第十一章第一節(jié)排列與組合

第一節(jié)排列與組合【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念;能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合;排列與組合的應(yīng)用是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算【必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識梳理·歸納】1.計(jì)數(shù)原理(1)完成一件事,如果有n類方案,且第1類方案中有m1種不同的方法,第2類方案中有m2種不同的方法……第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=__m1+m2+…+mn__種不同的方法.

(2)完成一件事,如果需要分成n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=__m1×m2×…×mn__種不同的方法.

2.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照__一定的順序__排成一列

組合作為一組3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有__不同排列__的個(gè)數(shù),用符號表示.

(2)組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有__不同組合__的個(gè)數(shù),用符號表示.

4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式Anm=__n(n1)(n2)…(nm+1)__=Cnm=AnmAmm性質(zhì)0!=__1__,Ann=__n!,

Cn+1m=【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號12341.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的是 ()A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事B.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,只有各步驟都完成后,這件事情才算完成C.Cnm=n(n1)(n2)…(nD.Anm=n(n1)(n2)…(n【解析】選AB.由兩個(gè)計(jì)數(shù)原理可知,選項(xiàng)A,B正確;由組合數(shù)、排列數(shù)公式可知,選項(xiàng)C和D都錯(cuò)誤.2.(選修第三冊P27T13改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng),則男、女同學(xué)都有的選法種數(shù)是 ()A.18 B.24 C.30 D.36【解析】選C.選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的選法有C42C31=18(種),選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的選法有C41C32=12(種),3.(忽視隱含條件)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,私家車成為居民的標(biāo)配.某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化,在小區(qū)建設(shè)過程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車位.現(xiàn)有3位私家車車主要使用這些備用車位.現(xiàn)規(guī)定3位私家車車主隨機(jī)停車,任意兩輛車都不相鄰,則共有不同停車種數(shù)為 ()A.144 B.24 C.72 D.60【解析】選D.由題可知7個(gè)車位停3輛車,則會產(chǎn)生4個(gè)空位,故可先擺好4個(gè)空車位,4個(gè)空車位會產(chǎn)生5個(gè)空隙可供3輛車選擇停車.因此,任意兩輛車都不相鄰的停車種數(shù)共有A534.(2023·新高考Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有 ()A.C40045·C20015種 B.C.C40030·C20030種 D.【解析】選D.根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60×400600=40人,高中部共抽取60×200600=20人,根據(jù)組合數(shù)公式和分步乘法計(jì)數(shù)原理,則不同的抽樣結(jié)果共有C40040【巧記結(jié)論·速算】若Cnx=Cny,則x=y或x【即時(shí)練】若C20x=C202x-7A.7 B.12 C.9 D.7或9【解析】選D.因?yàn)镃20x=C202x-7,所以x=2x7或x+2x7=20,【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用[例1](1)(2023·濟(jì)寧模擬)某省新高考采用“3+1+2”模式:“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語,所有學(xué)生必考;“1”為首選科目,考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目;“2”為再選科目,考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目.已知小明同學(xué)必選化學(xué),那么他可選擇的方案共有 ()A.4種 B.6種 C.8種 D.12種【解析】選B.根據(jù)題意得,分兩步進(jìn)行分析:①小明必選化學(xué),則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目,選法有3種;②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè),選法有2種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,小明可選擇的方案共有3×2=6(種).(2)如圖所示,在由正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).

【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類:第一類,有一條公共邊的三角形,共有8×4=32(個(gè));第二類,有兩條公共邊的三角形,共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,共有32+8=40(個(gè)).答案:40【解題技法】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無從下手時(shí),可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才算完成這件事.(2)分類時(shí),標(biāo)準(zhǔn)要明確,做到不重不漏,有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖.(3)對于復(fù)雜問題,一般是先分類再分步.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.由于用具簡單、趣味性強(qiáng),象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示,若不考慮這部分以外棋子的影響,且“馬”和“炮”不動(dòng),“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線,其中也能把“炮”吃掉的可能路線有 ()A.10條 B.8條 C.6條 D.4條【解析】選C.由題意可知,“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步,豎走兩步;其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步:第一步,橫走兩步,豎走一步,有3種走法;第二步,橫走一步,豎走一步,有2種走法.所以所求路線共有3×2=6(條).2.(2023·南平質(zhì)檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車,車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5,為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行),五人商議拼車出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車,但甲的車最多只能用一天,則不同的用車方案種數(shù)為________.

【解析】5日至9日,日期分別為5,6,7,8,9,有3天是奇數(shù)日,2天是偶數(shù)日.第一步,安排偶數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有2×2=4(種)用車方案;第二步,安排奇數(shù)日出行,分兩類,第一類,選1天安排甲的車,另外2天安排其他車,有3×2×2=12(種)用車方案,第二類,不安排甲的車,每天都有2種選擇,共有23=8(種)用車方案,共計(jì)12+8=20(種)用車方案.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,不同的用車方案種數(shù)為4×20=80.答案:80【加練備選】1.有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺、2個(gè)不同的球,若從中取出2個(gè)幾何體,使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè),則不同的取法種數(shù)是 ()A.14 B.23 C.48 D.120【解析】選C.分兩步:第1步,取多面體,有5+3=8(種)不同的取法;第2步,取旋轉(zhuǎn)體,有4+2=6(種)不同的取法.所以不同的取法種數(shù)是8×6=48.2.(2023·宿州模擬)如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)為()A.12 B.24 C.36 D.48【解析】選C.第1類,對于每一條棱,都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有2×12=24(個(gè));第2類,對于每一條面對角線,都可以與一個(gè)對角面構(gòu)成“正交線面對”,這樣的“正交線面對”有12個(gè).所以正方體中“正交線面對”共有24+12=36(個(gè)).考點(diǎn)二排列與組合的簡單應(yīng)用角度1排列問題[例2](2023·泉州模擬)將0,1,2,3,10任意排成一行,可以組成________個(gè)不同的6位數(shù).(用數(shù)字作答)

【解析】將0,1,2,3,10任意排成一行,且數(shù)字0不在首位,則有4A44=96種,數(shù)字1和0相鄰且1在0之前的排法有A44=24種,故所求滿足題意的6位數(shù)有9624答案:84【解題技法】對于有限制條件排列問題的解題策略(1)分析問題時(shí),有位置分析法、元素分析法;(2)在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí),先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法.【對點(diǎn)訓(xùn)練】8人站成前后兩排,每排4人,其中甲、乙兩人必須在前排,丙在后排,則共有________種排法.

【解析】先排甲、乙,有A42種排法,再排丙,有A41種排法,其余5人有A55種排法,答案:5760【加練備選】現(xiàn)有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字,可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)?【解析】當(dāng)組成的數(shù)是一位數(shù)時(shí),一位偶數(shù)有C31=3當(dāng)組成的數(shù)是兩位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A51=5個(gè),末位是2或4時(shí),有C21A41當(dāng)組成的數(shù)是三位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A52=20個(gè),末位是2或4時(shí),有C21C41當(dāng)組成的數(shù)是四位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A53=60個(gè),末位是2或4時(shí),有C21C41當(dāng)組成的數(shù)是五位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A54=120個(gè),末位是2或4時(shí),有C21C41當(dāng)組成的數(shù)是六位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A55=120個(gè),末位是2或4時(shí),有C21C41綜上,組成的沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為3+13+52+156+312+312=848.角度2組合問題[例3](2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答).

【解析】若選修2門課,則需要從體育類和藝術(shù)類中各選擇1門,共有C41C41=16種;若選修3門課,則分為兩種情況,2門體育類1門藝術(shù)類或2門藝術(shù)類1門體育類,共有2C42答案:64【解題技法】組合問題兩類題型的解題策略(1)“含有”或“不含有”問題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“最多”問題:用直接法和間接法都可以求解;通常用直接法,分類復(fù)雜時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·茂名模擬)將4個(gè)6和2個(gè)8隨機(jī)排成一行,則2個(gè)8不相鄰的情況有 ()A.480種 B.240種 C.15種 D.10種【解析】選D.將2個(gè)8插空放入不相鄰的5個(gè)空位(4個(gè)6之間及首尾有5個(gè)空位)中有C52=10種方法,故2個(gè)8不相鄰的情況有102.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍,每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生,那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.40【解析】選B.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍,每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生,那么必然是一個(gè)宿舍2名,而另一個(gè)宿舍3名,共有C53C2【加練備選】如圖是由6個(gè)正方形拼成的矩形圖案,從圖中的12個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作為一組.其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為 ()A.208 B.204 C.200 D.196【解析】選C.任取的3個(gè)頂點(diǎn)不能構(gòu)成三角形的情形有3種:一是3條橫線上的4個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為3C43;二是4條豎線上的3個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為4C33;三是4條對角線上的3個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為4C33,所以可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為C考點(diǎn)三排列與組合的綜合問題角度1相鄰與不相鄰問題[例4](多選題)有3名男生,4名女生,在下列不同條件下,正確的是 ()A.全體站成一排,女生必須站在一起有144種排法B.全體站成一排,男生互不相鄰有1440種排法C.任選其中3人相互調(diào)整座位,其余4人座位不變,則不同的調(diào)整方案有70種D.全體站成一排,甲不站排頭,乙不站排尾有3720種排法【解析】選BCD.對于A,將女生看成一個(gè)整體,考慮女生之間的順序,有A44種排法,再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列,有A44種排法,故共有A44·A44=576(對于B,先排女生,將4名女生全排列,有A44種排法,再排男生,由于男生互不相鄰,可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生,有A53種排法,故共有A44·A53=1440(對于C,任選其中3人相互調(diào)整座位,其余4人座位不變,則不同的調(diào)整方案有C73×2×1=70(種),故C對于D,若甲站在排尾,則有A66種排法,若甲不站在排尾,則有A51A51A55種排法,故共有A6【解題技法】1.相鄰問題的求解策略把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列(捆綁法).2.不相鄰問題的求解策略對于不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面已經(jīng)排列元素的空檔中(插空法).【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·蘇州模擬)三個(gè)家庭的3位母親帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一條小溪時(shí),為了安全起見,他們排隊(duì)前進(jìn),三位母親互不相鄰照顧孩子;3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面;為了防止2名男孩打鬧,2人不相鄰,且不排最前面也不排最后面.則不同的排法共有 ()A.144種 B.216種 C.288種 D.432種【解析】選C.第一步:先將3位母親全排列,共有A33第二步:將3名女孩“捆綁”在一起,共有A33第三步:將“捆綁”在一起的3名女孩作為一個(gè)元素,在第一步形成的2個(gè)空中選擇1個(gè)插入,有A21第四步:首先將2名男孩之中的一人,插入第三步后相鄰的兩位母親中間,然后將另一個(gè)男孩插入由女孩與母親形成的2個(gè)空中的其中1個(gè),共有C21所以不同的排法共有A33A32.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有 ()A.1440種 B.960種 C.720種 D.480種【解析】選B.先將5名志愿者排好,有A55種排法,2位老人只能排在5名志愿者之間的4個(gè)空隙中,先將2位老人排好,有A22種排法,再把他們作為一個(gè)元素插入空隙中,有4種插法.所以共有不同的排法4A【加練備選】某次聯(lián)歡會要安排3個(gè)歌舞節(jié)目,2個(gè)小品節(jié)目和1個(gè)相聲節(jié)目的演出順序,同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是 ()A.72 B.120 C.144 D.168【解析】選B.先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目,然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種:“小品,小品,相聲”“小品,相聲,小品”和“相聲,小品,小品”.對于第一種情況,形式為“□、小品、歌舞、小品、□、相聲、□”,有A22C31A32=36(種)安排方法;同理,第三種情況也有36種安排方法;對于第二種情況,三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空,其形式為“□、小品、□、相聲、□、小品、□”,有A22A角度2定序問題[例5]有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,將7名學(xué)生排成一行,要求從左到右,女生從矮到高排列(不一定相鄰),不同的排法共有________種.

【解析】7名學(xué)生的排列共有A77種,其中女生的排列共有A33種,按照從左到右,女生從矮到高的排列只是其中的一種,故有A77A答案:840【解題技法】定序問題的求解策略對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.【對點(diǎn)訓(xùn)練】某學(xué)校舉行校慶文藝晚會,已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目,為了活躍現(xiàn)場氣氛,主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲,并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單,且不改變原來的節(jié)目順序,則不同的安排方式有________種.

【解析】原先七個(gè)節(jié)目的不同安排方法共有A77種,添加三個(gè)節(jié)目后,節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目,先將這十個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列,不同的排列方法有A1010種,而原先七個(gè)節(jié)目的順序一定,故不同的安排方式共有A答案:7