專題5.3 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題5.3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量數(shù)量積的運算】 4【題型2平面向量的夾角問題】 5【題型3平面向量的模長】 5【題型4平面向量的垂直問題】 5【題型5平面向量的投影】 6【題型6坐標(biāo)法解決向量問題】 6【題型7平面向量的實際應(yīng)用】 7【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】 81、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義

(2)了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系

(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系(5)會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題2022年新高考全國Ⅱ卷：第4題，5分2023年新高考I卷：第3題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第13題，5分2023年北京卷：第3題，5分2024年新高考I卷：第3題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第3題，5分平面向量的數(shù)量積是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，試題往往以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，主要考查向量的數(shù)量積、夾角、模與垂直條件等知識，難度中等，有時會與三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合命題.學(xué)生在高考一輪復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強訓(xùn)練，要能靈活運用定義法、坐標(biāo)法和基底法解決常見的數(shù)量積有關(guān)問題.【知識點1向量數(shù)量積的性質(zhì)和常用結(jié)論】1．向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律(1)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則

①==.

②=0.

③當(dāng)與同向時，=；當(dāng)與反向時，=-.

特別地，==或=.

④|a|，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即∥時，等號成立.

⑤=.(2)向量數(shù)量積的運算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：

對于向量，，和實數(shù)，有

①交換律：=；

②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；

③分配律：(+)=+.2．向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)=；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時右邊等號成立，與反向共線時左邊等號成立.

以上結(jié)論可作為公式使用.【知識點2平面向量數(shù)量積的解題方法】1．平面向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解.【知識點3數(shù)量積的兩大應(yīng)用】1．夾角與垂直根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.2．向量的模的求解思路：(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時，可用模的計算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知識點4向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想】1．向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的三大解題方法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.(3)利用向量運算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.【知識點5極化恒等式】1．極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．【方法技巧與總結(jié)】1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)；(2).2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論(1)若與的夾角為銳角，則>0；若>0，則與的夾角為銳角或0.(2)若與的夾角為鈍角，則<0；若<0，則與的夾角為鈍角或π.3．向量在向量上的投影向量為.【題型1平面向量數(shù)量積的運算】【例1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在△ABC中，已知AB=AC=2，BD=2DC，若AD?BC=2，則AB?AC=（

）A．?1 B．1 C．2 D．?2【變式1-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量a=(m,2),b=(n,?1)(n>0)，a,c=2π3，aA．32?262 B．?62【變式1-2】（2023·山東日照·一模）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則PA?PB的最大值為（A．13 B．12 C．8 D．2【變式1-3】（2024·北京·三模）已知點N在邊長為2的正八邊形A1,A2,?,A8的邊上，點MA．?4?22,22C．?22,4+22【題型2平面向量的夾角問題】【例2】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知單位向量a，b滿足b?2a+b=2，則A．30° B．60° C．120° D．150°【變式2-1】（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=?3,λ，若a+A．-1 B．1 C．±1 D．±2【變式2-2】（2024·湖北·二模）已知平面向量a=1?x,?x?3，b=1+x,2，a?b=?4A．π3 B．π4 C．2π3【變式2-3】（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形ABCD中，點E?F分別為AD,BC的中點，CD=2AB=8,A．516 B．5564 C．?55【題型3平面向量的模長】【例3】（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夾角為π3，a=?32,1A．1 B．32 C．2 D．【變式3-1】（2024·山東煙臺·三模）已知向量a，b滿足a=4，b在a方向上的投影向量為12a，且b⊥2A．4 B．43 C．16 【變式3-2】（2024·湖南長沙·三模）在平行四邊形ABCD中，AC=2BD=4，點P為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點，則|PA|2A．6 B．8 C．10 D．12【變式3-3】（2024·湖南永州·三模）在△ABC中，∠ACB=120°，AC=3，BC=4，DC?A．63?2 B．219?4 C．【題型4平面向量的垂直問題】【例4】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知向量a=(x,3),b=(2,x+5)，若a⊥(aA．2或3 B．?2或?3 C．1或?6 D．?1或6【變式4-1】（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量a=(2,4),b=(3,?1)，則“k=2”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個向量a=(2,?1),b=(3,m)，且(A．±1 B．±2 C．±2 D．【變式4-3】（2023·全國·高考真題）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=?1C．λμ=1 D．λμ=?1【題型5平面向量的投影】【例5】（2024·浙江紹興·三模）若非零向量a，b滿足a=b=a+b，則A．2b B．32b C．b【變式5-1】（2024·山東青島·二模）已知向量a=?1,2，b=(?3,1)，則a在bA．(?32,12) B．(?【變式5-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知兩個非零向量a、b滿足a+b=a?A．b B．?b C．12b 【變式5-3】（2024·湖北武漢·二模）已知x∈R，向量a=x,2,b=2,?1，且aA．5 B．5 C．1,2 D．2,?1【題型6坐標(biāo)法解決向量問題】【例6】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°，動點P在BC邊上（包括端點），則AD?A．0,1 B．?1,2 C．?2,2 D．?1,1【變式6-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊B3C3上有10個不同的點P1，P2，…，P10，記A．18 B．180 C．?18 D．?180【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，已知AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，AC=CB，點P是線段BC上的動點，且△PAB的面積記為S1，圓O的面積記為S2，當(dāng)PA?A．1π B．2π C．3π【變式6-3】（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中．以C為圓心，1為半徑的圓分別交CD,BC于點E,F．當(dāng)點P在劣弧EF上運動時，BP?DP的取值范圍為（A．1?22,?1C．?1,1?2 D．【題型7平面向量的實際應(yīng)用】【例7】（2024·吉林長春·一模）長江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=4km/h，設(shè)v1和vA．?215 B．?25 C．【變式7-1】（2024·浙江溫州·二模）物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=F?S（其中W是功，F(xiàn)是力，S是位移）一物體在力F1=2,4和F2A．25 B．5 C．?5 D．?25【變式7-2】（2024·山東濰坊·二模）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2，且F1,F2【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，某物體作用于同一點O的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3使物體處于平衡狀態(tài)，已知F1=1N，F(xiàn)2=2N【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】【例8】（2024·江西·三模）已知鈍角△ABC的面積為3,AB=4,AC=2，則AB·AC的值是（A．?6 B．?27 C．27或?27 【變式8-1】（2024·貴州畢節(jié)·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=2π3，若點D滿足AD?AB=0，且A．12 B．2 C．14【變式8-2】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知AB(1)若λ=1，判斷△ABC的形狀；(2)若λ=12，求【變式8-3】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，兩射線l1、l2均與直線l垂直，垂足分別為D、E且DE=1.點A在直線l上，點B、(1)若F為線段BC的中點（未畫出），求AF?(2)若△ABC為等邊三角形，求△ABC面積的范圍.一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知向量|a|=3,|a?bA．3 B．2 C．5 D．32．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）若a=1,x,b=2,?2A．2 B．?2 C．?223．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）若a，b是夾角為60°的兩個單位向量，λa+b與2aA．0 B．2 C．?1 D．?24．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知向量a,b滿足a=2,b=3,0,A．16,0 B．13,0 C．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量a,b滿足a=2,A．22 B．?22 C．16．（2024·寧夏石嘴山·三模）已知向量a=(?3,1),A．|b?a|=5C．向量b在向量a上的投影為102 D．若c=7．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某公園設(shè)計的一個圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造三個正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個正方形有兩個頂點恰好在圓上．若AB=2a，則BD?CE=A．?4(2+3)a2 B．?2(2+3)8．（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，點E滿足2AE=3EB，在平面ABCD中，動點P滿足PE?PBA．41+4 B．41?6 C．213二、多選題9．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知向量a=1,3，bA．a(chǎn)?b=2 B．a(chǎn)與C．a(chǎn)⊥a+2b D．a(chǎn)10．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知非零向量a≠e，e→=1，對任意t∈R，恒有A．a(chǎn)在e上的投影的數(shù)量為1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)⊥a?11．（2024·河北保定·一模）已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列正確的是（

）A．若PA+3PB+2PC=B．若PA+PB+PC=C．若AB?AC>0D．若AP=13AB+2三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知向量a=(?2,k?3)，b=(k,k?2)，且a⊥b13．（2024·上?！つM預(yù)測）已知向量a，b，c滿足a=b=1，c=．14．（2024·天津河西·二模）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，則向量AE在向量CB上的投影向量的模為；若M，N分別為線段BC，CE上的動點，且AM?AN=52四、解答題15．（2024·天津河北·模擬預(yù)測）已知向量a=3,4，b=(1)若a⊥b，求(2)若c∥a?2b，求向量16．（23-24高一下·北京東城·期中）已知向量a,b