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2025屆云南省鎮(zhèn)沅縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則的真子集個(gè)數(shù)為()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.3.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm34.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種5.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.246.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.7.已知全集,集合,則()A. B. C. D.8.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則()A. B. C. D.9.已知集合,,,則()A. B. C. D.10.設(shè)命題函數(shù)在上遞增,命題在中,,下列為真命題的是()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.12.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.14.已知三棱錐,,是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,分別是、的中點(diǎn),為棱上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.15.已知函數(shù),則不等式的解集為_(kāi)___________.16.已知拋物線,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為,則線段長(zhǎng)度的取值范圍為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率是,動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)軸時(shí),.(1)求橢圓的方程;(2)延長(zhǎng)分別交橢圓于點(diǎn)(不重合).設(shè),求的最小值.18.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點(diǎn),.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.19.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)對(duì)于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對(duì)任意,或者,或者,則稱為一個(gè)好集合.以下記為的元素個(gè)數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時(shí)說(shuō)明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.21.(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),單位圓與角終邊的交點(diǎn)為,過(guò)作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點(diǎn)為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
求出的元素,再確定其真子集個(gè)數(shù).【詳解】由,解得或,∴中有兩個(gè)元素,因此它的真子集有3個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù),解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí),本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集.2、B【解析】
延長(zhǎng)到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進(jìn)而可得的面積.【詳解】解:延長(zhǎng)到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.3、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長(zhǎng)方體,下面是四棱柱;長(zhǎng)方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點(diǎn):三視圖和幾何體的體積.4、B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問(wèn)題,解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于??碱}型.5、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.6、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】,,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問(wèn)題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得,由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.9、A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
命題:函數(shù)在上單調(diào)遞減,即可判斷出真假.命題:在中,利用余弦函數(shù)單調(diào)性判斷出真假.【詳解】解:命題:函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,因此是假命題.命題:在中,在上單調(diào)遞減,所以,是真命題.則下列命題為真命題的是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、三角形邊角大小關(guān)系、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設(shè),則,又由,,所以為的中點(diǎn),為的三等分點(diǎn),則,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.14、【解析】
取的中點(diǎn),連接,,取的中點(diǎn),連接,,,直線與所成的角為,計(jì)算,,根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案?!驹斀狻咳〉闹悬c(diǎn),連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因?yàn)?,分別、的中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點(diǎn),連接,,,因?yàn)?,所以直線與所成的角為,設(shè),則,,所以,化簡(jiǎn)得,解得,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長(zhǎng)度,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.15、【解析】
,,分類(lèi)討論即可.【詳解】由已知,,,若,則或解得或,所以不等式的解集為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,涉及到解一元二次不等式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.16、【解析】
連接,易得,可得四邊形的面積為,從而可得,進(jìn)而求出的取值范圍,可求得的范圍.【詳解】如圖,連接,易得,所以四邊形的面積為,且四邊形的面積為三角形面積的兩倍,所以,所以,當(dāng)最小時(shí),最小,設(shè)點(diǎn),則,所以當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),,此時(shí),因?yàn)殡S著的增大而增大,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)題意直接計(jì)算得到,,得到橢圓方程.(2)不妨設(shè),且,設(shè),代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得到,故,得到答案.【詳解】(1),所以,,化簡(jiǎn)得,所以,,所以方程為;(2)由題意得,不在軸上,不妨設(shè),且,設(shè),所以由,得,所以,由,得,代入,化簡(jiǎn)得:,由于,所以,同理可得,所以,所以當(dāng)時(shí),最小為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,橢圓中的向量運(yùn)算和最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進(jìn)而得,在中,由正弦定理得,所以的面積即可得解.試題解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面積.19、(1)見(jiàn)解析,(2)【解析】
(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫(xiě)出的通項(xiàng)即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項(xiàng)為:,故.【點(diǎn)睛】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法;中檔題.20、(1),,,.(2);證明見(jiàn)解析.(3)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設(shè),其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設(shè),由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設(shè),其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時(shí),,不滿足題意;若,此時(shí),滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設(shè),其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對(duì)于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類(lèi)推:,,此時(shí),故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點(diǎn)睛】本題考查集合中的新定義問(wèn)題的求解,關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說(shuō)明,對(duì)于學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.21、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,求得,,因而得出,利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù),最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,,所以函?shù)的最小正周期為.(2)因?yàn)椋?,所以,故函?shù)在區(qū)間上的
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