山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二年級(jí)第一學(xué)期九月模塊測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，先將自己的考生號(hào)等信息填寫(xiě)在試卷和答題紙上，并在答題紙規(guī)定位置貼條形碼.2．本試卷滿分150分，分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷為第3頁(yè)至第4頁(yè).3．選擇題的作答：每小題選出答案后，用28鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).4．非選擇題的作答：用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.以下事件是隨機(jī)事件的是（）A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會(huì)沸騰 B.走到十字路口，遇到紅燈C.長(zhǎng)和寬分別為的矩形，其面積為 D.實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的概念判斷即可【詳解】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會(huì)沸騰，是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件；故本選項(xiàng)符合題意；C．長(zhǎng)和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項(xiàng)不符合題意；D．實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件．故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對(duì)立事件為A.至多兩件次品 B.至多一件次品C至多兩件正品 D.至少兩件正品【答案】B【解析】【詳解】試題分析：事件A不包含沒(méi)有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的對(duì)立事件為至多一件次品．故B正確．考點(diǎn)：對(duì)立事件．3.兩名同學(xué)分3本不同的書(shū)，其中一人沒(méi)有分到書(shū)，另一人分得3本書(shū)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列舉出所有的可能事件，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】?jī)擅瑢W(xué)分3本不同的書(shū)，記為，基本事件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8個(gè)，其中一人沒(méi)有分到書(shū)，另一人分到3本書(shū)的基本事件有2個(gè)，∴一人沒(méi)有分到書(shū)，另一人分得3本書(shū)的概率p＝＝.故選:B4.擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由互斥事件的概率可知，從而得解.【詳解】由已知得：，，事件B表示“小于5點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”故事件與事件互斥，故選：C5.直三棱柱中，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量線性運(yùn)算法則即可求解．【詳解】.故選：D．6.已知空間向量，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，在中由余弦定理求解.【詳解】空間向量，，，，則三向量可能構(gòu)成三角形的三邊.如圖，設(shè)，則中，，.故選：D7.端午節(jié)放假，甲回老家過(guò)節(jié)的概率為，乙,丙回老家過(guò)節(jié)的概率分別為.假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的對(duì)立事件是這段時(shí)間沒(méi)有人回老家過(guò)節(jié)，由此能求出這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的概率.【詳解】端午節(jié)放假，甲回老家過(guò)節(jié)的概率為，乙,丙回老家過(guò)節(jié)的概率分別為.假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的對(duì)立事件是這段時(shí)間沒(méi)有人回老家過(guò)節(jié)，這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的概率為：.故選：B.8.在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過(guò)興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問(wèn)題作答，無(wú)關(guān)緊要的問(wèn)題是：“你的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問(wèn)題是：“你服用過(guò)興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問(wèn)題，否則回答第二個(gè)問(wèn)題．由于回答哪一個(gè)問(wèn)題只有被測(cè)試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂(lè)意如實(shí)地回答問(wèn)題．如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回答，則這群人中服用過(guò)興奮劑的百分率大約為（）A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一個(gè)問(wèn)題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用過(guò)興奮劑的人有5人，從而得到答案.【詳解】因?yàn)閽佊矌懦霈F(xiàn)正面朝上的概率為，大約有150人回答第一個(gè)問(wèn)題，又身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，在回答第一個(gè)問(wèn)題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，共有80個(gè)“是”的回答，故回答服用過(guò)興奮劑的人有5人，因此我們估計(jì)這群人中，服用過(guò)興奮劑的百分率大約為3.33%.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在平行六面體中，若所在直線的方向向量為，則所在直線的方向向量可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，所以它們的方向向量共線，利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，即可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由已知可得，故它們的方向向量共線，對(duì)于B選項(xiàng)，，滿足題意；對(duì)于C選項(xiàng)，，滿足題意；由于A、D選項(xiàng)不滿足題意．故選：BC.10.下列各組事件中，是互斥事件的是（）A.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒，合格率高于與合格率為均為互斥事件，而平均分?jǐn)?shù)不低于90分與平均分?jǐn)?shù)不高于90分，當(dāng)平均分為90分時(shí)可同時(shí)發(fā)生，即得解.【詳解】根據(jù)互斥事件的定義，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，對(duì)于A，一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6,為互斥事件；對(duì)于B，統(tǒng)計(jì)一個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)期中考試成績(jī)，平均分?jǐn)?shù)不低于90分與平均分?jǐn)?shù)不高于90分當(dāng)平均分為90分時(shí)可同時(shí)發(fā)生，不為互斥事件；對(duì)于C，播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒,為互斥事件；對(duì)于D，檢查某種產(chǎn)品，合格率高于與合格率,為互斥事件；故選：ACD.11.已知點(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且（，），則，的值可能為（）A.， B.， C.， D.，【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，所以由平面向量基本定理可知：，化簡(jiǎn)得：，顯然有，而，所以有，當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)A不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)B不可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)C可能；當(dāng)，時(shí)，，所以選項(xiàng)D可能，故選：CD第Ⅱ卷（非選擇題）三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.從長(zhǎng)度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是________．【答案】【解析】【詳解】從長(zhǎng)度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條這一事件共有4種，而不能構(gòu)成三角形的情形為2,3,5.所以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是P＝.13.已知事件A，B，C兩兩互斥，且，，，則______．【答案】0.9##【解析】【分析】由互斥事件與對(duì)立事件的相關(guān)公式求解詳解】由題意得，則．故答案為：0.914.在長(zhǎng)方體中，，以D為原點(diǎn)，，，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則______，若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，則P到平面距離為_(kāi)_____．【答案】①.②.##【解析】【分析】第一空，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；第二空，求出平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離即可得解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，則P到平面距離為.故答案為：；.四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知且求（2）已知，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，利用向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由，兩邊平方，展開(kāi)運(yùn)算即可.【詳解】（1）因?yàn)榍?，所?（2）因?yàn)椋瑒t，所以，化簡(jiǎn)得，所以.16.已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽?。访瑢W(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)．（Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）見(jiàn)解析（ii）【解析】【詳解】分析：（Ⅰ）結(jié)合人數(shù)的比值可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由題意列出所有可能的結(jié)果即可，共有21種．（ii）由題意結(jié)合（i）中的結(jié)果和古典概型計(jì)算公式可得事件M發(fā)生的概率為P（M）=．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．（ii）由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=．點(diǎn)睛：本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力．17.甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，采用5局3勝制，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時(shí)比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．（1）求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；（2）求甲獲得這次比賽勝利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再賽2局結(jié)束這次比賽分“第三、四局甲勝”與“第三、四局乙勝”兩類情況，根據(jù)根據(jù)互斥事件的概率和及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求解可得；（2）由題意，甲獲得這次比賽勝利只需后續(xù)比賽中甲先勝兩局即可，根據(jù)互斥事件的概率和及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求解即可.【小問(wèn)1詳解】用表示事件“第局甲勝”，表示事件“第局乙勝”（），設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件，則，由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且事件與事件互斥.所以．故再賽2局結(jié)束這次比賽的概率為.【小問(wèn)2詳解】記“甲獲得這次比賽勝利”為事件，因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲成為勝方當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而，由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且事件，，兩兩互斥，所以.故甲獲得這次比賽勝利的概率為.18.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【詳解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC∩BD＝N，連結(jié)NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.19.在長(zhǎng)方體中，，為線段中點(diǎn)．（1）求直線與直線所成的角的余弦值；（2）在棱上是否存在一