數(shù)學(xué)自主練習(xí)：合情推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。對(duì)命題“對(duì)頂角相等"的說(shuō)法正確的是（）A.前提是對(duì)頂角，結(jié)論“相等".B。前提是“兩個(gè)角是對(duì)頂角”，結(jié)論是“這兩個(gè)角相等".C。前提是“兩個(gè)角相等”，結(jié)論是“這兩個(gè)角是對(duì)頂角”.D.前提是“兩個(gè)角相等”，結(jié)論是“兩個(gè)角全等".思路解析:把命題“對(duì)頂角相等”改寫成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么這兩個(gè)角相等”.所以前提是“兩個(gè)角是對(duì)頂角"，結(jié)論是“這兩個(gè)角相等".答案:B2.等差數(shù)列1,3,5，…(2n-1)的前n項(xiàng)和為（）A.n2B.（n+1)2C。(n-1）2思路解析：令前n項(xiàng)的和為Sn，則S1=1,S2=1+3=4=22，S3=1+3+5=9=32，S4=1+3+5+7=42.所以猜想Sn=n2.答案：A3.若f(n)=n2+n+41（n∈N）,下列說(shuō)法中正確的是(）A.f(n）可以為偶數(shù)B.f(n）一定為奇數(shù).C。f（n）一定為質(zhì)數(shù)D.f（n)必為合數(shù).思路解析:f（1）=43,f(2）=22+2+41=47，f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=71,猜想f（n）一定是奇數(shù)。答案：B4。下列說(shuō)法中正確的是（）A。合情推理就是正確的推理B。合情推理就是歸納推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理過(guò)程D。類比推理是從特殊到特殊的推理過(guò)程思路解析：合情推理包括歸納推理和類比推理，而歸納推理是從特殊到一般的推理過(guò)程，而類比推理是從特殊到特殊的推理過(guò)程.答案:D5.（2005年湖南省高考卷）設(shè)f0（x)=sinx,f1(x)=f′0（x），f2（x）=f′1（x)，…fn(x）=fn-1′(x）,n∈N，則f2005(x)=（）A.sinxB。-sinxC.cosxD.-cosx思路解析:(sinx)′=cosx，（cosx）′=—sinx,（-sinx)′=-cosx，（-cosx)′=sinx,由此可知，其周期為4，故可得fn+4(x）=…=…=fn（x)故猜測(cè)fn(x)是以4為周期的函數(shù),有f4n+1（x）=f（1）=cosxf4n+2(x)=-sinxf4n+3（x）=-cosx，f4n+4(x）=f(4)=sinx.答案:C6.（2005年廣東高考卷)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn),若用f（n）表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4）=___________________，當(dāng)n＞4時(shí),f（n）=__________________________。(用n表示）思路解析:f（2)=0,f(3)=2，f（4)=5,f(5)=9，可以歸納出每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線的條數(shù).所以有f（3)-f(2）=2,f（4)-f(3）=3,f(5)-f（4）=4,猜測(cè)得出f(n）-f（n—1）=n-1,有f（n）-f（2）=2+3+4+…+（n-1)∴f（n）=（n+1)（n-2）因此，f(4）=5，f（n）=(n+1)（n≠2）答案：f（4)=5f(n）=(n+1）（n—2).7。已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1,且an+1=(n=1,2,…),試用歸納法歸納出這個(gè)數(shù)列的通次公式.解：a1=1,當(dāng)n=2時(shí)，a2==當(dāng)n=3時(shí)，a3==當(dāng)n=4時(shí)，a4=觀察可得,數(shù)列{an}的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此我們可以猜測(cè)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.8.應(yīng)用歸納推理猜測(cè)的結(jié)果。解：當(dāng)n=1時(shí),=3當(dāng)n=2時(shí)，=33當(dāng)n=3時(shí),=333當(dāng)n=4時(shí)，=3333觀察可得9。找出圓與球的相似之處，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)。（1）圓心與弦（非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦；(2）與圓心距離相等的弦也相等；（3)圓的周長(zhǎng)C=πd(d為圓心直徑）；(4）圓的面積S=πr2。解：(1）圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，球面是一空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合.(2）圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對(duì)稱圖形，球是空間中封閉的曲面所圍成的對(duì)稱圖形.與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推測(cè)球的有關(guān)性質(zhì):圓球（1）圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓（不過(guò)球心的小截面圓)圓心的連線垂直于截面（2)與圓心距離相等的弦長(zhǎng)相等與球心的距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等（3）圓的周長(zhǎng)C=πd球的表面積S=πd2（4)圓的面積S=πr2球的體積V=(5)圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)，即（πr2)′=2πr，球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。()′=4πr2我綜合我發(fā)展10.(2006年廣東高考卷，10）對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a,b）和（c,d）,規(guī)定:（a,b）=（c,d），當(dāng)且僅當(dāng)a=c，b=d時(shí)成立;運(yùn)算“”為：（a，b）（c,d）=(ac-bd，bc+ad），運(yùn)算“"為（a，b）（c，d）=（a+c,b+d），設(shè)p、q∈R,若（1，2）（p、q)=(5,0)，則（1，2）（p、q）=（）A。(4、0）B。（2、0）C.（0、2）D。(0，-4）思路解析:利用類比推理得：由（1，2)(p，q）=（5，0）得所以（1，2)（p，q）=（1,2)（1,-2）=（2,0）答案：B11。如圖2-1-2中的三角形稱為謝賓斯基三角形,在下面3個(gè)三角形中，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是__________________________。圖2—1-2思路解析:這3個(gè)三角形中著色三角形的個(gè)數(shù)依為1，3，9,則所示數(shù)列的前3項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號(hào)減1，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為an=3n—1答案:an=3n-112。(2006年廣東高考卷，14）在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖2-1—3所示方式固定擺放.從第二層開(kāi)始，每層的木球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球.以f(n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3）=___________________；f(n)=__________________________.(答案用n表示）圖2-1—3思路解析:f（1）=1，觀察圖象可知f(2)=4,f(3)=10，f(4）=20，下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆的個(gè)數(shù)加上其第一層個(gè)數(shù),而第一層的個(gè)數(shù)滿足1，3,6，10，…通項(xiàng)公式是?！鄁（5)=f（4）+15=35。答案：10，。13。類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)。解：(1）兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過(guò)加法運(yùn)算或者乘法運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí)數(shù)。（2）從運(yùn)算律方面來(lái)考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即：a+b=b+aab=ba（a+b）+c=a+（b+c）（ab）c=a（bc）（3）從逆運(yùn)算的角度來(lái)考慮，二者都有逆運(yùn)算；加法的逆運(yùn)算是減法，乘法的逆運(yùn)算是除法，這就使得方程:a+x=0ax=1(a≠0）都有惟一的解：x=—a，x=。(4）在加法中,任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大小，乘法中的1與加法中的0類似，即任意實(shí)數(shù)與1的積都等于原來(lái)的數(shù)，即：a+0=aa×1=a.14。觀察1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52…由上述具體事實(shí)能得出怎樣的結(jié)論?解：將上述事實(shí)分別敘述為:前2個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于2的平方前3個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于3的平方前4個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于4的平方前5個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于5的平方由此猜想：前n(n∈N*）個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于n的平方.