2023-2024學年四川省成都市八年級（上）期中數(shù)學試卷

2023-2024學年四川省成都市八年級（上）期中數(shù)學試卷一.選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）1．（4分）的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±22．（4分）若m＜n，則下列不等式不成立的是（）A．1+m＜2+n B．1﹣m＜1﹣n C．2m＜2n D．＜3．（4分）下列方程組，屬于二元一次方程組的是（）A． B． C． D．4．（4分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 C．b2＝a2+c2 D．a(chǎn)：b：c＝1：1：25．（4分）在平面直角坐標系中，若點P（1﹣2x，x﹣1）在第二象限（）A． B． C． D．6．（4分）下列說法正確的有（）個．①任何實數(shù)都可以開立方；②0的相反數(shù)、倒數(shù)、平方都是0；③數(shù)軸上的點和有理數(shù)一一對應；④有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；⑤無理數(shù)都是無限小數(shù)．A．1 B．2 C．3 D．47．（4分）圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長（圖乙中的實線）是（）A．52 B．48 C．72 D．768．（4分）如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C′處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為20cm，則螞蟻爬行的最短距離為（）cm．A．10 B．50 C．10 D．70二.填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）9．（4分）在平面直角坐標系中，點（m，﹣2）與點（3，n）關于x軸對稱．10．（4分）不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整數(shù)解的和為．11．（4分）已知關于x，y的二元一次方程組，則x+y＝．12．（4分）如圖所示的數(shù)軸上，點B與點C關于點A對稱，A、B兩點對應的實數(shù)是，則點C所對應的實數(shù)是．13．（4分）如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上．三.解答題（本大題共5個小題，共48分）14．（10分）計算：（1）；（2）．15．（10分）解方程組或不等式組：（1）解方程組：；（2）解不等式組：．16．（8分）如圖1，這是由8個同樣大小的正方體組成的魔方，其體積為64．（1）求出這個魔方的棱長；（2）圖1中陰影部分是一個正方形ABCD，求出陰影部分的邊長及其面積；（3）如圖2，把正方形ABCD放到數(shù)軸上，使點A與﹣1重合，請計算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．17．（10分）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風旗桿從點C處折斷（1）求旗桿距地面多高處折斷（AC）；（2）工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風險？18．（10分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16，D是AC上的一點，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動，設點P的運動時間為t．連接AP．（1）當t＝3秒時，求△BPA的面積；（2）若AP平分∠CAB，求t的值；（3）過點D作DE⊥AP于點E．在點P的運動過程中，當t為何值時，能使DE＝CD？一.填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19．（4分）化簡﹣（）2的結(jié)果是．20．（4分）對于有理數(shù)a、b，我們定義新運算a?b＝ax+by，等號右邊是正常運算，y是常數(shù)，若1?2＝1，（﹣3），則2?（﹣5）的值是．21．（4分）如果一個數(shù)表中某一列各數(shù)之和為負數(shù)，那么改變該列中所有數(shù)的符號，稱之為一次“操作”，若經(jīng)過一次“操作”后，使可使新的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負數(shù)．a(chǎn)a2﹣1﹣a﹣a22﹣a1﹣a2a﹣2a222．（4分）如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝2，將△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，線段B′E的長為．23．（4分）如圖，線段AB的長度為5，點P，且PA＝4，PM＝PB，線段AM長的最大值為．二.解答題（本大題共3小題，共30分）24．（8分）已知a＝，b＝．求：（1）a2b﹣ab2的值；（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．25．（10分）問題情境：在學習了《勾股定理》和《實數(shù)》后，某班同學們以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數(shù)學活動材料1．古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年），在他的著作《度量》一書中，給出了求其面積的海倫公式（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．材料2．我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式：S＝，其中三角形邊長分別為a，b，c，三角形的面積為S．（1）利用材料1解決下面的問題：當，b＝3，時，求這個三角形的面積？（2）利用材料2解決下面的問題：已知△ABC三條邊的長度分別是，，，記△ABC的周長為C△ABC．①當x＝2時，請直接寫出△ABC中最長邊的長度；②若x為整數(shù)，當C△ABC取得最大值時，請用秦九韶公式求出△ABC的面積．26．（12分）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，E為AC邊的一點，F(xiàn)為AB邊上一點，交BE于點D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G．（1）求證：△ACF≌△CBG；（2）如圖2，延長CG交AB于H，連接AG交CF于點M，求證：PB＝CP+CF；（3）在（2）問的條件下，當∠FCH＝2∠GAC時，求AM的長．

2023-2024學年四川省成都市八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）1．（4分）的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【分析】利用算術(shù)平方根的意義解答即可．【解答】解：∵＝4，∴的算術(shù)平方根是2，故選：B．【點評】本題主要考查了算術(shù)平方根的意義，熟練掌握算術(shù)平方根的意義是解題的關鍵．2．（4分）若m＜n，則下列不等式不成立的是（）A．1+m＜2+n B．1﹣m＜1﹣n C．2m＜2n D．＜【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【解答】解：A．∵m＜n，∴1+m＜1+n＜7+n，故本選項不符合題意；B．∵m＜n，∴﹣m＞﹣n，∴1﹣m＞1﹣n，故本選項符合題意；C．∵m＜n，∴5m＜2n，故本選項不符合題意；D．∵m＜n，∴＜，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關鍵．3．（4分）下列方程組，屬于二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可．【解答】解：方程組中，屬于二元一次方程組的是，故選：A．【點評】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關鍵．4．（4分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 C．b2＝a2+c2 D．a(chǎn)：b：c＝1：1：2【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可以判斷A和B；根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷C；根據(jù)三角形三邊關系，可以判斷D．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，故選項A中的三角形是直角三角形；∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：3，∴∠C＝90°，故選項B中的三角形是直角三角形；∵b2＝a2+c8，∴△ABC是直角三角形，故選項C不符合題意；∵a：b：c＝1：1：6，1+1＝6，∴線段a、b、c不能構(gòu)成三角形；故選：D．【點評】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和，解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷一個三角形是否為直角三角形．5．（4分）在平面直角坐標系中，若點P（1﹣2x，x﹣1）在第二象限（）A． B． C． D．【分析】由P為第二象限點求出x的范圍，表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：∵點P（1﹣2x，x﹣2）在第二象限，∴，解不等式①得：，解不等式②得：x＞1，∴不等式組的解集為：x＞4，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示為：，故選：B．【點評】此題考查了用數(shù)軸表示不等式組的解集，以及點的坐標，熟練掌握解不等式組的步驟是解題關鍵．6．（4分）下列說法正確的有（）個．①任何實數(shù)都可以開立方；②0的相反數(shù)、倒數(shù)、平方都是0；③數(shù)軸上的點和有理數(shù)一一對應；④有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；⑤無理數(shù)都是無限小數(shù)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①任何實數(shù)都可以開立方；②0沒有倒數(shù)；③數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應；④有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；⑤無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以都是無限小數(shù)；據(jù)此判斷即可．【解答】解：①任何實數(shù)都可以開立方，正確；②0的相反數(shù)、平方都是0，錯誤；③數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應，錯誤；④有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，正確；⑤無理數(shù)都是無限小數(shù)，正確；正確的有：①④⑤，共7個，故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)的分類和性質(zhì)，以及實數(shù)與數(shù)軸的關系，熟練掌握這些基礎知識是解題的關鍵．7．（4分）圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在Rt△ABC中，若直角邊AC＝6，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長（圖乙中的實線）是（）A．52 B．48 C．72 D．76【分析】通過勾股定理可將“數(shù)學風車”的斜邊求出，然后可求出風車外圍的周長．【解答】解：依題意，設“數(shù)學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2＝122+52＝169，所以x＝13，所以“數(shù)學風車”的周長是：（13+6）×4＝76．故選：D．【點評】本題是勾股定理在實際情況中應用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．8．（4分）如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C′處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為20cm，則螞蟻爬行的最短距離為（）cm．A．10 B．50 C．10 D．70【分析】根據(jù)圖形可知長方體的四個側(cè)面都相等，所以分兩種情況進行解答即可．【解答】解：分兩種情況：（其它情況與之重復）①當螞蟻從前面和右面爬過去時，如圖1，在Rt△ACC′中，AC＝20+20＝40（cm），根據(jù)勾股定理得：AC′＝＝＝50（cm），②當螞蟻從前面和上面爬過去時，如圖2，在Rt△ABC′中，BC′＝BB′+B′C′＝30+20＝50（cm），根據(jù)勾股定理得：AC′＝＝＝10；螞蟻爬行的最短距離為50cm．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的實際應用﹣求最短距離，讀懂題意，熟悉立體圖形的側(cè)面展開圖是解本題的關鍵．二.填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）9．（4分）在平面直角坐標系中，點（m，﹣2）與點（3，n）關于x軸對稱5．【分析】根據(jù)關于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可得m、n的值，進而可得答案．【解答】解：∵點（m，﹣2）與點（3，∴m＝7，n＝2，∴m+n＝3+4＝5．故答案為：5．【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質(zhì)，掌握關于x軸對稱點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)是解題關鍵．10．（4分）不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整數(shù)解的和為3．【分析】按照解一元一次不等式的步驟進行計算，即可解答．【解答】解：2x﹣3≥2x﹣10，2x﹣5x≥﹣10+8，﹣3x≥﹣7，x≤，∴該不等式的所有正整數(shù)解為：1，2，∴等式2x﹣3≥4x﹣10的所有正整數(shù)解的和為3，故答案為：3．【點評】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．11．（4分）已知關于x，y的二元一次方程組，則x+y＝1．【分析】把兩式相加，則可較快求得結(jié)果．【解答】解：，①+②得：4x+6y＝4，則x+y＝1．故答案為：5．【點評】本題主要考查解二元一次方程組，解答的關鍵是觀察清楚所求的式子與所給的方程組的關系．12．（4分）如圖所示的數(shù)軸上，點B與點C關于點A對稱，A、B兩點對應的實數(shù)是，則點C所對應的實數(shù)是2+1．【分析】設點C所對應的實數(shù)是x．根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即對稱點到對稱中心的距離相等，即可列方程求解即可．【解答】解：設點C所對應的實數(shù)是x．則有x﹣＝﹣（﹣4），解得x＝2+7．故答案為：2+3．【點評】本題考查的是數(shù)軸上兩點間距離的定義，根據(jù)題意列出關于x的方程是解答此題的關鍵．13．（4分）如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上．【分析】利用分割圖形求面積法求出△ABC的面積，利用勾股定理求出線段AB的長，再利用三角形的面積公式可求出點C到AB邊的距離．【解答】解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×4＝＝，∴點C到AB邊的距離＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理以及三角形的面積，利用面積法求出點C到AB邊的距離是解題的關鍵．三.解答題（本大題共5個小題，共48分）14．（10分）計算：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用二次根式的乘除運算法則計算，進而得出答案；（2）利用立方根的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣3××2×＝﹣×5＝﹣；（2）原式＝﹣2﹣（﹣5）﹣2×1＝﹣7﹣+1﹣8＝﹣3﹣．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．15．（10分）解方程組或不等式組：（1）解方程組：；（2）解不等式組：．【分析】（1）利用加法消元即可求解；（2）首先分別求出兩個不等式的解集，再根據(jù)“大小小大中間找”確定不等式組的解集即可．【解答】解：（1）方程組整理得，②×4﹣①得5x＝12，解得x＝，把x＝代入②得，解得y＝，∴原方程的解為；（2），解不等式①得x≥﹣2；解不等式②得x＜3.4；∴原不等式組的解集為﹣2≤x＜3.8．【點評】此題考查了加減消元法解二元一次方程組及一元一次不等式組的解法，關鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．16．（8分）如圖1，這是由8個同樣大小的正方體組成的魔方，其體積為64．（1）求出這個魔方的棱長；（2）圖1中陰影部分是一個正方形ABCD，求出陰影部分的邊長及其面積；（3）如圖2，把正方形ABCD放到數(shù)軸上，使點A與﹣1重合，請計算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．【分析】（1）根據(jù)正方體的體積公式求出棱長即可；（2）求出每個小正方體的棱長，再根據(jù)勾股定理求出CD即可；（3）求出a的值，再代入化簡即可．【解答】解：（1）這個魔方的棱長為：＝4；（2）每個小正方體的棱長為：7÷2＝2；陰影部分的邊長為：CD＝＝2，陰影部分的面積為：CD4＝（2）5＝8；（3）根據(jù)圖可知a＝2﹣1，（a﹣1）（a+8）﹣|2﹣a|＝（2﹣1﹣1）×（7﹣8）|＝（2﹣8）×2|＝8﹣4﹣3+2＝5﹣2．【點評】本題考查了數(shù)軸、平方差公式、整式的化簡等知識點，能靈活運用知識點進行計算是解此題的關鍵．17．（10分）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風旗桿從點C處折斷（1）求旗桿距地面多高處折斷（AC）；（2）工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風險？【分析】（1）設AC長為xm，則BC長（8﹣x）m，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先畫好圖形，再求解AD，B'D，再利用勾股定理可得答案．【解答】（1）解：由題意，知AC+BC＝8m．因為∠A＝90°，設AC長為xm，則BC長（8﹣x）m，則62+x2＝（7﹣x）2，解得x＝3．故旗桿距地面2m處折斷；（2）如圖．因為點D距地面AD＝3﹣1＝3（m），所以B'D＝8﹣2＝2（m），所以，所以距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風險．【點評】本題考查的是勾股定理的實際應用，從實際問題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關鍵．18．（10分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16，D是AC上的一點，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動，設點P的運動時間為t．連接AP．（1）當t＝3秒時，求△BPA的面積；（2）若AP平分∠CAB，求t的值；（3）過點D作DE⊥AP于點E．在點P的運動過程中，當t為何值時，能使DE＝CD？【分析】（1）根據(jù)動點的運動速度和時間先求出BP，再利用三角形的面積計算公式解答；（2）作PM⊥AB于M，利用角平分線的性質(zhì)分別求得BM、PM，再利用勾股定理PB2＝PM2+BM2，解得PC＝4﹣4，最后利用BP＝2t＝16﹣（4﹣4），求得t的值即可；（3）根據(jù)動點運動的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意得BP＝2t，∵t＝3，AC＝4，∴BP＝2×3＝8，∴S△BPA＝BP?AC＝，答：△BPA的面積為24；（2）當線段AP恰好平分∠CAB時，作PM⊥AB于M，∵線段AP平分∠CAB，∠ACB＝90°，∴PC＝PM，AC＝AM＝8，∵AB＝＝3，∴BM＝AB﹣AM＝8﹣8，在Rt△BPM中，PB2＝PM4+BM2，即（16﹣PC）2＝PC4+（8﹣2）2，解得，PC＝4，∴BP＝2t＝16﹣（4﹣4），解得：t＝10﹣2；（3）①點P在線段BC上時，過點D作DE⊥AP于E則∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝2﹣3＝5，∴AE＝8，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣8t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣3t）2＝（20﹣2t）8，解得：t＝5；②點P在線段BC的延長線上時，過點D作DE⊥AP于E同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝3t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝3，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+8t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：83+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；綜上所述，在點P的運動過程中，能使DE＝CD．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關鍵是動點運動到不同位置形成不同的等腰三角形．一.填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19．（4分）化簡﹣（）2的結(jié)果是1．【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x的取值范圍，進而化簡得出答案．【解答】解：∵一定有意義，∴x﹣2≥3，解得：x≥2，∴原式＝x﹣1﹣（x﹣5）＝1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除以及二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出x的取值范圍是解題關鍵．20．（4分）對于有理數(shù)a、b，我們定義新運算a?b＝ax+by，等號右邊是正常運算，y是常數(shù)，若1?2＝1，（﹣3），則2?（﹣5）的值是﹣7．【分析】根據(jù)題意列出關于x，y的方程組，然后解方程組求出x，y的值，然后再代入2x﹣5y中進行計算即可解答．【解答】解：∵1?2＝5，∴x+2y＝1，∵（﹣4）?3＝6，∴﹣2x+3y＝6，∴x﹣y＝﹣8，∴，①﹣②得：3y＝3，解得：y＝7，把y＝1代入①中可得：x+2＝5，解得：x＝﹣1，∴原方程組的解為：，2?（﹣5）＝7x+（﹣5）y＝2x﹣8y＝﹣2﹣5＝﹣6，故答案為：﹣7．【點評】本題考查了解二元一次方程組，有理數(shù)的混合運算，理解題目中的定義新運算是解題的關鍵．21．（4分）如果一個數(shù)表中某一列各數(shù)之和為負數(shù)，那么改變該列中所有數(shù)的符號，稱之為一次“操作”，若經(jīng)過一次“操作”后，使可使新的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負數(shù)1或2．a(chǎn)a2﹣1﹣a﹣a22﹣a1﹣a2a﹣2a2【分析】根據(jù)每一列所有數(shù)之和分別為2，0，﹣2，0，每一行所有數(shù)之和分別為﹣1，1，然后分別根據(jù)如果操作第三列，根據(jù)每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，列出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出答案．【解答】解：∵每一列所有數(shù)之和分別為2，0，﹣8，0，1，則：如果操作第三列，aa6﹣1a﹣a22﹣a1﹣a28﹣aa2第一行之和為2a﹣7，第二行之和為5﹣2a，，解得：≤a≤，又∵a為整數(shù)，∴a＝1或a＝2．故答案為：3或2．【點評】此題考查了一元一次不等式組的應用，關鍵是讀懂題意，根據(jù)題目中的操作要求，列出不等式組，注意a為整數(shù)．22．（4分）如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝2，將△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′處，線段B′E的長為﹣．【分析】作OH⊥A′B′于H，如圖，在Rt△AOB中利用勾股定理可計算出BO＝6，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A′OB′＝∠AOB＝90°，A′B′＝2，OA′＝OA＝2，OB′＝OB＝6，然后利用面積法求出OH＝，在Rt△OHE中，根據(jù)勾股定理計算出HE＝，由于OA′＝OE＝2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得HE＝HA′＝，則可利用B′E＝A′B′﹣HE﹣HA′求解．【解答】解：作OH⊥A′B′于H，如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝2，∴△AOB是直角三角形，在Rt△AOB中，依據(jù)勾股定理得：BO＝＝，∵△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′OB′，∴∠A′OB′＝∠AOB＝90°，A′B′＝2，OB′＝OB＝2，∵OH?A′B′＝，∴OH＝＝，∵點E為BO的中點，∴OE＝3，在Rt△OHE中，HE＝＝，在Rt△OHA′中，HA′＝＝，∴B′E＝A′B′﹣HE﹣HA′＝4﹣﹣＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理．23．（4分）如圖，線段AB的長度為5，點P，且PA＝4，PM＝PB，線段AM長的最大值為4+5．【分析】將△APM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，可知線段AM的長的最大值即為線段BN長的最大值，當點N在線段BA的延長線上時，線段BN的值最大，且此時的最大值為AB+AN的值，由此即可解決問題．【解答】解：如圖，由題意知，PM＝PB，將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，∴PN＝PA＝4，BN＝AM，∵AB＝5，∴線段AM長的最大值＝線段BN長的最大值，∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，∵△APN是等腰直角三角形，∴AN＝AP＝4，∴線段AM長的最大值為5+5，故答案為：8+5．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．正確的作出輔助線是解題的關鍵．二.解答題（本大題共3小題，共30分）24．（8分）已知a＝，b＝．求：（1）a2b﹣ab2的值；（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．【分析】先將a和b進行化簡，然后代入各式中進行求解即可．【解答】解：（1）∵a＝＝3+7，b＝＝6﹣2，∴a8b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝（3+4）（3﹣2﹣3+2）＝5×4＝5．（2）a3﹣6a2﹣6a﹣b+2015＝a（a5﹣5a﹣6）﹣b+2015＝（6+2）（4+8+12﹣6）﹣（3﹣5＝（3+8）（2）+2015＝6﹣12+8﹣8+2015＝2008．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵在于將a和b進行化簡，然后代入各式中進行求解．25．（10分）問題情境：在學習了《勾股定理》和《實數(shù)》后，某班同學們以“已知三角形三邊的長度，求三角形面積”為主題開展了數(shù)學活動材料1．古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年），在他的著作《度量》一書中，給出了求其面積的海倫公式（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．材料2．我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長求面積的秦九韶公式：S＝，其中三角形邊長分別為a，b，c，三角形的面積為S．（1）利用材料1解決下面的問題：當，b＝3，時，求這個三角形的面積？（2）利用材料2解決下面的問題：已知△ABC三條邊的長度分別是，，，記△ABC的周長為C△ABC．①當x＝2時，請直接寫出△ABC中最長邊的長度；②若x為整數(shù)，當C△ABC取得最大值時，請用秦九韶公式求出△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)海倫公式（其中a，b，c為三角形的三邊長，，代入值即可求出三角形的面積；（2）①依據(jù)△ABC三條邊的長度分別是，，，即可得到當x＝2時，△ABC的最長邊的長度；②依據(jù)根式有意義可得﹣1≤x≤4，進而化簡得到△ABC的周長，由于x為整數(shù)，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以從大到小依次驗證，即可得出△ABC的面積．【解答】解：（1）當，b＝3，時，＝＝，∴p﹣a＝﹣＝，p﹣b＝﹣5＝，p﹣c＝