中考數(shù)學(xué)考試考點(diǎn)解密探索性問(wèn)題(含解析)

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解密探索性問(wèn)題

I、綜合問(wèn)題精講：

探索性問(wèn)題是指命題中缺少一定地條件或無(wú)明確地結(jié)論，需要經(jīng)過(guò)推斷，補(bǔ)充并加以證

明地題型.探索性問(wèn)題一般有三種類型：(1)條件探索型問(wèn)題；(2)結(jié)論探索型問(wèn)題；(3)

探索存在型問(wèn)題.條件探索型問(wèn)題是指所給問(wèn)題中結(jié)論明確，需要完備條件地題目；結(jié)論探

索型問(wèn)題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特

例，要通過(guò)歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問(wèn)題是指在一定地前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)

學(xué)關(guān)系是否存在地題目.

探索型問(wèn)題具有較強(qiáng)地綜合性，因而解決此類問(wèn)題用到了所學(xué)過(guò)地整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí).經(jīng)常

用到地知識(shí)是：一元一次方程、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式地求法(圖象

及其性質(zhì))、直角三角形地性質(zhì)、四邊形(特殊)地性質(zhì)、相似三角形、解直

角三角形等.其中用幾何圖形地某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例等來(lái)

構(gòu)造方程是解決問(wèn)題地主要手段和途徑.因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識(shí)地復(fù)習(xí)，又要加強(qiáng)變

式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法地研究，切實(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題地能力.

II、典型例題剖析

【例1】如圖2—6—1,已知拋物線地頂點(diǎn)為A(0,I),矩形CDEF地頂點(diǎn)C、F在拋

物線上，D、E在X軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8.

(1)求此拋物線地解析式：

1A

(2)如圖2—6—2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A地一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交拋物DO|E

圖2-6-1

線于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)P、Q分別作X軸地垂線，垂足分別為S、R.

①求證：PB=PS；

②判斷ASBR地形狀；

③試探索在線段SR上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)地三角形和以點(diǎn)Q、R、

M為頂點(diǎn)地三角形相似，若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)地位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)解：方法一：YB點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),???OB=2,

V矩形CDEF面積為8,JCF=4.

???C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2).F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).

設(shè)拋物線地解析式為y=ax1+bx^c.

其過(guò)三點(diǎn)A(0,1),C(-2.2),F(2,2).

\=x

得,2=4a—2Z?+c解得。=',〃=O,c=l

4

2=4。+2b+c

???此拋物線地解析式為y=+i

方法二：???B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),Z.OB=2,

V矩形CDEF面積為8,???CF=4.

???C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,2).

根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為y=奴?+'.

其過(guò)點(diǎn)A(0,1)和C(22)

解得

2=4。+c4

此拋物線解析式為)，=；/+】

4

⑵解：

①過(guò)點(diǎn)B作BN_LBS,垂足為N.

VP點(diǎn)在拋物線y=；/+l上.可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(〃」/+[).???PS=%+1,OB=NS=2,BN

4

=〃.???PN=PS—NS=L/T在RiaPNB中.

4

22

pg2=PN?+BN?=(("-\)+a=(；/+l)2

12.

???PB=PS=wa+1

②根據(jù)①同理可知BQ=QR.

???N1=N2,

又???N1=N3,

???Z2=Z3,

同理NSBP=NB

???2Z5+2Z3=180°

???Z5+Z3=90°???/SBR=90。.

...△SBR為直角三角形.

③方法一：設(shè)PS=b,QR=c，

???由①知PS=PB=b.QR=QB=c，PQ=b+c.-'-SR2=(b+c)2-(b-c)2

，SR=2癡.假設(shè)存在點(diǎn)M.且MS=X,別MR=2瘋-x.若使△PSMsaMRQ,

2

則有2=2底t.即x-2y/bcx+bc=0

Xc

***x,=x,=4bc?**?SR=2yfbc

AM為SR地中點(diǎn).若使△PSMSAQRM,

mebc.2by[hc

則有一二一7=——...x=-------.

X2>Jbc-xb+c

.MR2y[bc-x_2yfbc.c_Q8RO

??詬—-x~~2b4bc~~~b~~BP~~OS'

b+c

.??M點(diǎn)即為原點(diǎn)O.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR地中點(diǎn)時(shí).APSMSAMRQ：當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，APSMs

AMRQ.

方法二：若以P、S、M為頂點(diǎn)池三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)三角形相似，

,?*NPSM=4MRQ=90。，

，有APSMsAMRQ和APSMSAQRM兩種情況.

當(dāng)△PSMs^MRQ時(shí).ZSPM=ZRMQ,ZSMP=ZRQM.

由直角三角形兩銳角互余性質(zhì).知NPMS+NQMR=90°.???NPMQ=90。.

取PQ中點(diǎn)為N.連結(jié)MN.則MN=/PQ=_L3+ps)?

???MN為直角梯形SRQP地中位線，

，點(diǎn)M為SR地中點(diǎn)當(dāng)△PSMS^QRM時(shí)，

絲二絲二坐又也二股，即M點(diǎn)與O點(diǎn)重合.，點(diǎn)M為原點(diǎn)O.

MSPSBPMSOS

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR地中點(diǎn)時(shí)，APSMsaMRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，APSM

（^AQRM.

點(diǎn)撥：通過(guò)對(duì)圖形地觀察可以看出C、F是一對(duì)關(guān)于y軸地對(duì)稱點(diǎn)，所以（1）地關(guān)鍵是求出其

中一個(gè)點(diǎn)地坐標(biāo)就可以應(yīng)用三點(diǎn)式或y=ax2+c型即可.而對(duì)于點(diǎn)P既然在拋物線上，所以

就可以得到它地坐標(biāo)為（a,1a24-l）.這樣再過(guò)點(diǎn)B作BN1PS.得出地幾何圖形求出PB、

PS地大小.最后一問(wèn)地關(guān)鍵是要找出APSM與ANIRQ相似地條件.

【例2】探究規(guī)律：如圖2—6—4所示，已知：直線m〃n,A、B為直線n上兩點(diǎn)，C、P為

直線m上兩點(diǎn).

（1）請(qǐng)寫出圖2—6—4中，面積相等地各對(duì)三角形；

（2）如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在m上移動(dòng)，那么，無(wú)論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，總有

與△ABC地面積相等.理由是：.

解決問(wèn)題：如圖2—6—5所示，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包地一塊土地地示意圖，

經(jīng)過(guò)多年開(kāi)墾荒地，現(xiàn)已變成如圖2-6-6所示地形狀，但承包土地與開(kāi)墾荒地地分界小

路（2—6—6中折線CDE）還保留著；張大爺想過(guò)E點(diǎn)修一條直路，直路修好后,要保持

直路左邊地土地面積與承包時(shí)地一樣多，右邊地土地面積與開(kāi)墾地荒地面積一樣多.請(qǐng)你

用有關(guān)地幾何知識(shí)，按張大爺?shù)匾笤O(shè)計(jì)山修路方案（不計(jì)分界小路與直路地占地面積）.

（1）寫出設(shè)計(jì)方案.并畫出相應(yīng)地圖形；

（2）說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由.

解：探究規(guī)律：（1）Z\ABC和△ABP,BOPs4CPA和aCPB.

（2）AABP：因?yàn)槠叫芯€間地距離相等，所以無(wú)論點(diǎn)P在m上移動(dòng)到任何位置，總有4ABP

與aABC同底等高，因此，它們地面積總相等.

解決問(wèn)題：(1)畫法如圖2—6—7所示.

連接EC,過(guò)點(diǎn)D作DF〃EC,交CM于點(diǎn)F,連接EF,EF即為所求直路位置.

⑵設(shè)EF交CD于點(diǎn)H,由上面得到地結(jié)論可知：

SAECF=SAECD?SAHCF=SAEDH?所以S五邊形ABCDE=S五邊杉ABCFE，S五邊形EDCMN=S四邊形EFMN?

點(diǎn)撥：本題是探索規(guī)律題，因此在做題時(shí)要從前邊問(wèn)題中總結(jié)出規(guī)律，后邊地問(wèn)題要用前邊

地結(jié)論去一做，所以要連接EC,過(guò)D作DF〃EC,再運(yùn)用同底等高地三角形地面積相等.

【例3】如圖2—6—8所示，已知拋物線地頂點(diǎn)為M(2,-4),且過(guò)點(diǎn)A(—l,5),連結(jié)AM

交x軸于點(diǎn)B.

⑴求這條拋物線地解析式；

⑵求點(diǎn)B地坐標(biāo)；

⑶設(shè)點(diǎn)P(x,y)是拋物線在x軸下方、頂點(diǎn)M左方一段上地動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PO,以P

為頂點(diǎn)、PQ為腰地等腰三角形地另一頂點(diǎn)Q在x軸上，過(guò)Q作x軸地垂線交直線AM于

點(diǎn)R,連結(jié)PR.設(shè)面PQR地面積為S.求S與x之間地函數(shù)解析式；

圖2-6-8

⑷在上述動(dòng)點(diǎn)P(x,y)中，是否存在使S,、PQR=2地點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)P地坐標(biāo)；若

不存在，說(shuō)明理由.

解：(1)因?yàn)閽佄锞€地頂點(diǎn)為M(2,-4)

所以可設(shè)拋物線地解析式為y=(x-2)2—4.

因?yàn)檫@條拋物線過(guò)點(diǎn)A(-1,5)

所以5二a(T-2>—4.解得a=L

所以所求拋物線地解析式為y=(x-2)2-4

(2)設(shè)直線AM地解析式為y=kx+b.

因?yàn)锳(-1,5),M(2,-4)

所以卜，

[2k+b=-4

解得k=-3,b=2.

所以直線AM地解析式為y=3x+2.

22

當(dāng)y=0時(shí)，得x=手，即AM與x軸地交點(diǎn)B(手,0)

(3)顯然，拋物線y=x?-4x過(guò)原點(diǎn)(0,0)

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)使aPOQ是以P為頂點(diǎn)、PO為腰且另一頂點(diǎn)Q在x軸上地等腰三角形時(shí),

由對(duì)稱性有點(diǎn)Q(2x,0)

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在x軸下方、頂點(diǎn)M左方，所以0VxV2.

21

因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)Q與B,0)重合時(shí)，APaR不存在，所以

所以動(dòng)點(diǎn)P(x,y)應(yīng)滿足條件為0VxV2且xX；,

因?yàn)镼R與x軸垂直且與直線AM交于點(diǎn)R,

所以R點(diǎn)地坐標(biāo)為(2x,—6x+2)

如圖2—6—9所示，作PH1OR于H,

則PH=|XQ—XPH2X-X1=X,QR=\-6X+2\

而S=△PQR地面積gQR-PH=||-6x+2|x

下面分兩種情形討論：

①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B左方時(shí)，即OVxvg時(shí)，

當(dāng)R在x軸上方，所以一6x+2>0.

所以S=^(—6x+2)x=-3X2+X；

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B右方時(shí)，即:VxV2時(shí)

點(diǎn)R在x軸下方，所以一6x+2V0.

所以S—[―(—6x+2)]x=3x2—x；

即S與x之間地函數(shù)解析式可表示為

-3x2+A:(0<x<-)

S=

3x2-A(1<X<2)

(4)當(dāng)S=2時(shí),應(yīng)有一3x?+x=2,即3X2-X+2=0,

顯然△<(),此方程無(wú)解.或有3x?—x=2,即3x?—x—2=0,解得xi=l,x?=一4

當(dāng)x=l時(shí)，y=X2-4X=-3,即拋物線上地點(diǎn)P(1,-3)可使SSPQR=2；

當(dāng)x二-5V0時(shí)，不符合條件，應(yīng)舍去.

所以存在動(dòng)點(diǎn)P，使S、PQR=2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一3)

點(diǎn)撥：此題是一道綜合性較強(qiáng)地探究性問(wèn)題，對(duì)于第(1)問(wèn)我們可以采用頂點(diǎn)式求得

此拋物線，而（2）中地點(diǎn)B是直線AM與x軸地交點(diǎn)，所以只要利用待定系數(shù)法就可以求

出直線AM,從而得出與x軸地交點(diǎn)B.（3）問(wèn)中注意地是Q點(diǎn)所處位置地不同得出地S與x

之間地關(guān)系也隨之發(fā)生變化.（4）可以先假設(shè)存在從而得出結(jié)論.

DI、綜合鞏固練習(xí)：（100分90分鐘）

1.觀察圖2—6—10中⑴）至⑸中小黑點(diǎn)地?cái)[放規(guī)律，并按照這樣地規(guī)律繼續(xù)擺放.記第n個(gè)

圖小黑點(diǎn)地個(gè)數(shù)為y.解答下列問(wèn)題：￡..........

(1)(2)(3)(4)(5)

圖2-6-10

⑴填下表:

n12345???012345n

圖2-6-11

y13713???

（2）當(dāng)n=8時(shí)，y=；

⑶根據(jù)上表中地?cái)?shù)據(jù)，把n作為橫坐標(biāo)，把y作為縱坐標(biāo)，在圖2—6—11地平面直角坐標(biāo)系

中描出相應(yīng)地各點(diǎn)（n,y）,其中l(wèi)WnW5；

⑷請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一函數(shù)地圖象上嗎？

如果在某一函數(shù)地圖象上，請(qǐng)寫出該函數(shù)地解析式.

2.(5分)圖2—6—12是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成地小房子.觀察圖形地變化規(guī)律，寫出

第n個(gè)小房子用了塊石子.

圖2-6-12圖2-6-13

3.(10分)已知RtaABC中，AC=5,BC=12,ZACB=90°,P是AB邊上地動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、

B不重合)，Q是BC邊上地動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合).

⑴如圖2—6—13所示，當(dāng)PQ〃AC,且Q為BC地中點(diǎn)時(shí)，求線段CP地長(zhǎng)；

⑵當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，4CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請(qǐng)求出線段CQ地長(zhǎng)地取

值范圍，若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖2—6—14所示，在直角坐標(biāo)系中，以A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-

I,1)為頂點(diǎn)地正方形，設(shè)正方形在直線：y=x及動(dòng)直線4：y=-x+2a(-Ka<l)上方

部分地面積為S(例如當(dāng)a取某個(gè)值時(shí)，S為圖中陰影部分地面積)，試分別求出當(dāng)a=0,

a=-l時(shí)，相應(yīng)地S地值.

圖2-6-14

5.（10分）如圖2—6—15所示，DE是AABC地中位線，NB=90°,AF〃BC.在射線AF

上是否存在點(diǎn)M,使AMEC與AADE相似？若存在，請(qǐng)先確定點(diǎn)M,再證明這兩個(gè)三角

形相似；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.如圖2—6—16所示，在正方形ABCD中，AB=1,AC是以點(diǎn)B為圓心.AB長(zhǎng)為半徑地

圓地一段弧點(diǎn)E是邊AD上地任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作AC所在圓地

切線，交邊DC于點(diǎn)F石為切點(diǎn).

⑴當(dāng)NDEF=45°時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF地中點(diǎn)；

⑵設(shè)AE=x,FC=y,求y關(guān)于x地函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)地定義域；

⑶圖2—6—17所示，將4DEF沿直線EF翻折后得^D1EF,當(dāng)EF=1時(shí)，討論AADQ與4

EDF是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明：如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由.

（圖2—6—18為備用圖）

圖2-6-16圖2-6-17圖2-6-18

7.(10分)取一張矩形地紙進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：

第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN,如圖2-6-19(1)所示;

第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE,點(diǎn)B在MN上地對(duì)應(yīng)點(diǎn)B',得RlZXAB'

E?如圖2—6—19(2)所示；

第三步：沿EB'線折置得折痕EF,如圖2—6—19⑶所示；利用展開(kāi)圖2-6-19(4)所示

探究：

(1)4AEF是什么三角形？證明你地結(jié)論.

(2)對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.(10分)某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)地問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重

要結(jié)論.一是發(fā)現(xiàn)拋物線產(chǎn)ax2+2x+3(aW0),當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它地頂點(diǎn)都在某條直線上;

二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y=ax2+2x+3(aH0)地頂點(diǎn)地橫坐標(biāo)減少：，縱坐標(biāo)

增加;，得到A點(diǎn)地坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)地橫坐標(biāo)增加:，縱坐標(biāo)增加;，得到B點(diǎn)地坐標(biāo)，

則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y=ax2+2x+3(a^0)±.

⑴請(qǐng)你協(xié)助探求出實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3(aW0)地頂點(diǎn)所在直線地解析式；

⑵問(wèn)題⑴中地直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線地頂點(diǎn)，你能找出它來(lái)嗎？并說(shuō)明理由；

⑶在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)地啟發(fā)下，運(yùn)用“一般一特殊一一般”地思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將你地猜想表述出來(lái)嗎？你地猜想能成立嗎？若能成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.己知二次函數(shù)地圖象過(guò)A(—3,0),B(1,0)兩點(diǎn).

⑴當(dāng)這個(gè)二次函數(shù)地圖象又過(guò)點(diǎn)以0,3)時(shí)，求其解析式；

⑵設(shè)⑴中所求M次函數(shù)圖象地頂點(diǎn)為P,求S,、APC：S\ABC地值：

⑶如果二次函數(shù)圖象地頂點(diǎn)M在對(duì)稱軸上移動(dòng)，并與y軸交于點(diǎn)D,SAAMD：SAABD地值確定

嗎？為什么？

10.（13分）如圖2—6—20所示，在RtAABCZACB=90°,BC地垂直平分線DE,

交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且AF=CE.

⑴求證：四邊形ACEF是平行四邊形;

⑵當(dāng)/B地大小滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并證明你地結(jié)論;

⑶四邊形ACEF有可能是正方形嗎？為什么？

圖2-6-20

?知識(shí)講解

1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)地關(guān)系

一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切地關(guān)系，函數(shù)

y=ax+b（a#0,a,b為常數(shù)）中，函數(shù)地值等于0時(shí)自變量x地值就是一元一次方

程ax+?b=O（a#0）地解，所對(duì)應(yīng)地坐標(biāo)（一2,。）是直線y=ax+b與x軸地交點(diǎn)

a

坐標(biāo)，反過(guò)來(lái)也成立；?直線y=ax+b在x軸地上方，也就是函數(shù)地值大于零，x

地值是不等式ax+b>0（a#））地解；在x軸地下方也就是函數(shù)地值小于零，x地值

是不等式ax+b〈O（a/））地解.

2.坐標(biāo)軸地函數(shù)表達(dá)式

函數(shù)關(guān)系式x=0地圖像是y軸，反之，y軸可以用函數(shù)關(guān)系式x=0表示；?函

數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=0地圖像是x軸，反之，x軸可以用函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=0表示.

3.一次函數(shù)與二元一次方程組地關(guān)系

一般地，每個(gè)二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)，于是也就是對(duì)應(yīng)著兩

條直線，從“數(shù)”地角度看，解方程相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)地值相等，

以及這兩函數(shù)值是何值；從形地角度考慮，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線地交點(diǎn)

坐標(biāo)，所以一次函數(shù)及其圖像與二元一次方程組有著密切地聯(lián)系.

4.兩條直線地位置關(guān)系與二元一次方程組地解

（1）二元一次方程組〉；:有唯一地解。直線y=bx+bi不平行于直線

y=k2x+b2

y-k2x+bz<=>ki/k2.

（2）二元一次方程組無(wú)解"直線y=％x+b”直線

y=k2x+b2

y=k2X+b2<=>ki=kz>bi/bz.

（3）二元一次方程組11：有無(wú)數(shù)多個(gè)解o直線y=kix+bi與y=kzx+b2

y=k2x+b2

重合Oki=k2,bi=b2.

?例題解析

例1（長(zhǎng)河市）我市某鄉(xiāng)A,B兩村盛產(chǎn)柑橘，A?村有柑橘2003?B?村有

柑橘30（）1.現(xiàn)將這些柑橘運(yùn)到C,D兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，?已知C-倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240t,?D?

倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260t；從A村運(yùn)往C,D兩處地費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B

村運(yùn)往C,D兩處地費(fèi)用分別為每噸15元和18元，設(shè)從A村運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)地柑橘

重量為xl,A,B?兩村運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)地柑橘運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元.

（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并求出yB,yA與x之間地函數(shù)關(guān)系式;

CD總

計(jì)

Axt200

t

B300

t

總240t260t500

計(jì)t

（2）試討論A,B兩村中，哪個(gè)村地運(yùn)費(fèi)較少；

（3）考慮到B村地經(jīng)濟(jì)承受能力，B村地柑橘運(yùn)費(fèi)不得超過(guò)480元.在這種

情況下，?請(qǐng)問(wèn)怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最小？求出這個(gè)最小值.

【分析】（1）根據(jù)運(yùn)輸?shù)貒崝?shù)及運(yùn)費(fèi)單價(jià)可寫出y,y與x之間地函數(shù)關(guān)系.

（2）欲比較yA與yB地大小，應(yīng)先討論yA=yB地大小，應(yīng)先討論yA=yB或yA>yB

或yA<yR時(shí)求出x地取值范圍.

（3）根據(jù)已知條件求出x地取值范圍.根據(jù)一次函數(shù)地性質(zhì)可知在此范圍內(nèi)，

兩村運(yùn)費(fèi)之和是如何變化地，進(jìn)而可求出相應(yīng)地值.

【解答】（1）

CD總

計(jì)

Axt(200-x)200

tt

B(240-x)(60+x)t300

tt

總240t260t500

計(jì)t

yA=_5x+5000(0<x<200).yB=3x+4680(0<x<200).

(2)當(dāng)yA=yu時(shí)，—5x+5000=3x+4680,x=40；

當(dāng)yA>yB時(shí)，-5x+5OOO>3x+468O,x<40；

當(dāng)yA<yB時(shí)，-5x+5OOO<3x+468O,x>40.

???當(dāng)x=40時(shí)，yA二yB即兩村運(yùn)費(fèi)相等；當(dāng)gx<40時(shí)，yA>yB即B村運(yùn)費(fèi)較少;

當(dāng)40<x<200時(shí)，yA<yB即A村費(fèi)用較少.

(3)由yB*830得3x+4580*830.

/.x<50.

設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為y,，y=yA+yB,

即：y=-2x+9680.

XV0<x<50,y隨x增大而減小，

???當(dāng)x=50時(shí)，y有最小值，y喊小價(jià)=9580(元).

答：當(dāng)A村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)地柑橘重為503調(diào)運(yùn)D倉(cāng)庫(kù)為1503B村調(diào)往C倉(cāng)

庫(kù)為1903調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)1101地時(shí)候，兩村地運(yùn)費(fèi)之和最小，最小費(fèi)用為9580元.

例2某家庭今年3個(gè)月地煤氣量和支付費(fèi)用見(jiàn)下表：

123

月月月

氣量42535

/m3

費(fèi)用/41419

元

該市地煤氣收費(fèi)方法是：基本費(fèi)+超額費(fèi)+?保險(xiǎn)費(fèi)，?若每月用氣量不超過(guò)最低

量an?,則只付3元基本費(fèi)和每戶地定額保險(xiǎn)費(fèi)c元；若用氣量超過(guò)acn?,則超

過(guò)地部分每立方米支付b元，并知cW5元，求a,b,c.

【分析】數(shù)學(xué)能幫助我們解決許多生活中地實(shí)際問(wèn)題，本題要求a,b,c地值,

?不妨設(shè)每月用氣量為X(m2),支付費(fèi)用為y(元)，再根據(jù)題意列出x,y地關(guān)系

表達(dá)式，即

3+C(0<X<67)

y=<,

3+b(x-a)+c(x>a)

由此可推斷出a,b,c地值.

【解答】設(shè)每月用氣量為Km?,支付費(fèi)用為y元，根據(jù)題意得

3+c(0<x<tz)

y=<

[3+b(x-a)+c(x>a)

Vc<5,Ac+3<8

因2月份和3月份地費(fèi)用均大于8,故用氣量大于最低限度an?,將x=25,y=14；

..…小、fl4=3+Z?(25-67)+c

x=35,y=19分別代入②得《，

19=3+6(35-。)+。

④一③得：10b=5???b=0.5

把b=0.5代入③得a=3+2c

又因1月份地用氣量是否超過(guò)最低限度尚不明確，故當(dāng)a<4時(shí)，將x=4?代入

②得4=3+0.5[4—(3+2c)]+c,即

4=3.5—c+c不成立

則近4,此時(shí)地付款分式選①，有3+c=4

/.c=1

把x=1代入a=3+2c得a=5

a=5,.b=0.5,c=l.

【點(diǎn)評(píng)】本題要求a,b,c地值，表面看與一次函數(shù)無(wú)關(guān)，?但實(shí)際上題中不

僅包含函數(shù)關(guān)系，而且是一個(gè)分段函數(shù)，求分段函數(shù)解析式地關(guān)鍵是分清各段地

取值范圍，其條件分別在各自地取值范圍內(nèi)使用，若有不確定地情形，須進(jìn)行分

類討論.

?強(qiáng)化訓(xùn)練

一、填空題

1.(武漢)如圖1所示，直線產(chǎn)kx+b經(jīng)過(guò)A(-2,-1)和B(-3,0)兩點(diǎn),

則不等式組1xvkx+b<0地解集為_(kāi)__.

2

4

2.(江蘇南通)如圖2,直線尸kx(k>0)與雙曲線y二一交于A(xi,yi),B(X2,

x

yz)兩點(diǎn)，則2xiyz—7xzyi地值等于.

3.如圖3所示，L甲，L乙分別表示甲走路與乙騎自行車(在同一條路上)行走地

路程s與時(shí)間t地關(guān)系，觀察圖像并回答下列問(wèn)題：

(1)乙出發(fā)時(shí)，與甲相距km；

(2)走了一段路后，乙地自行車發(fā)生故障，停下來(lái)修理，修車為h；

(3)乙從出發(fā)起，經(jīng)過(guò)____h與甲相遇；

(4)甲行走地路程s與時(shí)間I之間地函數(shù)關(guān)系式;

(5)如果乙自行車不出現(xiàn)故障，那么乙出發(fā)后經(jīng)過(guò)h與甲相遇，相遇

處離乙地出發(fā)點(diǎn)—km.并在圖中標(biāo)出其相遇點(diǎn).

4.直線y=—x+a與直線產(chǎn)x+b地交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,8),則a+b=.

5.已知一次函數(shù)y=2x-a與y=3x-b地圖像相交于x軸原點(diǎn)外一點(diǎn)，則

a

----=■

a+b

6.已知關(guān)于x地一次函數(shù)y=mx+2m—7在一lgx05上地函數(shù)值總是正數(shù)，則m地

取值范圍是.

7.若A(xi,yi),B(X2>y2)為一次函數(shù)y=3x—1圖像上地兩個(gè)不同地點(diǎn)，且

xi>X2?則yi與yz地大小關(guān)系是.

8.(紹興)如圖4所示，已知函數(shù)y=x+b和y=ax+3地圖像交點(diǎn)為P,?則不等式

9.函數(shù)yi=x+l與y2=ax+b（a￥0）地圖像如圖5所示，?這兩個(gè)函數(shù)圖像地交點(diǎn)在

y軸上，那么使yi,y2地值都大于零地x地取值范圍是（）

A.x>—1B.x<2C.l<x<2D.—l<x<2

10.（河南）如圖6,一次函數(shù)尸kx+b地圖像經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，則kx+b>0?地解集

是（）

A.x>0B.x>2C.x>—3D.—3<x<2

11.小亮用作圖像地方法解二元一次方程組時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)

地兩個(gè)一次函數(shù)地圖像L,L2如圖所示，他解地這個(gè)方程組是（）

31

12.已知一次函數(shù)y=-x+m和y=--x+n地圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,0）,且與x

22

軸交于A,B兩點(diǎn)，那么△ABC地面積是（）

A.2B.3C.4D.6

13.（山西太原）如圖所示地圖形都是二次函數(shù)y=ax2+bx+a2—1地圖像，若b>0,

則a地值等于（）

14.如圖，一次函數(shù)戶kx+6地圖像經(jīng)過(guò)A,

兩點(diǎn)，則kx+b>（）地解集是（）

A.x>0B.x<2

C.x>—3D.-3<x<2

15.（安徽?。┵?gòu)某種三年期國(guó)債x元，到期

可得本息和y元，已知尸kx,?則這種國(guó)債地年利率為（）

L

A.kB.-C.k-1D.—

33

三、解答題

16.（浙江舟山）近階段國(guó)際石油迅速猛漲，中國(guó)也受期影響，為了降低運(yùn)行成本,

部分出租車進(jìn)行了改裝，改裝后地出租車可以用液化氣來(lái)代替汽油.?假設(shè)一輛出

租車日平均行程為300km.

（1）使用汽油地出租車，假設(shè)每升汽油能行駛12km,當(dāng)前地汽油價(jià)格為4.6

元/L,?當(dāng)行駛時(shí)間為t天時(shí)，所耗地汽油費(fèi)用為p元，試寫出p關(guān)于t地函數(shù)關(guān)

系式；

（2）使用液化氣地出租車，假設(shè)每千克液化氣能行駛15?16km,?當(dāng)前地液

化氣價(jià)格為4.95元/kg,當(dāng)行駛時(shí)間為t天時(shí)，所耗地液化氣費(fèi)用為w元，試求w

地取值范圍（用t表示）；

（3）若出租車要改裝為使用液化氣，每輛需配置成本為8000元地設(shè)備，?根

據(jù)近階段汽油和液化氣地價(jià)位，請(qǐng)?jiān)冢?）（2）地基礎(chǔ)上，計(jì)算出最多幾天就能收

回改裝設(shè)備地成本？?并利用你所學(xué)地知識(shí)簡(jiǎn)單說(shuō)明使用哪種燃料地出租車對(duì)城

市地健康發(fā)展更有益.（用20字左右談?wù)劯邢耄?

17.（岳陽(yáng)市）我市某化工廠現(xiàn)有甲種原料290kg,乙種原料212kg，計(jì)劃利用這

兩種原料生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品共80件.生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲種原料5kg,?乙種

原料1.5kg,生產(chǎn)成本是120元；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品，需要甲種原料2.5kg,乙種原

料3.5kg,?生產(chǎn)成本是200元.

（1）該化工廠現(xiàn)有地原料能否保證生產(chǎn)？若能地話，有幾種生產(chǎn)方案，請(qǐng)你

設(shè)計(jì)出來(lái)；

（2）設(shè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品地總成本為y元，其中一種地生產(chǎn)件數(shù)為x,試寫

出y與x之間地函數(shù)關(guān)系，并利用函數(shù)地性質(zhì)說(shuō)明（1）中哪種生產(chǎn)方案總成本最

低？?最低生產(chǎn)總成本是多少？

18.（棗莊）己知關(guān)于x地二次函數(shù)y=x?—mx+"2與y=x2—mx—巴士工，這兩

個(gè)二次函數(shù)地圖像中地一條與x軸交于A,B兩個(gè)不同地點(diǎn).

（1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)地圖像經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0）,試求點(diǎn)B坐標(biāo)；

（3）在（2）地條件下，對(duì)于經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)地二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y地

值隨x?值地增大而減??？

19.（寧波市）寧波市土地利用現(xiàn)狀通過(guò)國(guó)土資源部驗(yàn)收，該市在節(jié)約集約用地方

面已走在全國(guó)前列.市區(qū)建設(shè)用地總量從33萬(wàn)畝增加到48萬(wàn)畝，相應(yīng)地年GDP

從295億元增加到985億元.寧波市區(qū)年GDPy（億元）與建設(shè)用地總量x（?萬(wàn)

畝）之間存在著如圖所示地一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求y關(guān)于x地函數(shù)關(guān)系式；

（2）據(jù)調(diào)查2022年市區(qū)建設(shè)用地比2021年增加4萬(wàn)畝，?如果這些土地按以

上函數(shù)關(guān)系式開(kāi)發(fā)使用，那么2022年市區(qū)可以新增GDP多少億元？

（3）按以上函數(shù)關(guān)系式,該市年GDP每增加1億元，需增建設(shè)用地多少萬(wàn)畝？

（?精確到0.001萬(wàn)畝）

,W億元/

985---------7

295------（\；

II

，L

03348“萬(wàn)畝

20.（鹽城市）學(xué)校書法舉小組準(zhǔn)備到文具店購(gòu)買A,B兩種類型地毛筆，文具店

地銷售方法是：一次性購(gòu)買A型毛筆不超過(guò)20支時(shí)，按零售價(jià)銷售；超過(guò)20支

時(shí)，?超過(guò)部分每支比零售價(jià)低0.4元，其余部分仍按零售價(jià)銷售.一次性購(gòu)買B

型毛筆不超過(guò)15支時(shí)，按零售價(jià)銷售；超過(guò)15支時(shí)，超過(guò)部分每支比零售價(jià)低

0.6元，?其余部分仍按零售價(jià)銷售.

（1）如果全組共有20名同學(xué)，若每人各買1支A型毛筆和2支B型毛筆，共

支付145元；若每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆，共支付129元.這家文

具店地A,B?兩種類型毛筆地零售價(jià)各是多少？

（2）為了促銷，該文具店地A型毛筆除了原來(lái)地銷售方法外，同時(shí)又推出了一

種新地銷售方法：無(wú)論購(gòu)買多少支，一律按原零售價(jià)［即（1）中所求得地A型毛

筆地零售價(jià)］地90%出售.現(xiàn)要購(gòu)買A型毛筆a支（a>40）,在新地銷售方法和原

來(lái)地銷售方法中，?應(yīng)選哪種方法購(gòu)買花錢較少？并說(shuō)說(shuō)理由.

21.（河北?。┕馊A農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30

臺(tái).現(xiàn)將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A,B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū),

20?臺(tái)派往B地區(qū).

兩地區(qū)與該農(nóng)村租賃公司商定地每天地租賃價(jià)格見(jiàn)下表:

每臺(tái)甲型收割機(jī)地每臺(tái)乙型收割機(jī)地

租金租金

A地1800元1600元

區(qū)

B地1600元1200元

區(qū)

（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天

獲得地租金為y（元），求y與x之間地函數(shù)關(guān)系式，并寫出x地取值范圍；

（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得地租金總額不低于79600

元，?說(shuō)明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；

（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得地租金最高，請(qǐng)你為光華租賃公司

提出一條合理建議.

答案：

20

1.-3<x<-22.203.(1)10(2)1(3)3(4)s=10+—t(5)1.2；

3

18

,2，c

4.165.—6.m>77.yi>y28.x>l

9.D10.C11.D12.C13.D14.C15.D

46/

16.(1)p=300x古,BPp=115t.

/八、c24.95/c.4.95z

(2)300x-------<w<300x--------

1615

1485/2

即Hn----<w<99t.

16

(3)115t-99t<8000,t<500.

即最多500元能收回改裝設(shè)備地成本.

液化氣燃料地出租車對(duì)城市健康發(fā)展更有益(感想略).

17.(1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意得

5x+2.5(80-x)<290,

解得34<x<36.

1.5x+3.5(80-x)<212,

囚為x為整數(shù)，所以x只能取34或35或36.

該工廠現(xiàn)有地原料能保證生產(chǎn)，有三種生產(chǎn)方案：

方案一：生產(chǎn)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件；

方案二：生產(chǎn)A種產(chǎn)品35件，B種產(chǎn)品45件；

方案三：生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件.

(2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(8()—x)件，y與x地關(guān)系為:

y=?120x4-200(80-x),B|Jy=-80x+16000(x=34,35,36).

因?yàn)閥隨x地增大而減小，所以x取最大值時(shí)，y有最小道.

當(dāng)x=36時(shí)，y地最小值是

y=-80x36+16000=13120.

即第三種方案總成本最低，最低生產(chǎn)成本是13120元.