查補培優(yōu)沖刺01 三角形與四邊形綜合壓軸（原卷版）

查補培優(yōu)沖刺01.三角形與四邊形綜合壓軸三角形與四邊形是幾何圖形中的基本圖形，在中考數(shù)學(xué)的考查中怎能讓這兩個大內(nèi)容缺席。在江蘇地區(qū)中考試題中，對這兩個大內(nèi)容的考查形式不盡相同，有以選擇題或填空題單獨考查的，有將兩個內(nèi)容放在一個解答題中綜合考查的，也有一些地方將三角形與四邊形壓軸題目考查的。題型一：三角形綜合壓軸（選填題）題型二：四邊形綜合壓軸（選填題）題型三：三角形與四邊形綜合（傳統(tǒng)解答證明壓軸）題型四：三角形與四邊形綜合（動態(tài)幾何壓軸）題型五：三角形與四邊形綜合（存在性、探究性壓軸）題型一：三角形綜合壓軸（選填題）此類題型主要以三角形為背景結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定、翻折與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識一起考查，添加輔助線構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解答的關(guān)鍵。例1．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，中，，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，線段與線段相交于點E，若，則的長為．變式1．（2024·江蘇連云港·一模）正方形的邊長是6，點E是邊延長線上一點，連接，過點A作，交的延長線于點，則的長為．變式2．（2023·浙江金華·三模）如圖，在中，于點，為上一點，且，，連接，若為的中點，則．題型二：四邊形綜合壓軸（選填題）此類題型主要以四邊形為背景結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定、翻折與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識一起考查，添加輔助線構(gòu)造全等三角形、相似三角形是解答的關(guān)鍵。例1．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，點O是正方形的中心，．中，過點D，分別交于點G，M，連接．若，則的周長為．變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，正方形的邊長為2，點是正方形對角線所在直線上的一個動點，連接，以為斜邊作等腰（點A，E，F(xiàn)按逆時針排序），則長的最小值為（）A． B．1 C． D．2變式2．（2023·浙江紹興·三模）矩形中，，，連接，，分別在邊，上，連接，分別交于點，，若，，則的長為．題型三：三角形與四邊形綜合（傳統(tǒng)解答證明壓軸）常見考點：直角、等腰、全等、相似三角形的性質(zhì)與判定；特殊的四邊形的性質(zhì)與判定；勾股定理與逆定理；銳角三角形函數(shù)；線段的垂直平分線與角平分線的性質(zhì)等。常見切入點：（1）尋找相關(guān)的基本模型或基本圖形；（2）緊扣不變量，并善于使用前面問題中所用的方法、結(jié)論；（3）不會做，找相似（全等）；有相似（全等），用相似（全等）；（4）在題目中尋找更多的信息，并加以運用。例1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知是等腰直角三角形，，．(1)當(dāng)時，①將一個直角的頂點放至的中點處（如圖①，兩條直角邊分別交、于點、，請說明為等腰直角三角形；②將直角頂點放至邊的某處（如圖②，與另兩邊的交點分別為點、，若為等腰直角三角形，且面積為4，求的長．(2)若等腰三個頂點分別在等腰的三邊上，等腰的直角邊長為1時，求等腰的直角邊長的最大值．變式1．（2024·江蘇蘇州·一模）（1）問題解決：如圖1，點在一條直線上，，求證：；（2）問題探究：在（1）的條件下，若點為的中點，求證：；（3）拓展運用：如圖2，在中，，點是的內(nèi)心，若，求的長．變式2．（2024·江蘇常州·一模）已知中，，，，點D是邊上的一個動點（不與點A、B重合），點F是邊上的一點，且滿足，過點C作交的延長線于點E．(1)如圖1，若，則__________；(2)如圖2，連接，若，求的長；(3)過點C作射線的垂線，垂足為H，射線與射線交于點Q，若是以為腰的等腰三角形，求的長．

例2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，已知正方形，點是邊上的一個動點（不與點、重合），點在上，滿足，延長交于點．(1)______；(2)連接．①當(dāng)時，求的值；②如果是以為腰的等腰三角形，求的正切值．變式1．（2023·江蘇鹽城·一模）（1）如圖1，在矩形中，為邊上一點，連接，若，過C作交于點F，①求證：；②若時，則．（2）如圖2，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．（3）如圖3，在平行四邊形中，，，，點E在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．

變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）已知矩形中，是的中點，于點．(1)如圖，若，求的值；(2)如圖，連接交于點，若，求的值；(3)如圖，延長交于點，若點恰好為的中點，過作交于，設(shè)的面積為，的面積為，則的值為．題型四：三角形與四邊形綜合（動態(tài)幾何壓軸）從歷年中考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動點，動直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進行考察。例1．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，，點A、B分別在、上運動(不與點O重合)，是的平分線，的反向延長線交的平分線于點D．(1)隨著點A、B的運動，的大小會變嗎？如果不會，求的度數(shù)；如果會，請說明理由．(2)如圖1，若與相交于點E，連接，當(dāng)，時，求的度數(shù)及的長度．(3)如圖2，當(dāng)點B在上固定不動，且長度為6，點F為上一定點，，若點G為過三點A、B、D的圓的圓心，當(dāng)點A從點O運動到F點，點G也隨之運動，直接寫出點G的運動路徑長．變式1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點與點重合）平移至終止位置（點與點重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是．變式2．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，已知矩形的邊，點是邊BC上的動點，線段的垂直平分線交矩形的邊于點，其中點在邊AB或BC上，點在邊CD或DA上．

(1)如圖時，求的長度；(2)當(dāng)是等腰三角形時，求能取到的值或取值范圍；(3)當(dāng)動點由點運動到點的過程中，求點的運動路程長為多少？題型五：三角形與四邊形綜合（存在性、探究性問題）中考加大了對考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。對于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的。例1．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(4)求的最大值．

變式1．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖1，在中，，點在邊上由點向點運動（不與點重合），過點作，交射線于點．(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點在線段的延長線上且；②點在線段上且．(2)若．①當(dāng)時，求的長；②直接寫出運動過程中線段長度的最小值．例2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖1，在菱形中，點P是對角線上一點，連接和，在射線上取點E，使得，射線交射線于點Q，設(shè)．(1)如圖2，若，連接，交于點O，求證：；(2)【探究】如圖3，若，，請畫出圖形，并求的值；【歸納】若，的值為______．（用含k、α的表達(dá)式表示）變式2．（2024·成都·一模）如圖，在矩形中，平分交于點E．連接，點F是上一動點，過點F作CE交于點G．將繞點B旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖1，連接，求證：；(2)當(dāng)點恰好落在直線上時，若，求的值；(3)如圖3，連接，當(dāng)與交于點F時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．課后訓(xùn)練1．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點A的坐標(biāo)為，點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點C的坐標(biāo)為，則m的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，點G在對角線上（不與點B，D重合），連接使得，作，，分別交、于點E、點F，，，則線段的長為．3．（2023·浙江紹興·三模）如圖，在中，，點D為邊的中點，動點P從點A出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)點P不與點A，C重合時，連接．作點A關(guān)于直線PD的對稱點，連接，．設(shè)點P的運動時間為t秒，且，則t的值是．

4．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在等邊三角形中，點D，E分別是上的點，且，交于點P．連接，若時，則；設(shè)的面積為，四邊形的面積為，則．5．（2019年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D為邊AB上一動點(B點除外)，以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為.6．（2023·浙江紹興·一模）如圖.在中，，，，點是邊上的動點，過點作，交邊于點，是邊上一點，若使點，，構(gòu)成等腰三角形的點恰好有三個，且，則的值是.7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在等邊中，，D是上一點，（n為正整數(shù)），E是上一點，F(xiàn)是射線上一點，，連接，設(shè)中點為M，點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長為（用含n的代數(shù)式表示）．8．（2024·四川廣元·二模）如圖，在正方形中，E，H分別為邊，上的點，連接，，，在的延長線上取一點F，連接，是以點E為直角頂點的等腰直角三角形，則下列結(jié)論:；；；當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的序號是.9．（2024·山西臨汾·一模）如圖，正方形的邊長為6cm，E為的中點，連接AE，過點D作于點F，連接，過點C作于點G，交AE于點M，交AD于點N，則MN的長為10．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）如圖．在四邊形中，，、為對角線，，，若，，則的長為．11．（2023·遼寧沈陽·一模）如圖，平行四邊形中，點E在邊上，點H在線段上，連接交于M，，，，的長為．12．（2024·湖北武漢·一模）三角形的布洛卡點是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時的人們所注意．1875年，布洛卡點被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若任意內(nèi)一點D滿足，則點D叫做的布洛卡點．如圖2，在等腰中，，點D為的布洛卡點，，，則的值為．13．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，，若四邊形的面積是64，則的長為．14．（2024·貴州·一模）在中，，點P是的內(nèi)心，連接，，延長交于點，若，，則的長為．15．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知，，與的面積和為10，則的長為．16．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．17．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）【感知】（1）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖①，在中，點D是的中點，點E是的一個三等分點，且．連結(jié)，交于點G，求值．小明發(fā)現(xiàn)，過點D作的平行線或過E作的平行線，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問題的答案．請你根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過程【嘗試應(yīng)用】（2）如圖②，在中，D為上一點，，連結(jié)，若，交于點E、F．若，，，則的長為．【拓展提高】（3）如圖③，在平行四邊形中，點E為的中點，點F為上一點，與、分別交于點G、M，若，若的面積為2，則的面積為．18．（2023·江蘇連云港·二模）如圖1，在矩形中，點是邊的中點，，連接，過點作，并與矩形的外角的平分線交于點．(1)求的值（用含的代數(shù)式表示）；(2)連接交于點，連接，若，求的值．(3)如圖2，當(dāng)與題（2）取相同值時，為邊上一點，連接，當(dāng)，時，求的長．19．（2021·江蘇無錫·中考真題）已知四邊形是邊長為1的正方形，點E是射線上的動點，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設(shè)．（1）如圖1，若點E在線段上運動，交于點P，交于點Q，連結(jié)，①當(dāng)時，求線段的長；②在中，設(shè)邊上的高為h，請用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過的中點且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長為y，請直接寫出y與m的關(guān)系式．20.（20