山東省泰安肥城市屆高三下學(xué)期三模試題數(shù)學(xué)

試卷類型:A2024年高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（三）本試卷共19題，滿分150分，共6頁．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，集合，則集合子集的個(gè)數(shù)為A.B.C.D.2.小王夫婦開設(shè)了一家早餐店，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)每天茶葉蛋的銷量（單位：個(gè)），估計(jì)天內(nèi)每天茶葉蛋的銷量約在到個(gè)的天數(shù)大約為（附：若隨機(jī)變量，則，，）A． B． C． D．3.已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為A. B. C. D.4.青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為和，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則的取值范圍是A.B.C.D.5.已知為定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式可以為A.B.C.D.6.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則A． B．在上單調(diào)遞增C．在上的最小值為 D．直線是圖象的一條對稱軸7.設(shè)，，，則A. B.C. D.8．已知圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作的切線.若都經(jīng)過的焦點(diǎn)，則A.B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列結(jié)論正確的是A.回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)點(diǎn)B.已知命題，，則命題的否定為，C.若為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，則D.若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為和10.已知函數(shù)，則A.是上的增函數(shù) B.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)的最小值為－1D.存在唯一個(gè)極值點(diǎn)11.在正方體中，點(diǎn)滿足，，，則A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，正方體的棱長為時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P，使得P到的距離等于P到的距離三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某高中為了了解學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的情況，采用了分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了90人．已知該校高三年級共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生▲人．13.已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，且，，則的離心率為▲.14.已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是▲.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求.16.（15分）如圖，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．OOAEDBCA1(A)BOCDE圖1圖217.（15分）平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)與到直線的距離之比為3.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程;（2）為的左右頂點(diǎn)，過的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，與交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上.18.（17分）為了解學(xué)生中午的用餐方式（在食堂就餐或點(diǎn)外賣）與最近食堂間的距離的關(guān)系，某大學(xué)于某日中午隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生，獲得了下面的頻率分布表（不完整），并且由該頻率分布表，可估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離為（同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.學(xué)生與最近食堂間的距離合計(jì)在食堂就餐0.150.100.000.50點(diǎn)外賣0.200.000.50合計(jì)0.200.150.001.00（1）求出的值并補(bǔ)全頻率分布表；（2）根據(jù)頻率分布表補(bǔ)全樣本容量為的列聯(lián)表（如下表），并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)（當(dāng)學(xué)生與最近食堂間的距離不超過時(shí)，認(rèn)為較近，否則認(rèn)為較遠(yuǎn)）；根據(jù)頻率分布表列出如下的列聯(lián)表：學(xué)生距最近食堂較近學(xué)生距最近食堂較遠(yuǎn)合計(jì)在食堂就餐點(diǎn)外賣合計(jì)（3）一般情況下，學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.該校距李明較近的有甲、乙兩家食堂，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.記他選擇去甲食堂就餐為事件A，他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件D，且D、A均為隨機(jī)事件，證明：.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.82819.（17分）定義：設(shè)和均為定義在上的函數(shù)，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱和為“相伴函數(shù)”.（1）給出兩組函數(shù)，①和；②和，分別判斷這兩組函數(shù)是否為“相伴函數(shù)”；（2）若是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，問是否存在使得和為“相伴函數(shù)”？若存在寫出的一個(gè)值，若不存在說明理由；（3），寫出“和為相伴函數(shù)”的充要條件，證明你的結(jié)論.2024年高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)（三）參考答案及評分意見一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號12345678答案DBADCDBC解析：1.聯(lián)立可得方程組的解為或，所以，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：D.2.由題意可知：，，則，，，則天內(nèi)每天茶葉蛋的銷量約在到個(gè)的天數(shù)大約為．故選：B．3.因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，由得，則，得，設(shè)與的夾角為，則在方向上的投影向量為.故選：A.4.依題意：，兩式相減可得，故，而.故選：D．5.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以是偶函數(shù).對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，所以不滿足題意；對于選項(xiàng)B，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，，不符合題意；對于選項(xiàng)C，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以為偶函數(shù)，符合題意；對于選項(xiàng)D，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，不符合題意；故選：C.6.對于選項(xiàng)A，由題意，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，可得，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，函數(shù)的對稱軸方程為，化簡可得，取，可得，所以是圖象的一條對稱軸，故D正確.故選D.7.由單調(diào)遞減可知：.由單調(diào)遞增可知：，所以，即，且.由單調(diào)遞減可知：，所以.故選：B.8.由題得設(shè)，聯(lián)立圓和拋物線得：，代入點(diǎn)得,又為圓的切線，故，由拋物線得定義可知：，故化簡得：，將點(diǎn)代入圓得：所以，而，故，所以，故選C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。題號91011答案BDBDABD解析：9.對于選項(xiàng)A，回歸直線可以不經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)點(diǎn)，則A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，命題，的否定為“”.所以B正確.對于選項(xiàng)C，為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，則，故C錯(cuò)誤．對于選項(xiàng)D，由題意可知，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，則，所以，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，所以，將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、、、、、、的平均數(shù)為，方差為.故D正確；故選：BD.10.對于選項(xiàng)A，，，當(dāng)時(shí)，則，，即，不是上的增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，從而函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，不是函數(shù)的最小值，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以的符號決定于，顯然是上的增函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，使，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以有唯一極小值點(diǎn).故D正確.故選：BD.11.對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，的軌跡為線段，連接，則.又平面，，∴平面，，同理可得，故平面，平面，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段（為的中點(diǎn)），直線平面，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為線段，將三角形旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)，可知，由余弦定理可得，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為以為圓心，為半徑的四分之一圓弧，由點(diǎn)到的距離等于到的距離，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到的距離，則點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，故存在唯一的點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于到的距離，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.13.14.解析：12.利用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了90人，可得高三年級共有120人，又由高三年級共有720名學(xué)生，則每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為，設(shè)該校共有名學(xué)生，可得，解得人，即該校共有1800名學(xué)生.故答案為：1800.13.連接，設(shè)，則，，，

在中，即，，，，，在中，，即，，，又，.14.∵∴兩邊加上得設(shè)，則在上單調(diào)遞增∴，即令，則∵的定義域是∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取得極大值即為最大值，且，∴，∴即為所求.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）解：（1）∵，即①，當(dāng)時(shí)，②，………………2分①②得，，即，……………4分即，所以，且，…………6分∴是以1為公差的等差數(shù)列，，.即的通項(xiàng)公式為………………7分（2）由（1）知：，∴當(dāng)時(shí)，……………9分又，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，………………11分∴.……13分16.（15分）解：（1）在圖1中，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，，所以．…………2分即在圖2中，，．從而平面．……………4分又∥，所以平面．因?yàn)槠矫?，zAEDBCzAEDBCA1(A)BOCDE圖1Oxy（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，．所以為二面角的平面角，所以．……8分如圖，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，………………9分設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，，，．得，?……11分設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取.…………………12分同理：，得，取.……………13分從而，…………14分即平面與平面夾角的余弦值為．………15分17.（15分）解：（1）設(shè)，由題意可得，…………3分整理得:，所以軌跡的方程為.…………………5分（2）由（1）知，由題可設(shè)直線，.聯(lián)立得：，易知.…………7分所以①又，，……9分兩式相除得:②…11分由①式可得，…………………13分帶入②式，得，所以點(diǎn)在定直線上.…………………15分18.（17分）解：（1）組的頻率為，估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離，解得，……………………3分故可補(bǔ)全頻率分布表如下：學(xué)生與最近食堂間的距離合計(jì)在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50點(diǎn)外賣0.050.200.150.100.000.50合計(jì)0.200.400.250.150.001.00……………………7分（2）結(jié)合樣本容量為的頻率分布表可列出列聯(lián)表如下：學(xué)生距最近食堂較近學(xué)生距最近食較堂遠(yuǎn)合計(jì)在食堂就餐7003001000點(diǎn)外賣5005001000合計(jì)12008002000……………………9分零假設(shè)：學(xué)生中午的用餐情況與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近無關(guān).注意到.…………11分根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即可以認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式