江西省上饒市余干縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月檢測數(shù)學(xué)試卷

江西省上饒市余干縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月數(shù)學(xué)檢測卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知直線與平行，且過點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．22．若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（

）A． B．C． D．3．已知雙曲線以兩個坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)和，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知在四面體中，，，，，為BC的中點(diǎn)，若.則（

）

A． B． C． D．36．如圖，在正方體中，M為線段的中點(diǎn)，N為線段上的動點(diǎn)，則直線與直線所成角的正弦值的最小值為（

）

A． B． C． D．7．將1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)隨機(jī)地排成一個數(shù)列、記第i項(xiàng)為，若，，，則這樣的數(shù)列共有（

）A．70個 B．71個 C．80個 D．81個8．已知的展開式第3項(xiàng)的系數(shù)是60，則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是（

）A．-1 B．1 C．64 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．與有相同離心率的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一定是B．過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則C．設(shè)，點(diǎn)是橢圓上任意點(diǎn)，則有最大值無最小值D．設(shè)圓，圓上任意點(diǎn)向橢圓引切線，則兩切線互相垂直10．如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．直線與所成角的余弦值為C．平面 D．直線與平面所成角為11．學(xué)校要安排一場文藝晚會的11個節(jié)目的演出順序，第1個節(jié)目和最后1個節(jié)目已確定，其余9個節(jié)目中有4個音樂節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目，2個曲藝節(jié)目，則（

）A．若要求4個音樂節(jié)目排在一起，則有種不同的排法B．若要求曲藝節(jié)目甲必須在曲藝節(jié)目乙的前邊，則有種不同的排法C．若要求3個舞蹈節(jié)目不能排在一起，則有種不同的排法D．若要求音樂節(jié)目、舞蹈節(jié)目、曲藝節(jié)目分別相鄰演出，則有種不同的排法三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知圓上兩點(diǎn)滿足，則的最小值為．13．已知，其中若，則.14．若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，且的系數(shù)為80，則實(shí)數(shù)的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15．（13分）已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn)．(1)過點(diǎn)P作圓C的切線l，求出l的方程；(2)設(shè)A為圓C上的動點(diǎn)，G為三角形APQ的重心，求動點(diǎn)G的軌跡方程．16．（15分）雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,(1)求的離心率；(2)若在第一象限，在軸的負(fù)半軸是否存在定點(diǎn)使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.17．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.過拋物線上一點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).已知是邊長為4的等邊三角形.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，拋物線上有兩點(diǎn)位于軸同側(cè)，且直線和直線的傾斜角互補(bǔ).求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).18．（15分）如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，，分別為棱和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.19．（17分）三個女生和五個男生排成一排．(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？(5)如果男生甲、乙之間必須排兩個女生，可有多少種不同的排法？參考答案1．D【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求出，將代入直線求出即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，又直線過，則，解得，經(jīng)驗(yàn)證與不重合，所以.故選：D.2．C【分析】運(yùn)用弦長結(jié)合垂徑定理求出圓的半徑即可.【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，依題意，因?yàn)楣蕓CD|=3，從而，圓的半徑為故所求圓的方程為即故選：C3．B【分析】設(shè)曲線方程，帶入點(diǎn)坐標(biāo)得到等量關(guān)系，由漸近線方程的公式即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線：，點(diǎn)和在曲線上，∴，兩式相減可得，即.∴漸近線方程為：，故選：B.4．B【分析】（方法一）首先求出拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，再根據(jù)拋物線的定義知，，從而求出的最小值即可.（方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可.【詳解】（方法一）

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0，設(shè)直線的方程為：，不妨設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又AF=x1則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.故選：B.（方法二）由方法一可得，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.故選：B.5．B【分析】根據(jù)空間向量的基本定理與應(yīng)用即可求解.【詳解】因?yàn)?，為BC的中點(diǎn)，所以，又，則，，，所以.故選：B.6．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，通過表示出點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)量積求出夾角余弦值的范圍，進(jìn)而得出答案.【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為2，

則，，，設(shè)得：，所以，，由，所以，當(dāng)時，等號成立，則，即異面直線與MN所成角的正弦值的最小值為.故選：C.7．B【分析】先分類，再分步，根據(jù)加法原理以及乘法原理、組合數(shù)即可求解.【詳解】若，則這樣的數(shù)列有個；若，則這樣的數(shù)列有個；若，則這樣的數(shù)列有個，所以滿足條件的數(shù)列共有個，故選：B．8．B【分析】首先根據(jù)題意求出的值，然后在中令即可求解.【詳解】由題意，注意到是正整數(shù)，所以解得，則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是.故選：B.9．BD【分析】由離心率的定義可得A正確；設(shè)過的直線方程為，Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立橢圓方程，得到韋達(dá)定理，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式化簡可得B正確；由橢圓的定義得到【詳解】對于A，橢圓的離心率，若橢圓方程為：，則其離心率也為12，但該方程不是的形式，故A錯誤；對于B，設(shè)過的直線方程為，Ax1,y聯(lián)立，消去可得，，，，同理，所以，故B正確；對于C，由橢圓的定義可得，所以，當(dāng)三點(diǎn)不共線時，，共線時，所以有最大值，有最小值，故C錯誤；對于D，設(shè)圓上任意點(diǎn)，當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則切線方程為，代入橢圓方程，所以，整理可得，所以，又，所以，當(dāng)斜率不存在時，顯然垂直，故D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B、D的關(guān)鍵在于直曲聯(lián)立時化簡較為麻煩，計算量較大.10．ABD【分析】通過建立空間的一組基底，將相關(guān)直線的方向向量用基向量表示，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長判斷A項(xiàng)；利用空間向量的夾角公式計算判斷B項(xiàng)；利用向量的數(shù)量積是否為0判斷C項(xiàng)；通過求平面的法向量和空間向量的夾角判斷D項(xiàng).【詳解】不妨設(shè)則.對于A，因,故，故，故A正確；對于B，因，,則，，設(shè)直線與所成角為，則故B正確；對于C，因，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯誤；對于D，因，,因，，則有因平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.11．BC【分析】對于排列問題，相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，定序問題倍縮法，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對A：先將4個音樂節(jié)目全排列，有種排法；再把音樂節(jié)目捆綁和舞蹈、曲藝看作6個節(jié)目，進(jìn)行全排列，有種排法，所以共有種排法，A錯誤；對B：先從9個位置中選7個位置排好音樂和舞蹈節(jié)目，有種排法；再排曲藝節(jié)目，只有一種排法，所以共有種排法，B正確；對C：先排音樂和曲藝節(jié)目，有種排法；再把3個舞蹈節(jié)目排在空位中，有種排法，所以共有種排法，C正確；對D：先把它們各自排列并捆綁，各自有種排法，再把它們看做三個元素進(jìn)行全排列，有種排法，所以共有種排法，D錯誤．故選：BC12．5【分析】設(shè)弦的中點(diǎn)為,由題意推出動點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，再將所求式理解為點(diǎn)Ax1,y1到直線的距離的5倍與點(diǎn)Bx2,y2到直線的距離的5倍的和，結(jié)合圖形，證明當(dāng)且與小圓相切時得到的的5倍即所求式的最小值.【詳解】設(shè)弦的中點(diǎn)為，則因點(diǎn)Ax1,y1,B于是，即動點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.設(shè)，則可將其理解為點(diǎn)Ax1,y1到直線的距離設(shè)，可將其理解為點(diǎn)Bx2,y2到直線的距離的故要求的最小值，可先求的最小值.如圖，，且的距離為4，過點(diǎn)作，交小圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作小圓的切線，交大圓于點(diǎn),分別交直線于點(diǎn)，在小圓上任取點(diǎn)，過點(diǎn)作小圓的切線交大圓于點(diǎn)，分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)過點(diǎn)作的平行線與過點(diǎn)與垂直的直線交于點(diǎn).則,易得,，下面說明圖中的即的最小值，最小值為，此時的最小值為5，即的最小值為5.理由：因，而,故，即為的最小值.故答案為：5.13．【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計算，即可求解.【詳解】由題意可得，，，則.故答案為：14．-【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和先求，再利用通項(xiàng)得到的指數(shù)確定值，由的系數(shù)為，建立關(guān)于的方程求解可得.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，解得.所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，由，解得，所以的系數(shù)為，解得.故答案為：.15．(1)或；(2)．【分析】（1）分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況求解即可；（2）設(shè)，，結(jié)合重心的性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合A為圓C上的動點(diǎn)求解即可.【詳解】（1）由C：，則圓心，半徑，當(dāng)切線l的斜率不存在時，直線l的方程為，符合題意；當(dāng)切線l的斜率存在時,則設(shè)切線l的方程為，即，所以，解得，此時切線l的方程為，即.綜上所述，切線l的方程為或.（2）設(shè)，，因?yàn)椋?，G為三角形APQ的重心，所以，即，由A為圓C上的動點(diǎn)，得，則，整理得，即動點(diǎn)G的軌跡方程為．16．(1)(2)存在，且點(diǎn)【分析】（1）求出，根據(jù)可得出關(guān)于、的齊次等式，即可解得雙曲線的離心率；（2）假設(shè)在軸的負(fù)半軸上存在定點(diǎn)，使得，設(shè)點(diǎn)Px0,y0，由已知條件可得出，利用二倍角的正切公式化簡可得出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，則，可得，則，又因?yàn)?，由可得，可得，解得，此時，雙曲線的離心率為.（2）解：由（1）可知，，則，，所以，雙曲線的方程可化為，設(shè)點(diǎn)，其中，，且，若在軸的負(fù)半軸上存在定點(diǎn)，使得，且，，因?yàn)?，則，即，整理可得，所以，，解得，因此，在軸的負(fù)半軸上存在定點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題第（2）問的關(guān)鍵在于根據(jù)二倍角的正切公式得出關(guān)于的等式，利用恒成立思想得出關(guān)于的方程組求解.17．(1)(2)證明見解析，【分析】（1）記準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，在中，求出焦準(zhǔn)距，即可求解拋物線方程.（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，韋達(dá)定理，根據(jù)傾斜角互補(bǔ)即斜率之和為0，化簡求得，即可得解.【詳解】（1）如圖，記準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，在中，，所以.故拋物線.（2）因?yàn)榇怪庇谳S的直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，所以必有斜率，設(shè)，由且，因?yàn)槲挥谳S同側(cè)，所以，則，由得，所以，又點(diǎn)F0,1，直線和的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以，所以，即，解得，所以直線恒過定點(diǎn).18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明，由線線平行即可推得線面平行；（2）取上的四等分點(diǎn)，滿足,取的中點(diǎn),連接,通過證得推得四點(diǎn)共面，由題設(shè)證明平面，從而完成建系，不妨取，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，計算兩平面的法向量坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式即可求得.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，在中，因是的中點(diǎn)，故，且.在三棱柱中，且，又為棱的中點(diǎn)，故得，且，故得，則有，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由題意，三棱柱中所有棱長都相等，則與都是等邊三角形，如圖，取上的四等分點(diǎn)，滿足,取的中點(diǎn),連接,則,易知,且，故可得，則有，故有則四點(diǎn)共面.因平面平面，平面平面，且平面平面可得平面，又.故可建立以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系.不妨取，則，由可解得則有，，，則,設(shè)平面法向量為，則，取，可得，，故為平面的一個法向量，因平面，故為底面的一個法向量，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.19．(1)4320(2)14400(3)14400(4)36000(5)1440【分析】（1）利用捆綁法進(jìn)行求解；（2）插空法進(jìn)行求解；（3）方法一，先安排兩端的位置，剩余位置進(jìn)行全排列，得到答案；方法二，間接法進(jìn)行求解，先安排三個女生和五個男生排成一排的總數(shù)，再減去不合要求的方法數(shù)；方法三，先從中間六個位置挑選三個讓三個女生排入，再考慮其他位置，從而得到答案；（4）分首位排了男生和首位排了女生兩種情況，分別求出方法數(shù)，相加后得到答案‘（5）安排好男生甲、乙，再安排甲和乙之間的兩個女生，再把甲、乙及中間兩個女生看成一個整體捆綁在一起，和另外四人排成一隊(duì)，利用全排列知識求出答案.【詳解】（1）（捆綁法）因?yàn)槿齻€女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有種不同的排法，對于其中的每一種排法，三個女生之間又有種不同的排法．因此共有（種）不同的排法．（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰，由于五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個