重慶2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

重慶2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱柱的所有棱長均為2，平面，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.83．實數(shù)且，，則連接，兩點的直線與圓C：的位置關系是（）A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定4．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內切 D.外切6．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.7．已知直線：和：，若，則實數(shù)的值為（）A. B.3C.-1或3 D.-18．已知，若，是第二象限角，則=（）A. B.5C. D.109．拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射的一種裝置．當旋轉拋物面的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉拋物面表面，經過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點在它的主光軸上．如圖所示的太陽灶中，灶深CD即焦點到灶底（拋物線的頂點）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m10．年月日我國公布了第七次全國人口普查結果.自新中國成立以來，我國共進行了七次全國人口普查，如圖為我國歷次全國人口普查人口性別構成及總人口性別比（以女性為，男性對女性的比例）統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）A.第五次全國人口普查時，我國總人口數(shù)已經突破億B.第一次全國人口普查時，我國總人口性別比最高C.我國歷次全國人口普查總人口數(shù)呈遞增趨勢D.我國歷次全國人口普查總人口性別比呈遞減趨勢11．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，若（，），則（）A.2023 B.2022C.2021 D.202012．一物體做直線運動，其位移(單位:)與時間(單位:)的關系是，則該物體在時的瞬時速度是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，M的準線為l且與x軸相交于點B，A為M上的一點，直線AO與直線l相交于C點，若，，則M的標準方程為______________.14．已知等差數(shù)列中，，，則______________15．直線與圓交于A、B兩點，當弦AB的長度最短時，則三角形ABC的面積為________16．已知拋物線的準線方程為，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知拋物線的焦點為，點是軸上一定點，過的直線交與兩點.（1）若過的直線交拋物線于，證明縱坐標之積為定值；（2）若直線分別交拋物線于另一點，連接交軸于點.證明：成等比數(shù)列.18．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.19．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.（1）求；（2）記數(shù)列的前項和為，求當取得最小值時的的值.20．（12分）2017年廈門金磚會晤期間產生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態(tài)公園通過種植紅樹林的方式中和會晤期間產生的碳排放，擬用20年時間將碳排放全部吸收，實現(xiàn)“零碳排放”目標，向世界傳遞低碳，環(huán)保辦會的積極信號，踐行金磚國家倡導的可持續(xù)發(fā)展精神據(jù)研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；②證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）為了提前5年實現(xiàn)廈門會晤“零碳排放”的目標，m的最小值為多少？參考數(shù)據(jù)：，，21．（12分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產品，產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產品的非原料成本（元）與生產該產品的數(shù)量（千件）有關，經統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點圖觀察散點圖，兩個變量間關系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關系進行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關系數(shù).（1）用反比例函數(shù)模型求y關于x的回歸方程；（2）用相關系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計產量為10千件時每件產品非原料成本；（3）根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，相關系數(shù).22．（10分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解【詳解】以為坐標原點，平面內過點且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，∴，，∴，∴異面直線，所成角的余弦值為.故選：A2、B【解析】當n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B3、B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據(jù)兩點式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了計算求解能力，屬于基礎題.4、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設AB=BC=4，則，則,，根據(jù)勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.5、A【解析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關系，即可判斷兩圓的位置關系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A6、D【解析】求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故.故選：D.7、D【解析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗證即可判斷作答.【詳解】因，則，解得或，當時，與重合，不符合題意，當時，，符合題意，所以實數(shù)的值為-1.故選：D8、D【解析】先由誘導公式及同角函數(shù)關系得到，再根據(jù)誘導公式化簡，最后由二倍角公式化簡求值即可.【詳解】∵，∴，∵是第二象限角，∴，∴故選：D9、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點，求得拋物線的方程，進而求得的長.【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，O與C重合，設拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點，即，可得，所以拋物線的方程為，當時，，所以.故選：C.10、D【解析】根據(jù)統(tǒng)計圖判斷各選項的對錯.【詳解】由統(tǒng)計圖第五次全國人口普查時，男性和女性人口數(shù)都超過6億，故總人口數(shù)超過12億，A對，由統(tǒng)計圖，第一次全國人口普查時，我國總人口性別比為107.56，超過余下幾次普查的人口的性別比，B對，由統(tǒng)計圖可知，我國歷次全國人口普查總人口數(shù)呈遞增趨勢，C對，由統(tǒng)計圖可知，第二次，第三次，第四次，第五次時總人口性別比呈遞增趨勢，D錯,D錯，故選：D.11、C【解析】根據(jù)題意令可得，結合等差數(shù)列前n項和公式寫出，進而得到關于的方程，解方程即可.【詳解】因為，令，得，又，，所以，有，解得.故選：C12、A【解析】先對求導，然后將代入導數(shù)式，可得出該物體在時的瞬時速度【詳解】對求導，得，，因此，該物體在時的瞬時速度為，故選A【點睛】本題考查瞬時速度的概念，考查導數(shù)與瞬時變化率之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用相似關系計算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結果.【詳解】因為，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標準方程為.故答案為：.14、【解析】設等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得；【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，所以，所以故答案為：15、【解析】由于直線過定點，所以當時，弦AB的長度最短，然后先求出的長，再利用勾股定理可求出的長，從而可求出三角形ABC的面積【詳解】因為直線恒過定點，圓的圓心，半徑為，所以當時，弦AB的長度最短，因為，所以，所以三角形ABC的面積為，故答案為：16、【解析】由準線方程的表達式構建方程，求得答案.【詳解】因為準線方程為，所以故答案為：4【點睛】本題考查拋物線中準線的方程表示，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設直線方程為，聯(lián)立拋物線方程用韋達定理可得；（2）借助（1）中結論可得各點縱坐標之積，進而得到F、T、Q三點橫坐標關系，然后可證.【小問1詳解】顯然過T的直線斜率不為0，設方程為，聯(lián)立，消元得到，.【小問2詳解】由（1）設，因為AP與BQ均過T(t,0)點，可知，又AB過F點，所以，如圖：，,設M(n，0）,由（1）類比可得.，且，成等比數(shù)列.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）令，分和去掉絕對值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，∵，，所以，所以，則.【小問2詳解】令，解得，當時，，，當時，.19、（1）（2）10或11【解析】（1）利用通項公式以及求和公式列出方程組得出；（2）先求出數(shù)列通項公式，再根據(jù)得出取得最小值時的的值.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則由得解得所以.【小問2詳解】因為，所以，則.令，解得，由于，故或，故當前項和取得最小值時的值為10或11.20、（1）①；②證明見解析，（2）最少為6.56噸【解析】（1）①根據(jù)題意直接寫出一個遞推公式即可；②要證明是等比數(shù)列，只要證明為一個常數(shù)即可，求出等比數(shù)列的通項公式，即可求出的通項公式；（2）記為數(shù)列的前n項和，根據(jù)題意求出，利用分組求和法求出數(shù)列的前n項和，再令，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：①依題意得,則，②因為，所以，所以，因為所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項是，公比是1.02，所以，所以；【小問2詳解】解：記為數(shù)列的前n項和，，依題，所以，所以m最少為6.56噸21、（1）（2）反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產量為10千件時每件產品的非原料成本約為11元，（3）見解析【解析】（1）令，則可轉化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉化求回歸方程即可，（2）求出與的相關系數(shù)，通過比較，可得用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，然后將代入回歸方程中可求結果（3）利用已知數(shù)據(jù)求出樣本標準差s，從而可得非原料成本y服從正態(tài)分布，再計算，然后各個數(shù)據(jù)是否在此范圍內，從而可得結論【小問1詳解】令，則可轉化為，因為