陜西省寧強(qiáng)縣天津高級中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

陜西省寧強(qiáng)縣天津高級中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直2．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)n的值是（）A. B.C. D.3．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.4．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.5．將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.6．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.7．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.48．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.9．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.10．已知圓，若存在過點(diǎn)的直線與圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知向量，，則（）A. B.C. D.12．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線的距離為_______.14．如圖：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，其中P在右支上，且，則的面積為___________.15．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，P是該雙曲線右支上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線C的離心率為__________16．已知點(diǎn)，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)的極值.18．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.19．（12分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離20．（12分）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面有一個(gè)小孔（小孔的大小忽略不計(jì)）E，E點(diǎn)到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成的角的大小.21．（12分）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一個(gè)法向量.22．（10分）已知橢圓C：的焦距為，點(diǎn)在C上（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線：上任意一點(diǎn)，設(shè)直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，求的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】把直線化簡后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C2、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C3、A【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為：，故選：A4、D【解析】利用向量的數(shù)量積為0可求的值.【詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.5、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線C上任一點(diǎn)，其在上對應(yīng)在的點(diǎn)為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因?yàn)锳B中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A6、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題7、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x：A8、C【解析】由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.9、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點(diǎn)，，進(jìn)而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點(diǎn)為設(shè)直線的點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對稱的直線過點(diǎn)，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C10、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)?，所以，而，或，所以，故選：D11、D【解析】按空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則運(yùn)算即可.【詳解】.故選：D.12、B【解析】因但二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求點(diǎn)線距離.【詳解】由題設(shè)，點(diǎn)到距離為.故答案為：14、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對稱性計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2415、【解析】由已知及向量數(shù)量積的幾何意義易知，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，再由雙曲線的定義及勾股定理構(gòu)造關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】∵，∴△為等腰三角形且，又，∴，∴．又，，∴，則，可得，∴雙曲線C的離心率為故答案為：.16、【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點(diǎn)和直線斜率，由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，的中點(diǎn)為，可得直線的斜率為，由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）答案見解析【解析】（1）求出曲線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值域斜率的關(guān)系，即可求出，（2）求出導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的極值【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)P(0，f(0))處的切線方程是，所以切線斜率是，且，求得，即點(diǎn)又函數(shù)，則所以依題意得解得（2）由（1）知所以令，解得或當(dāng)，或；當(dāng)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是所以當(dāng)變化時(shí)，和變化情況如下表：0極大值極小值所以，18、（1）證明見解析；（2），.【解析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法可求得.【小問1詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，因此，.19、（1）；（2）【解析】（1）由直線一般方程的垂直公式，即得解；（2）由直線一般方程的平行公式，求得，再由平行線的距離公式，即得解.【小問1詳解】∵兩直線垂直，∴，解得【小問2詳解】∵兩直線平行，∴，解得或1，經(jīng)過驗(yàn)證時(shí)兩條直線重合，舍去．∴可得：直線：，：∴兩直線間的距離20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進(jìn)而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關(guān)系得出其夾角.【小問1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問2詳解】在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側(cè)面與桌面所成角的為21、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求法向量即可.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面ACD1的法向量.，又為平面ACD1的一個(gè)法向量，化簡得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一個(gè)法向量.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求平面的法向量，屬于中檔題.22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，點(diǎn)在C上，由求解；（2）設(shè)，，，的斜率不存在時(shí)，則的方程為，