湖北省襄陽(yáng)市宜城一中、棗陽(yáng)一中、襄州一中、曾都一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

湖北省襄陽(yáng)市宜城一中、棗陽(yáng)一中、襄州一中、曾都一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.2．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.23．若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.24．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對(duì)5．直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《四元玉鑒》中有如下一段話(huà)：“河有汛，預(yù)差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問(wèn)已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開(kāi)始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人7．如圖，已知直線(xiàn)AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內(nèi)，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線(xiàn)AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．若數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.9．如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點(diǎn)，、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（）A. B.C. D.10．已知直線(xiàn)在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為7，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.511．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個(gè)條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個(gè)條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④12．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以點(diǎn)為圓心，且與直線(xiàn)相切的圓的方程是__________14．近年來(lái)，我國(guó)外賣(mài)業(yè)發(fā)展迅猛，外賣(mài)小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)．他們根據(jù)外賣(mài)平臺(tái)提供的信息到外賣(mài)店取單，某外賣(mài)小哥每天來(lái)往于r個(gè)外賣(mài)店（外賣(mài)店的編號(hào)分別為1，2，…，r，其中），約定：每天他首先從1號(hào)外賣(mài)店取單，稱(chēng)為第1次取單，之后，他等可能的前往其余個(gè)外賣(mài)店中的任何一個(gè)店取單，稱(chēng)為第2次取單，依此類(lèi)推．假設(shè)從第2次取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的個(gè)外賣(mài)店取單．設(shè)事件表示“第k次取單恰好是從1號(hào)店取單（）”，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則______，與的關(guān)系式為_(kāi)_____15．已知橢圓的弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的斜率與直線(xiàn)OM的斜率之積等于_________16．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿(mǎn)足線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為_(kāi)_____千億元三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且其傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是，求直線(xiàn)的方程18．（12分）已知拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，且（1）求拋物線(xiàn)C的方程：（2）若以點(diǎn)為圓心，為半徑圓與C的準(zhǔn)線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于D，E兩點(diǎn)，若，證明直線(xiàn)DE過(guò)定點(diǎn)19．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C：上，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，記P到直線(xiàn)的距離為d，且.（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，求直線(xiàn)l的方程.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于兩點(diǎn).求的最大值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為.點(diǎn)P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限.記的面積為S，當(dāng)時(shí)，.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，PF1，PF2的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交橢圓于點(diǎn)M，N，記和的面積分別為S1和S2.（i）求證：存在常數(shù)λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.22．（10分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，以其短軸為直徑的圓過(guò)橢圓的左右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)橢圓E左焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B2、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，則.故選：A.3、A【解析】根據(jù)弦長(zhǎng)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線(xiàn)過(guò)圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A4、C【解析】根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C5、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線(xiàn)的傾斜角求解出的長(zhǎng)度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如下圖：因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以且，所以，又因?yàn)榈膬A斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選：D.6、B【解析】根據(jù)題意，設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項(xiàng)，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值【詳解】解：設(shè)第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項(xiàng)、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OB的垂線(xiàn)為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，，，，設(shè)的夾角為，則，所以異面直線(xiàn)AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.8、D【解析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D9、C【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計(jì)算出、的長(zhǎng)，證明出，利用勾股定理可求得的長(zhǎng).【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，，，故二面角的平面角為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，，因?yàn)?，故為等邊三角形，則，，則，，，故平面，因?yàn)槠矫?，則，故.故選：C.10、C【解析】求出直線(xiàn)方程在兩坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對(duì)比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時(shí)，①③④均成立，②不成立.故選：B12、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，且焦點(diǎn)在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則必有：，且解得：故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】根據(jù)相切可得圓心到直線(xiàn)距離即為圓的半徑,利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【詳解】由題,設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為,所以,因?yàn)閳A與直線(xiàn)相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求圓的方程,考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用14、①.②.【解析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，事件表示“第3次取單恰好是從1號(hào)店取單”，因此；同理故答案為：；.15、【解析】根據(jù)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】設(shè)，且，則，（1），（2）得：，，.又，，.故答案為：16、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）先求得直線(xiàn)的傾斜角，由此求得直線(xiàn)的傾斜角和斜率，進(jìn)而求得直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離列方程，由此求解出直線(xiàn)的方程【詳解】解（1）直線(xiàn)的傾斜角為，∴直線(xiàn)的傾斜角為，斜率為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，∴直線(xiàn)的方程為，即；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，解得或∴直線(xiàn)的方程為或18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）解方程和即得解；（2）設(shè)，，將與圓P方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，再寫(xiě)出直線(xiàn)的方程即得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)闉閽佄锞€(xiàn)C上一點(diǎn)，且，所以到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2則，，則，所以，故拋物線(xiàn)C的方程為【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，則圓P的方程為設(shè)，，將與圓P的方程聯(lián)立，可得，則，當(dāng)時(shí)，，不妨令，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)DE的斜率為，則直線(xiàn)DE的方程為，即，即，令且，得，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)；綜上，直線(xiàn)DE過(guò)定點(diǎn)19、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線(xiàn)l是否存在斜率分類(lèi)討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以P到直線(xiàn)的距離等于，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為，所以，，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線(xiàn)l恰與拋物線(xiàn)C相切當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時(shí)直線(xiàn)l的方程為綜上，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切時(shí)，l的方程為或.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再通過(guò)換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，由得由得由，得設(shè)，則，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，的最大值為21、（1）（2）(i)存在常數(shù)，使得成立；(ii)的最大值為.【解析】(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用面積和離心率，可以求出，然后就可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)方程，聯(lián)立方程，解出的y坐標(biāo)值與P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，求以焦距為底邊的三角形面積；利用均值定理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，求最大值.【小問(wèn)1詳解】先求第一象限P點(diǎn)坐標(biāo)：，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以橢圓E的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，易知直線(xiàn)和直線(xiàn)的坐標(biāo)均不為零，因?yàn)?，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，由所以，因?yàn)?，，所以所以同理由所以，因?yàn)?，，所以所以，因?yàn)?，?i)所以所以存在常數(shù)，使得成立.(ii)，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.22、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算即可作答.(2)設(shè)出直線(xiàn)MN的方程，與橢圓方程聯(lián)