A．AM⊥平面PCDB．BM⊥PDC．平面α截四棱錐P-ABCD兩部分中較大部