工程力學(xué)教案

第一章靜力學(xué)基礎(chǔ)

力學(xué)包括靜力學(xué)，動(dòng)力學(xué)，運(yùn)動(dòng)學(xué)三部分，靜力學(xué)主要探討物

體在力系作用下的平衡規(guī)律，靜力學(xué)主要探討以下問題：

1.物體的受力分析；2.力系的等效.與簡化；3.力系的平衡問題。

第1講§1-1靜力學(xué)的基本概念§1-2靜力學(xué)公理

【目的與要求】

1、使學(xué)生對(duì)靜力學(xué)基本概念有清楚的理解，并駕馭靜力學(xué)公理與應(yīng)用范圍。

2、會(huì)利用靜力學(xué)靜力學(xué)公理解決實(shí)際問題。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1、力、剛體、平衡等概念；2、正確理解靜力學(xué)公理。

一、靜力學(xué)的基本概念

1、力和力系的概念

一）力的概念

1）力的定義：力是物體間的相互作用，這種作用使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或形態(tài)

發(fā)生變更。

（舉例理解相互作用）

2）力的效應(yīng)：

①外效應(yīng)（運(yùn)動(dòng)效應(yīng)）：使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變更。（舉例）

②內(nèi)效應(yīng)（變形效應(yīng)）：使物體的形態(tài)發(fā)生變更。（舉例）

3）力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)。

力是定位矢量

4）力的表示：

①圖不②符號(hào)：字母+箭頭如：F

二）力系的概念

1）定義：作用在物體上的一組力。（舉例）

2）力系的分類

①按力的的作用線現(xiàn)在空間分布的形式：

A匯交力系b平行力系c一般力系

②按力的的作用線是否在同一平面內(nèi)

A平面力系B空間力系

3）等效力系與合力

A等效力系一一兩個(gè)不同力系，對(duì)同一物體產(chǎn)生相同的外效應(yīng)，則

稱之

B合力一一若一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則這個(gè)力稱為合力

2.剛體的概念：

1）定義：在力的作用下保持其大小和形態(tài)不發(fā)生變更。

2）理解：剛體為一力學(xué)模型。

3.平衡的概念：

1）平衡一一物體相對(duì)慣性參考系（如地面）靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng).

2）平衡力系一一作用在剛體上使物體處于平衡狀態(tài)的力系。

3平衡條件一一平衡力系應(yīng)滿意的條件。

二.靜力學(xué)公里

（一）公理一：二力平衡公里

作用在剛體上的兩個(gè)力，使剛體保持平衡的必要和充分條件是：這兩個(gè)力的

大小相等，方向相反，且作用在同始終線上。

使剛體平衡的充分必要條侔=一￡J

二力構(gòu)件：在兩個(gè)力作用下處于平衡的

物體。/

（二）公理二加減平衡力系原理

在已知力系上加上或減去隨意的平衡力系，并不變更原力系對(duì)剛體的作用。

推理1力的可傳性

作用于剛體上某點(diǎn)的力，可以沿著它的作用線移到剛體內(nèi)隨意一點(diǎn)，并不變

更該力對(duì)剛體的作用。

作用在剛體上的力是滑動(dòng)矢量，力的三要素為大小、方向和作用線.

（三）公理三作用和反作用定律

作用力和反作用力總是同時(shí)存在，同時(shí)消逝，等值、反向、共線，作用在相

互作用的兩個(gè)物體上.

（四）公理四力的平行四邊形法則

作用在物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力，可以合成為一個(gè)合力。合力的作用點(diǎn)也在該

點(diǎn)，合力的大小和方向，由這兩個(gè)力為邊構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線確定，如圖

所示

Fi+F2=FR

(b)

推理2三力平衡匯交定理

作用于剛體上三個(gè)相互平衡的力，若其中兩個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，則此

三力必在同一平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過匯交點(diǎn)。平衡時(shí)居必與與共線

則三力必匯交。點(diǎn)，且共面.

【小結(jié)】：

本節(jié)重點(diǎn)介紹了力的概念、四個(gè)公理和二個(gè)推論；二力構(gòu)件與三力構(gòu)件，應(yīng)

駕馭其推斷方法；留意作用與反作用公理與二力平衡條件的區(qū)分。

【作業(yè)】

第2講§1-3約束與約束反力

【目的與要求】

1、使學(xué)生對(duì)約束的概念有清楚的理解；

2、駕馭柔性、光滑面、光滑錢鏈約束的構(gòu)造與約束反力的確定；

件的青果震弟噌露i制各類約束的約束反力，尤其是較鏈約束'二力桿、三力構(gòu)

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1、約束與約束反力的概念。

2、工程中常見的約束類型與約束反力的畫法。

自由體：在空間運(yùn)動(dòng)，其位移不受任何限制的物體。

非自由體：在空間運(yùn)動(dòng)，其位移受到某些方面任何限制的物體。

主動(dòng)力：約束反力以外的其他力

約束一一對(duì)非自由體某個(gè)方向的移動(dòng)期限制作用的四周物體。

約束反力（約束力）——約束對(duì)被約束物體作用的力。

L約束反力的特點(diǎn)一一約束反力的方向總是與非自由踢被約束所限制的位

移萬向相反。

一、柔索約束

1.實(shí)例

2.約束反力的特點(diǎn)：（拉力）

大小:待定

作用點(diǎn)；連接點(diǎn)

方向：柔索對(duì)物體的約束力沿著柔索背向被約束物體。

二、光滑表面約束

1.實(shí)例

_______三公法線

切線

i\0QWJtfi3cb*????**?**??**?t*iA*VV^^T（（???t?t（*t?ii****?*

大?。捍?/p>

方向：沿著接觸面的公法線指向物體內(nèi)部。

作用點(diǎn)：接觸點(diǎn)c

2）反力特點(diǎn)：（Fx,Fy）

大?。捍?/p>

方向：相互垂直的二分力

作用點(diǎn)：錢鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心

2.活動(dòng)較支座

1）實(shí)例

2）反力特點(diǎn):

大?。捍?/p>

方向：垂直于支撐面

作用點(diǎn)：錢鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心

3、中間較鏈

1）實(shí)例

2）反力特點(diǎn)

大?。捍ā?/p>

方向：相互垂直的二分力。

作用點(diǎn)：錢鏈轉(zhuǎn)動(dòng)中心。

四、光滑球滑鏈約束（Fx,Fy,Fz）

1.實(shí)例

2.約束與反力特點(diǎn)

1）約束特點(diǎn)：通過球與球殼將構(gòu)件連接，構(gòu)件可以繞球心隨意轉(zhuǎn)動(dòng)，

但構(gòu)件與球心不能有任何移動(dòng).

2）約束力：當(dāng)忽視摩擦?xí)r，球與球座亦是光滑約束問題

3）約束力通過接觸點(diǎn)，并指向球心,是一個(gè)不能預(yù)先確定的空間力.可用三個(gè)

正交分力表示.

【小結(jié)】

1、本節(jié)課詳盡地介紹了工程中常見的各種約束構(gòu)造與約束反力的確定。

2、光滑較鏈約束的不同類型所具有的特點(diǎn)和區(qū)分是本節(jié)課的難點(diǎn),

3、應(yīng)通過扎實(shí)的練習(xí)，嫻熟駕馭工程中常見的各種約束與約束反力的正

確畫法。

第3講§1-4物體的受力分析受力圖

【目的與要求】

1、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)：使學(xué)生能從簡潔的物體系統(tǒng)中正確地選取探討對(duì)

象，嫻熟精確地畫出受力圖

2、培育學(xué)生能初步將工程實(shí)際問題抽象為力學(xué)模型的實(shí)力。

3、初步相識(shí)幾種載荷。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1、畫受力圖是靜力學(xué)問題的定性分析，是解決靜力學(xué)問題很重要的環(huán)節(jié)。

2、單個(gè)物體和簡潔的物體系統(tǒng)（三個(gè)以下物體組成的系統(tǒng)）的受力分析和

受力圖。

內(nèi)容:

在受力圖上應(yīng)畫出全部力；主動(dòng)力和約束力（被動(dòng)力）

一、畫受力圖步驟:

1、取所要探討物體為探討對(duì)象（隔離體）畫出其簡圖

2、畫出全部主動(dòng)力

3、按約束性質(zhì)畫出全部約束（被動(dòng)）力

二、應(yīng)用實(shí)例

1.碾子重為P,拉力為F,A、B處光滑接觸，畫出碾子的受力圖.

上

P

解1）確定探討對(duì)象畫簡圖2）畫出主動(dòng)力3）畫出約束力

2.水平均質(zhì)梁AB重為P1,電動(dòng)機(jī)重為P2,不計(jì)桿CD的自重，畫

出桿CD和梁AB的受力圖.圖（a）

C

(b)

解：

1）取CD桿，其為二力構(gòu)件，簡稱二力桿,

其受力圖如圖（b）

2）取AB梁，其受力圖如圖（c）

探討

CD桿的受力圖能否畫為圖（d）所示？若這樣畫，梁AB的受力圖又如

何改動(dòng)

3、不計(jì)三錢拱橋的自重與摩擦，畫出左、右拱的受力圖與系統(tǒng)整體受力圖.

解

右拱CB為二力構(gòu)件，其受力圖如圖（b）所示取左拱AC,其受力圖如圖（c）所

示

系統(tǒng)整體受力圖如圖（d）所示

探討1考慮到左拱三個(gè)力作用下平衡，也可按三力平衡匯交定理畫出左

拱的受力圖，如圖（e）所示此時(shí)整體受力圖如圖（f）所示

探討2：若左、右兩拱都考慮自重，如何畫出各受力圖？如圖（g）（h）

(i)

5不計(jì)自重的梯子放在光滑水平地面上，畫出梯子、梯子左右兩部分與整個(gè)系

統(tǒng)受力圖（a）

力圖如圖（b）所示2）梯子左邊部分受力圖如圖（c）

所示

3）梯子右邊部分受力圖如圖（d）所示4）整體受力圖如圖（e）所示

提問:左右兩部分梯子在/處，繩子對(duì)左右兩部分

梯子均有力作用，為什么在整體受力圖沒有畫出？

處理教材中的練習(xí)

【小結(jié)】

本節(jié)課重點(diǎn)探討了如何正確的作出受力圖。留意事項(xiàng)：

1）要嫻熟駕馭常見約束的構(gòu)造與約束反力的確定方法；

2）駕馭畫受力圖的步驟，明確畫受力圖的重要性.

3）畫受力圖的過程就是對(duì)探討對(duì)象進(jìn)受力分析的過程，受力圖若不正確,

說明不會(huì)正確的受力分析，不只是學(xué)不好本課程，還會(huì)影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。

【作業(yè)】

力系等效定理

第4講§2—1力在軸與平面上的投影§2-2力系的主矢

目的與要求

1.駕馭力在坐標(biāo)軸和力在平面上的投影方法。

2.正確理解力系主矢的概念

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1.力在坐標(biāo)軸和力在平面上的投影方法是該部分的重點(diǎn)

2.力系主矢是難點(diǎn)

內(nèi)容

一o力在坐標(biāo)軸的投影

1.平面力系在坐標(biāo)軸的投影

力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，若投影的指向與坐標(biāo)軸的正向一樣，投影值

為正；反之為負(fù)。

力F在X軸、y軸上的投影為

Fx=±ab

3=±a，b，（式

1.2）

如圖-26所示，力F在x軸和y軸的投影分別為

Fx=Fcosez

（式L3）

2.空間力系力在坐標(biāo)軸的投影

一次投影法

Fx=F-cosa

Fy=F?cosp或

E=F-cos/

cosa=*y

工

cos/?

~F

cos/

F

2.在軸上的投影（二次投影法）

F.=Feos/

Fx=Fxycos。=Fsin/cos

Fy=%sin，=Fsinysin（/）

舉例計(jì)算（略）

三.力系的主矢

力系的主矢--力系中各力矢的幾何和。

記作:么=K+K++F“=Z耳

探討力系的主矢與力系的合力（略）

【小結(jié)】

1.力在軸上的投影

2.力在平面上的投影

第5講：§2-3力對(duì)點(diǎn)之距與力對(duì)軸之距§2-4力系的主距§2-5

力系的等效定理

【目的與要求】

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)：

1、駕馭力矩的概念，正確理解力對(duì)點(diǎn)、力對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效果

2、熟識(shí)力系的主距與力系的等效定理

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1.力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸之距的概念的正確理解

2.合力距定理的應(yīng)用

3.理解力系的主距和等效力系的概念

一.力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸之距

1.力對(duì)點(diǎn)之距合力距定理

1）力對(duì)點(diǎn)之距

在力學(xué)上以乘積F?d作為量度力F使物體繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，這個(gè)

量稱為力F對(duì)0點(diǎn)之矩，簡稱力矩，，以符號(hào)，”.⑺表示，即

乃（Q=±&。點(diǎn)稱為力矩中心（簡稱矩心）。

力使物體繞矩心作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；作順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

取負(fù)號(hào)。平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量。

力對(duì)點(diǎn)之矩有如下特性：

⑴力F對(duì)0點(diǎn)之矩不僅取決于力F的大小，同時(shí)還與矩心的位置有關(guān)；

⑵力F對(duì)任一點(diǎn)之矩不會(huì)因該力沿其作用線移動(dòng)而變更，因?yàn)榇藭r(shí)力和力臂

的大小均來變更：

⑶力的作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零；

⑷互成平衡的二力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。

作用于物體上的力可以對(duì)隨意點(diǎn)取矩。

2）合力距定理

合力距定理:合力對(duì)某點(diǎn)的距等于各力對(duì)于該點(diǎn)的距的代數(shù)和。

舉例計(jì)算（略）

2力對(duì)軸之距

力使物體繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量稱為力對(duì)軸的距。

力對(duì)軸的距是一個(gè)代數(shù)量，等于力在垂直于該軸的平面內(nèi)的投影對(duì)該軸與此

平面的父點(diǎn)之距。記作M:（&）=此（G）=±外?〃

力對(duì)軸為零的狀況；

1）力與軸平行時(shí)；2）力的作用線與軸相交時(shí)。

3.力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸之距的關(guān)系

力對(duì)點(diǎn)的距矢在通過該點(diǎn)的軸上的投影等于此力對(duì)該軸的距，該關(guān)

系稱為力矩關(guān)系定理。

即［此（嘰=%仍）

［此仍）］=牝（尸）

舉例計(jì)算（略）

二.力系的主距

力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的距的幾何和稱為力系對(duì)該點(diǎn)的主距。

Mo=rtxF］+r2xF2++乙x￡=工加。（4）=

將上述矢量式向直角坐標(biāo)軸投影，便得

rUz

z-月M

彳X-

M°x=LXu

z-X耳--EMr

r

M/VO

oy=_X-.,-

E-耳1ZM

rJ

/友

M°z=-Z

三.力系的等效定理

【小結(jié)】：

1、力對(duì)點(diǎn)之距與力對(duì)軸之距

2、力系的主距

3、合力距定理的應(yīng)用

4、力系的等效定理

內(nèi)容：匯交力系和力偶系

第6講§3-1匯交力系的合成

【目的與要求】

1.駕馭匯交力系合成方法

2.能深刻理解平面力偶與力偶矩的概念，

3.明確力偶的基本性質(zhì)與等效條件。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1.匯交力系合成的方法

2.力偶與其基本性質(zhì)、力偶的等效條件；

一。匯交力系的合成

※概念：匯交力系平面匯交力系空間匯交力系

1.幾何法

FRl=F1+F2

FRI=E+E

3

RR2=FR1+FR3=>E

3i=l

FR2—FRI+FR3=?Fi

ni=\

i=l

力的多邊形規(guī)則一一匯交力系的合力作用線通過匯交點(diǎn)，合力矢的大小合方

向與力系的主矢相同，即等于各分力的矢量和。

2.解析法

七=F[=Fxi+工2++F*,、=Z工

平衡條件解析式％=FR；=氏+Fy2++Fyn=ZFy

F-二/%++乙?！?/p>

=J(Z工>+(ZG)2+(ZE)2

Cos(FR,i)=Z^Cos(FR,J)=Z^Cos((FR,K)二江1

FRFRFR

3.2匯交力系的平衡

依據(jù)力系平衡的充要條件可得：匯交力系的平衡的條件為：主矢為零。即

=0-

的…

1個(gè)=。

平面匯交力系平衡方程

例3-3如圖，已知G=100N,求斜面和繩子的約

束力

例3-3

小球?yàn)樘接憣?duì)象，畫受

取例3-3b)

力圖

并建立坐標(biāo)系如圖;

列平衡方程

工&=0:耳-Gsin30°=0解得:FT=50N

Z4=0:￡v-Gcos30°=0FN=86.6N

若坐標(biāo)系如圖b）建立，平衡方程如何寫？

第7講§3-3力偶系

【目的與要求】

1、能深刻理解平面力偶與力偶矩的概念,

2、明確平面力偶系的合成條件與平衡條件的應(yīng)用。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1、力偶與其基本性質(zhì)、力偶的等效條件；

2、平面力偶系的平衡條件與其應(yīng)用。

3.3力偶系

一、力偶力偶距矢力偶的等效

1.力偶：定義：

?兩個(gè)大小相等，方向相反，且不共線的平行力組成的力

系稱為力偶。

力偶的表示法

■書面表示（F,F'）

■圖示

力偶矩

■大小

■正負(fù)規(guī)定：逆時(shí)針為正

■單位量綱：牛米［N.m］或千牛米［kN.m］

力偶的三要素

■力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的

作用面

2力偶的基本性質(zhì)

-力偶無合力

■力偶中兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)隨意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，等于

該力偶的力偶矩

-力偶的可移動(dòng)性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）

■力偶的可改裝性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）

力偶的等效

平面力偶系

1平衡條件：

力偶系得力偶距矢為零。

2平面力偶系平衡方程°

【小結(jié)】

本節(jié)課主要介紹了：

1、力矩的概念和力對(duì)點(diǎn)之矩的計(jì)算；

2、平面力偶系中力偶的概念與其基本性質(zhì)；

3、力偶的等效變更性質(zhì)是平面力偶系的簡化基礎(chǔ)，應(yīng)嫻熟駕馭力偶的等

效變更性質(zhì)，為力偶系的合成奠定基礎(chǔ)

4、應(yīng)嫻熟駕馭由平面力偶系的平衡條件解平面力偶系的平衡問題.

【作業(yè)】

內(nèi)容：第四章平面一般力系

第8講§4-1平面隨意力系向一點(diǎn)簡化、平面隨意力系簡化結(jié)果的

分析

目的與要求

1、駕馭力的平移定理與其應(yīng)用

2、使學(xué)生駕馭平面隨意力系向一點(diǎn)簡化的方法、

學(xué)會(huì)應(yīng)用解析法求主矢和主矩

3、能嫻熟地計(jì)算平面隨意力系簡化的最終結(jié)果

確定合力的作用線位置

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1、力的平移定理

2、主矢與主矩的概念

3、平面隨意力系向作用面內(nèi)簡化

4、簡化結(jié)果的探討，合力大小、方向、作用線位置的確定

4.1力的平移定理

定理內(nèi)容：作用于剛體上的力可平移到剛體內(nèi)隨意一點(diǎn)，但必需附加一個(gè)力偶,

此附加力偶的力偶距等于原力對(duì)移動(dòng)點(diǎn)的距。

4.2平面隨意力系的簡化

將圖3-5-2所示平面匯交力系和平面力偶系合成，得:

1、主矢:FR=^Fn

,Mor?,

主矩M°=ZM,(Fn)(。)

如圖3-5-3X.

圖3-5-3

主矢R和主矩

g):F'

Mo

圖3-5-4

FR9=OLK(\)

MoW0。八/

圖3-59

FR9oD\(oA

MoWOXMJ

圖3-5-6

2、固定端的約束反力

性質(zhì)特點(diǎn)：限制了平面內(nèi)可能的運(yùn)動(dòng)（移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）。一反力與

一反力偶。

小結(jié)：本節(jié)課主要介紹了:

1、力的平移定理，平面隨意力系的簡化，主矢與主矩的計(jì)算、固定端約束

反力的確定，簡化結(jié)果的探討是該節(jié)課的重點(diǎn)也是本章的重點(diǎn)。

2、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)應(yīng)明確：1）主矢與簡化中心位置無關(guān)，主矢不是

原力系的合力2）主矩與簡化中心有關(guān)，主矩不是原力的合力偶。

3、能嫻熟計(jì)算力系的合力的大小、方作用線位置。

§4-2平面隨意力系的平衡條件與其應(yīng)

目的與要求

1、使學(xué)生在平面匯交力系、平面力偶系平衡條件的基礎(chǔ)上深化理解平面

隨意力系的平衡條件與平衡方程的三種形式

2、能嫻熟地求解平面隨意力系作用下單個(gè)物體的平衡問題

重點(diǎn)、難點(diǎn):

平面隨意力系的平衡條件

平衡條件

主矢為零：,=0W工=0

FR

<%=0

主矩為零：Mo=0即平衡方程

IX（尸）=0

二距式方程工=。三距式方程1X、（F）=O

⑺=。<JX（F）=0

￡MB（F）=O2%（尸）=0

應(yīng)用舉例

解題步驟:

■選取探討對(duì)象，畫受力圖

■建立直角坐標(biāo)系

■列平衡方程并求解

已知F=15kN,M=3kN.m,求A、B處支座反力

解1、畫受力圖，并建立坐標(biāo)系

F

FASAB

FB

FAV

例3-4a）

2、列方程￡場(用=0Z^=o

FAy+FB-F^O

心=(3+2xl5)/3=lbWFA,=F—FB=4/CN

舉例:已知Fp=519.6N,求M與0點(diǎn)約束力。

小結(jié)：

本節(jié)課主要介紹了：

1、平面隨意力系的平衡方程。

2、用平衡條件求解單個(gè)物體的平衡。

是本章的重點(diǎn)，應(yīng)嫻熟駕馭其解題方法

作業(yè)

第9講§4-2平面隨意力系的平衡條件與其應(yīng)（二）

目的與要求

1、理解并駕馭平面平行力系的平衡條件與平衡方程的兩種形式

2、能嫻熟地求解平面隨意力系作用下單個(gè)物體的平衡問題

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

2、平面平行力系的平衡條件

3、平衡條件在工程實(shí)際問題中的應(yīng)用

平面平行力系的平衡方程

1.平行力系的平衡條件：主矢為零，主距為零。

2.平衡方程忖另外形式：忖%（f0

例3-7已知：OA=R,AB=1,F'不計(jì)物體自重與摩

系統(tǒng)在圖示位置平

求：力偶矩M的大小，軸承0處的約

束力，連桿A8受力，沖頭給導(dǎo)軌

的側(cè)壓力.■皿，

....勺子…...

解：取沖頭氏畫受力圖.呼

WF-FBCOS0=0尸邛

解得F_產(chǎn)_FI

“cosOVz2—R1

§3-3靜定與靜不定問題的概念物體系統(tǒng)的平衡

目的與要求

1、理解靜定與靜不定問題的概念

2、理解并駕馭平面平行力系的平衡條件與平衡方程的兩種形式

3、能嫻熟駕馭物系平衡問題求解方法

重點(diǎn)、難點(diǎn):

2、靜不定的概念

3、物體系統(tǒng)平衡問題與解題方法

：取A5梁，畫受力圖.

2'=°FAX+Fccos45°=0

Z4=。FAy+F<Sin45°—尸=O

Z〃A=0月cos45°?/-尸-2/=0

Fc=28.28kN,FAX=-20kN,F4y=-lOkN

小結(jié)

本節(jié)課主要介紹了:

1、平面隨意力系的平衡方程與其應(yīng)用。

2、平面隨意力系和特別狀況一平面平行力系的平衡方程與應(yīng)用。

3、對(duì)由實(shí)際工程經(jīng)抽象簡化后的力學(xué)問題應(yīng)先鑒定它是靜定還是靜不定問

題。

4、駕馭物體系統(tǒng)平衡問題的解題方法，理解可解條件與其確定方法。

第10講摩榛

目的與要求

1、能區(qū)分滑動(dòng)摩擦力與極限摩擦力，對(duì)滑動(dòng)摩擦定律有清楚的理解。

2、理解摩擦角的概念和自鎖現(xiàn)象

3、能嫻熟地用解析法計(jì)算考慮摩擦力存在的物體的平衡問題。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1、滑動(dòng)摩擦力和最大的靜滑動(dòng)摩擦力

2、擦角的概念和自鎖現(xiàn)象

3、平衡的臨界狀態(tài)和平衡范圍

4、用解析法求解有摩擦力存在的平衡問題

滑動(dòng)摩擦

次二0—FS=FT

靜滑動(dòng)摩擦力的特點(diǎn)

1方向：沿接觸處的公工K

與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)反向；f電-Y

2大?。骸?,不曲

3。優(yōu)（庫侖摩擦定律）

動(dòng)滑動(dòng)摩擦的特點(diǎn)：

方向沿接觸處的公切線，與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)反向;

大小:

fd^fs（對(duì)多數(shù)材料，通常狀況下）

摩擦角和自鎖現(xiàn)象

物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，\以：

全約束力和法線間的夾角.

摩擦角

全約束力和法線間的夾角的

正切等于靜滑動(dòng)摩擦系數(shù).

摩擦錐（角）Q耶必回囪回回

2自鎖現(xiàn)象

\弘：/

考慮摩擦力的平衡問題

小結(jié)：

本節(jié)課重點(diǎn)探討了有摩擦?xí)r物體的平衡問題的解析法與應(yīng)用，應(yīng)留意：0

《F《Fmax,由于F是個(gè)范圍值，即問題的解答也是個(gè)范圍值，要實(shí)行兩

種方式分析這個(gè)范圍1、以F=Fmax=fN,作為補(bǔ)充方程求解平衡范圍

的極值1、以F《fN不等式進(jìn)行運(yùn)算。

作業(yè)

第12講第6章空間力系

§6-1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

§6-2重心

目的與要求

1、能嫻熟駕馭空間力簡化與平衡

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

§6-1空間一般力系

當(dāng)蜃。0,丸=0最終結(jié)果為一個(gè)合力.

合力作用點(diǎn)過簡化中心.

M

最終結(jié)果為一合力.合力作用線距簡化中心為；o

d二

§6-2空間隨意力系的平衡方程

空間隨意力系平衡的充要條件：該力系的主矢、主矩分別為零.

1.空間隨意力系的平衡方程

再對(duì)X軸用合力矩定理

-P^C=-Pl'Zl-P2'Z2---Pn?2〃=-^月.Z,

Zc~^T

則計(jì)算重心坐標(biāo)的公式為

%=華/=平%=牛(4-14)

對(duì)均質(zhì)物體，均質(zhì)板狀物體，有

稱為重心或形心公式

2.確定重心的懸掛法與稱重法

(1)懸掛法

圖a中左右兩部分的重量是否肯定相等?

例

6=3。"

已知：物重P-10kN

求：桿受力及繩拉

解：畫受力圖如圖，列平衡方程

好=。

月sin45—F2sin45=0

Ng=。Zg=o

&sin30-6cos45cos30cos45cos30=0

Feos45sin30+geos45sin30+F,cos30-P=0

結(jié)果：￡=￡=3.54kNFA=8.66kN

小結(jié)：

本節(jié)課主要介紹了：

1、空間力沿空間直角坐標(biāo)的平衡

2、能嫻熟運(yùn)用組合法、負(fù)面積法求物體的重心

作業(yè)

第13講笫7章軸向拉伸與壓縮

內(nèi)容：

材料力學(xué)引言

軸向拉伸與壓縮的概念

軸向拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力一軸力

目的與要求：

理解構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的概念；了解材料力學(xué)的任務(wù)、

探討對(duì)象、基本假設(shè)以與桿件變形的四種基本形式；理解內(nèi)力和應(yīng)

力的概念，了解截面法；了解直桿在軸向拉伸或壓縮時(shí)的受力特點(diǎn)

和變形特點(diǎn)，會(huì)推斷工程實(shí)際中的拉壓桿并畫出其計(jì)算簡圖；能

嫻熟應(yīng)用截面法或軸力計(jì)算規(guī)則求軸力并繪制軸力圖。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：拉（壓）桿橫截面上的軸力。

引言：1材料力學(xué)的任務(wù)：①強(qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性

在保證滿意強(qiáng)、剛度、穩(wěn)定性的前提下以最經(jīng)濟(jì)的代價(jià)，為構(gòu)件選材、

確定合理的形態(tài)和尺寸，為設(shè)計(jì)構(gòu)件供應(yīng)必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。

2、材料力學(xué)的基本假設(shè)：

①連續(xù)性假設(shè)②勻稱性假設(shè)③各向同性假設(shè)④微小變形假

③完全彈性假設(shè)

3、桿件基本變形

①拉壓②剪切③彎曲④扭轉(zhuǎn)③組合變形

軸向拉伸與壓縮的概念

1.概念

2.實(shí)例

AB桿受壓、BC桿受拉

基本變形一（軸向）拉伸、壓縮

載荷特點(diǎn)：受軸向力作用來，

■I—i--卜?一_>

B

變形特點(diǎn)：各橫截面沿軸向做平動(dòng)

內(nèi)力特點(diǎn)：內(nèi)力方向沿軸向,簡稱軸力FNFN=P

m

T=:

七一F|_?K其中:

軸力正負(fù)規(guī)定：軸力與截面法向相同為正

7-2截面法軸力軸力圖

、截面上的內(nèi)力

橫截面上內(nèi)力計(jì)算-裁面法

二、截面法步驟：“截、留、代、平”

三、軸力與軸力圖

①桿件橫截面上的內(nèi)力的合力成為軸力，規(guī)定：離開截面（受拉）為正，指

向截面（受壓）為負(fù)。

②軸力圖：為了表示截面上的軸力沿軸線的變更狀況用軸力圖來如

圖14-1-4小結(jié)：

1、強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的概念；

2、材料力學(xué)的任務(wù)、變形固體的變形性質(zhì)與基本假設(shè)；

3、桿件變形的四種基本形式；

4、軸向拉伸與壓縮的概念；

5、內(nèi)力、截面法、軸力圖的概念;

6、軸力的計(jì)算規(guī)則。

作業(yè)：

第14講

內(nèi)容：§7—3、軸向拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力

§7—4、軸向拉伸與壓縮時(shí)的變形，胡克定律

目的與要求：

駕馭直桿在拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算；理解拉壓胡克定律與其運(yùn)

用條件。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力；胡克定律，拉（壓）桿的變

形計(jì)算。

§7—3、軸向拉伸與壓縮時(shí)橫截面上的應(yīng)力

單位面積上內(nèi)力的大小,稱為應(yīng)

力

平均應(yīng)力Pm,如圖所示

”---4

oFw

A

一、應(yīng)力的概念

2、橫截面上的正應(yīng)力

①（略）

②應(yīng)用舉例（參照教材P113頁例7-37-4）

3、斜截面上的應(yīng)力

將斜截面上的應(yīng)力？可分解為正應(yīng)力4和切應(yīng)力％即

2

<ya-Pacosa-<yacosa

T-Psina=<rcosasina=—sinla

\.a-(W,%=er、ra-0;

探討2.a=45。時(shí),%=6、%=S

22

3.a=90°時(shí)，%=0、Ta=0.

國7—13

§7—4、軸向拉伸與壓縮時(shí)的變形，胡克定律

二、胡克定律

即：a=EE

稱為胡克定律，E為彈性模量，常用單位：Gpa（吉帕）

即：T=EY

此為剪切胡克定律，G為切變模量，常用單位：GPa

a=Es

胡克定律另一種表達(dá);

其中E為彈性模量，￡為縱向線應(yīng)變

3、橫向線應(yīng)變、泊松比

①橫向線應(yīng)變￡，=絲=j

bb

拉伸時(shí)，￡>O,，vO；壓縮時(shí)，￡<0,￡，>0。

②泊松比〃=14

4、應(yīng)用舉例（略）

小結(jié):

1、正應(yīng)力計(jì)算公式；

2、胡克定律。

作業(yè)：

P138頁7-67-8

第15講

內(nèi)容：§7—5、材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能

§7—6、軸向拉壓時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

目的與要求：

了解塑性材料和脆性材料的力學(xué)性能，駕馭強(qiáng)度計(jì)算的方法。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：材料的力學(xué)性能，強(qiáng)度計(jì)算。難點(diǎn)：強(qiáng)度條件

§7—5、材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能

一、拉伸試驗(yàn)

1.試樣：①圓形試樣

Lc

矩形截面試樣

2拉伸曲線：①低碳鋼

變形階段：A彈性階段

B屈服階段

C強(qiáng)化階段

D局部變形階段

②其他材料（略）

□鑄鐵等脆性材料在拉伸時(shí)，變形很小，應(yīng)力應(yīng)變曲線圖沒有

明顯的直線部分，通常近似認(rèn)為符合胡克定律。其抗拉強(qiáng)度

。6是衡量自身強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。

脆性材料拉伸

應(yīng)力應(yīng)變圖

材料的塑性指標(biāo)

①伸長率3=寧、100%

0斷面收縮率5=號(hào)*100%

3.冷作硬化現(xiàn)象

4.材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能

§7—6、軸向拉壓時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

一、極限應(yīng)力、許用應(yīng)力、平安系數(shù)

1、極限應(yīng)力吸

2、許用應(yīng)力[可

3、平安系數(shù)n

二、強(qiáng)度條件：<7=—<[cr]

三、強(qiáng)度計(jì)算的三類問題

1,強(qiáng)度校核

2,許用載荷的確定

3,截面尺寸的確定

四、應(yīng)用實(shí)例

參照教材P126—127頁例7-77-8

小結(jié)：

1、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能；

2、低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能；

3、鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能；

4、鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能。

作業(yè)：

P139頁：7-127-137-14

第16講內(nèi)容：§7—7、拉伸與壓縮靜不定問題簡介

§7—8、應(yīng)力集中的概念

目的與要求：

了解應(yīng)力集中的概念；了解拉伸與壓縮靜不定問題。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn):

難點(diǎn)：拉伸與壓縮靜不定問題

§7-7,拉伸與壓縮靜不定問題簡介

一、靜不定問題的概念

二、求解靜不定問題的方法

方法：依據(jù)變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)足方程。

步驟：1、列靜力學(xué)平衡方程

2、由變形幾何關(guān)系列變形協(xié)調(diào)方程

3、利用物理關(guān)系補(bǔ)足方程

4、將補(bǔ)足方程與靜力學(xué)方程聯(lián)立求解。

舉例應(yīng)用（略）

三、裝配應(yīng)力

四、溫度應(yīng)力

§7—8、應(yīng)力集中的概念（略）

小結(jié)：

1、應(yīng)力集中的概念；

2拉伸與壓縮靜不定問題。

作業(yè):

P139頁7-117-19

笫8章剪切與擠壓

第17講

內(nèi)容：§8—1、剪切的概念

§8—2、剪切的好用計(jì)算

§8-3、切應(yīng)變，剪切胡克定律

目的與要求：

要求明確剪切的概念，了解受剪聯(lián)接件的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)；能嫻熟

地確定剪切面和剪力；駕馭常見受剪聯(lián)接件的剪切好用計(jì)算；了解剪切變形的

概念，理解剪切胡克定律與其應(yīng)用條件。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：剪切的概念；剪切的強(qiáng)度條件與其好用計(jì)算。

8lo1剪切的概念

□工程上常用于聯(lián)結(jié)構(gòu)件的螺栓、鉀釘、銷釘和鍵等稱為聯(lián)結(jié)

件

□常見聯(lián)結(jié)件的失效形式:

剪切和擠壓

□連接件的假定計(jì)算:

。假定應(yīng)力是勻稱分布在剪切面和積壓面上

F昌m

m!5-F

圖17-18d)

'S17-18c)

剪切的受力特點(diǎn):作用在桿件兩側(cè)面上且與軸線垂直的外力合力的大小相等、

方向相反作用線很近。是桿事

件兩部分沿中間截面在作用

F-taL"

力方向上發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。MiF

圖17-18d)

'圖17-18c)

計(jì)算實(shí)例

假定：切應(yīng)力勻稱分布在剪切面上

擠壓強(qiáng)度條件舉例

擠壓的假定計(jì)算

Abc-bD

積

信觸面為平面

跡蟲面為曲面

□擠壓應(yīng)力

□擠壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則巴一*工3J

Ac

小結(jié):

1、剪切的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn);2、剪切的強(qiáng)度條件;

3、剪切胡克定律。

作業(yè)：P150頁8-28-5

第18講笫9章圓軸的扭轉(zhuǎn)

§9—1、扭轉(zhuǎn)的概念

§9—2、扭矩，扭矩圖

目的與要求：

明確扭轉(zhuǎn)構(gòu)件的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)，會(huì)判別工程實(shí)際中的受扭構(gòu)件并畫出

其計(jì)算簡圖；能嫻熟駕馭外力偶矩、扭矩的計(jì)算和繪制扭矩圖。

重點(diǎn)、難點(diǎn):

重點(diǎn)：扭矩的計(jì)算；扭矩圖的繪制。

§9-1扭轉(zhuǎn)的概念

實(shí)例

二、1、受力特點(diǎn)：桿件兩端分別作用大

小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面均垂直

于干的軸線的兩個(gè)力偶的作用。

2、變形特點(diǎn)：橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)

§9—2、扭矩，扭矩圖

□一、外力偶距的計(jì)算

□|M1=9550-3

n

二、扭矩與扭矩圖

1、內(nèi)力：作用面與橫截面重合的一個(gè)力偶,

稱為扭矩T

2、內(nèi)力的求解一一截面法:

扭矩圖;一仿照軸力圖的畫法，畫出扭矩沿軸線的變更，就是扭矩

圖。

如圖，主動(dòng)輪A的輸入功率PA=36kW,從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分

別為PB=PC=llkW,PD=14kW,軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min.試畫出傳動(dòng)軸

的扭矩圖

MBTI

按

a)

圖14-2

er二、扭矩33

按3、扭截轉(zhuǎn)變形后各個(gè)橫截面仍為平面3、33,而且其大小、形

態(tài)以=小結(jié):

1、扭轉(zhuǎn)的概念;

2、扭矩的概念與計(jì)算規(guī)則;

3、扭矩圖的繪制。

作業(yè)：P128頁9-3>4

第19講§9-3純剪切剪

純切應(yīng)力

切胡克定律,,T工

一、純剪切「上，

(a)(b)

1、單元體一一用相鄰兩橫截面、兩

縱向

截面與軸表面平行的兩圓弧面，從扭轉(zhuǎn)變

形的桿內(nèi)截出一微分六面體。

有單元體的平衡條件可得：兩平面內(nèi)切應(yīng)力等值反向，形成一對(duì)力偶。

2、純剪切一一若單元體的量對(duì)相互垂直的平面上只有切應(yīng)力，而另一對(duì)

平面上沒有任何應(yīng)力的剪切。

二、切應(yīng)力互等定理

依據(jù)單元體的平衡方程可得出/

結(jié)論：在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必定成對(duì)存在；兩者都垂直于

兩平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。這就是切應(yīng)力互

等定理。

三、胡克定理

當(dāng)切應(yīng)力不超過剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力余切應(yīng)變成正比。即7=6/.

§9-4園軸扭轉(zhuǎn)是的切應(yīng)力與強(qiáng)度條件

一、園軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力

1、變形幾何關(guān)系

①平面假設(shè)：原位平面的橫截面變形后仍為

③到圓心距離為P處de切應(yīng)變y.=p效

dx

2、物理關(guān)系r=Gy=^P~T~

dx

a)

3、靜力學(xué)關(guān)系

橫截面上的扭矩為T==

其中/=Jp2dA稱為極慣性矩。

產(chǎn)jA

4、應(yīng)力計(jì)算?=?=4一（也

Ipp/I

/P

其中％="稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)

二、極慣性矩與扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)

1_兀D&

1、圓形截面”32

2、空心截面園軸

三、強(qiáng)度條件與剛度條件

1、強(qiáng)度條件r=^-<[r]

*

強(qiáng)度計(jì)算的三類問題①強(qiáng)度校核②許可載荷的確定

③截面尺寸的確定。

2、剛度條件0mm=^-—<[r]

Glp兀

小結(jié)：

1、切應(yīng)力計(jì)算公式，橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律；

2、扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式；

3、強(qiáng)度、剛度條件。

作業(yè)P164頁9-10、13

第20講笫10章彎曲內(nèi)力

內(nèi)容：§10—1、平面彎曲的概念§10-2梁的計(jì)算簡圖

§10-3、梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力一剪力與彎矩

目的與要求：

理解平面彎曲的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)，會(huì)判別工程實(shí)際中的受彎構(gòu)件并將其

簡化為梁的計(jì)算簡圖；駕馭剪力和彎矩的計(jì)算。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：平面彎曲的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)，剪力和彎矩的計(jì)算。

§10—1、平面彎曲的概念

一、實(shí)例

二、概念、1、縱向?qū)ΨQ

軸2、縱向?qū)ΨQ面

§10-2梁的計(jì)算簡圖

一、支承的簡化

1、固定端2、固定較支座3活動(dòng)錢支座

二、梁的分類

1、簡支梁

簡支梁

2、外伸梁

外伸梁

3、懸臂梁

qP

B

懸臂梁

§10-3、梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力一剪力與彎矩

一、內(nèi)力分析

存在于橫截面上的內(nèi)力為剪力和

彎矩。其求解方法與求

拉壓變形的軸力、扭轉(zhuǎn)變形的扭矩一

樣，也運(yùn)用截面法。

基本要領(lǐng)：截、留、代、平

二、用截面法求內(nèi)力符號(hào)的規(guī)定

十六字口訣：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。

三、應(yīng)用實(shí)例教材中P173頁例10-1、2

小結(jié)

作業(yè)P183頁10-2a、c、g、10-3c、e、g、

第21講§10-4剪力圖與彎距圖

一、剪力方程與彎矩方程

1.剪力方程

2.彎矩方程-

二、求解實(shí)例

教材P175頁例10-3、4、5、6、7

§10-5彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系

一、彎矩、剪力與載荷集度之間的關(guān)系

經(jīng)分析：有以下關(guān)系①。(、)=粵口②&(x)=9警

gna(x\=%(x)=44M(叫=儲(chǔ)M(x)

dxdx、dx,dx2

由以上積分關(guān)系可得結(jié)論：對(duì)分布載荷某處的載荷集度等于該處剪

力的一階導(dǎo)數(shù)，等于該處彎矩的二階導(dǎo)數(shù)。

二、推論

1、彎矩圖、剪力圖曲線的斜率分別與載荷的集度一一對(duì)

應(yīng)。

2、在集中力作用處，剪力有突變，其突變量等于集中力

的數(shù)值，且剪力圖上數(shù)值的變更方向與集中力的方向

一樣。在集中力作用處，彎矩圖的斜率有突變，彎矩

圖出現(xiàn)尖角，發(fā)生轉(zhuǎn)折。

3、在集中偶力作用處，剪力無突變，彎矩有突變，其

突變量等于集中力偶的距數(shù)值，且集中力偶距順時(shí)針

方向，彎矩驟升、反之驟降。

4、若剪力圖中月.（力=0處。彎矩取極值、

四、舉例計(jì)算（略）

小結(jié)1、剪力方程和彎矩方程；

2、剪力、彎矩與載荷集度的關(guān)系；

3、剪力圖和彎矩圖的作圖規(guī)律。

作業(yè)P185頁10-3a、d、e

第22講笫11章彎曲應(yīng)力

§11-1梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力

目的與要求：

了解純彎曲與橫力彎曲的區(qū)分，理解中性層和中性軸的概念，了

解慣性矩和抗彎截面系數(shù)的物理意義并駕馭其計(jì)算；嫻熟駕馭梁橫

截面上正應(yīng)力分布規(guī)律、正應(yīng)力計(jì)算公式。

重點(diǎn)、難點(diǎn):

重點(diǎn)：中性層和中性軸的概念；慣性矩和抗彎截面系數(shù)的計(jì)算；彎曲正應(yīng)

力計(jì)算。

一、梁的純彎曲

1純彎曲一一只存在彎矩而沒有剪力的彎曲

2橫力彎曲一一又剪力和彎矩的彎曲

二、正應(yīng)力的分布規(guī)律

1、變形的幾何關(guān)系

①平面假設(shè)：原為平面的橫截

面變形后任然為平面，且仍垂直

于變形后梁

的軸線，只是繞橫截面內(nèi)某

軸線旋轉(zhuǎn)一角度。

0中性層、中性軸的概念

③變形特點(diǎn)：對(duì)如圖變形

中性層以上縮短，即上部受壓;中性層以下伸長，即下部受拉

④縱向線應(yīng)變

b'b'—dx(z7+y^d3—pd3y

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