2.8 -2.9 二次函數的應用（B卷能力拓展） -2021-2022學年九年級數學下冊同步分層練習（基礎鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.8—2.9二次函數的應用學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________B卷（能力拓展）一、選擇題1．（2021·遼寧葫蘆島市九年級二模）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D是AB邊上的一動點（不與A，B重合），連接CD，將CD繞點C順時針方向旋轉90°到CE，連接DE，與AC相交于點F，連接AE．設AE＝x，CF＝y(tǒng)，則能反映y與x之間的函數關系的圖象是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】過點D作DG⊥BC于點G，根據題意可證明△BCD≌△ACE，可得到BD=AE，∠CAE=∠B=45°，從而證得，則有，進而得到，在和中，利用銳角三角函數和勾股定理可得CG=BC-BG=，CD2=DG2+CG2，從而得到y(tǒng)與x函數關系式，即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作DG⊥BC于點G，由題意可得：CE=CD，∠DCE=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∠CED=∠CDE=45°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠CAB=∠B=45°，∴∠ACE=∠BCD，∴△BCD≌△ACE，∴BD=AE，∠CAE=∠B=45°，∴∠CAE=∠CED，∴，∴，即，∵CE=CD，∴，在中，∠B=45°，且BD=AE＝x，∴，∵AC＝BC＝，∴CG=BC-BG=，在中，由勾股定理得：CD2=DG2+CG2，∵，∴，CF＝y(tǒng)，即，∴y與x函數關系式為：，∴該函數圖象為拋物線，且開口向上．故選：B．【點睛】本題主要考查了全等三角形和相似三角形的判定和性質，解直角三角形，求函數關系式，旋轉，得到y(tǒng)與x函數關系式是解題的關鍵．2．（2021·遼寧本溪九年級二模）如圖，菱形的對角線與相交于點，，，點在上運動．過點作交于，交于點，將沿翻折得到，若，與重疊部分的面積為，下列圖象能正確反映與的函數關系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分兩個時間段求出函數解析式即可判斷：①當翻折后點G在點O的左側時即2≤x≤4，通過證明△BEF∽△BAC，可得BN=EF=4-x，再根據三角形的面積公式寫成函數解析式；②當翻折后點G在點O的右側時（如圖②），即0≤x≤2，重疊部分y=S梯形HIEF，用含x的代數式表示出相關線段的長度，再根據梯形的面積公式求出函數解析式即可．【詳解】解：分情況討論：①當翻折后點G在點O的左側時（如圖①），即2≤x≤4，∵EF∥AC，∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，∴△BEF∽△BAC，∴，即BN=EF=4-x，由四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵EF∥AC，∴EF⊥BD，翻折后，重疊部分；②當翻折后點G在點O的右側時（如圖②），即0≤x≤2，翻折后，重疊部分y=S梯形HIEF，∵ON=x，BN=4-x，GN=BN=4-x，∴OG=4-2x，又∵EF∥AC，同理可得△GHI∽△GEF，∴HI=OG=4-2x，∴，綜上所述，，故選：A．【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．3．（2021·遼寧鞍山中考真題）如圖，是等邊三角形，，點M從點C出發(fā)沿CB方向以的速度勻速運動到點B，同時點N從點C出發(fā)沿射線CA方向以的速度勻速運動，當點M停止運動時，點N也隨之停止．過點M作交AB于點P，連接MN，NP，作關于直線MP對稱的，設運動時間為ts，與重疊部分的面積為，則能表示S與t之間函數關系的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出當點落在AB上時，t的值，分或兩種情形，分別求出S的解析式，可得結論．【詳解】解：如圖1中，當點落在AB上時，取CN的中點T，連接MT．，，，，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，四邊形CMPN是平行四邊形，，，，如圖2中，當時，過點M作于K，則，．如圖3中，當時，，觀察圖象可知，選項A符合題意，故選：A．【點睛】本題考查動點問題，等邊三角形的性質，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．4．（2021·珠海市九洲中學九年級月考）如圖，邊長為2的等邊△ABC和邊長為1的等邊△A′B'C′，它們的邊B′C′，BC位于同一條直線l上，開始時，點C′與B重合，△ABC固定不動，然后把△A'B′C′自左向右沿直線l平移，移出△ABC外（點B′與C重合）停止，設△A′B′C′平移的距離為x，兩個三角形重合部分的面積為y，則y關于x的函數圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過對小三角形移動過程進行分類討論，求出每一個過程對應的函數解析式和相應函數值，再綜合分析對應函數圖象即可．【詳解】解：①如圖所示，在等邊△A′B'C′運動至過程中，即：，設與交于P點，作于Q點，∵△A′B′C′平移的距離為x，則，由題意，，∴中，，∴此過程兩個三角形重合部分的面積為，∴當時，；②如圖所示，在等邊△A′B'C′從運動至過程中，即：，顯然，在此過程中，兩三角形的重疊部分面積即為△A′B'C′的面積，∵等邊△A′B'C′的邊長為1，∴其面積為，∴當時，函數；③如圖所示，在等邊△A′B'C′從運動至過程中，即：，在此過程中，兩個三角形的重疊部分仍然為正三角形，其邊長為：，∴此時重疊部分面積為，當時，；當時，；綜上，函數，B選項函數圖象符合題意；故選：B．【點睛】本題考查圖形平移面積與二次函數，理解題中平移過程，靈活分類討論，并準確求解二次函數解析式是解題關鍵．5．（2021·山東威海中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向運動，當其中一點到達D點時，兩點停止運動．設運動時間為x（s），的面積為y（cm2），則下列圖象中能大致反映y與x之間函數關系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先證明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三種情況畫出圖形，求出函數解析式，根據二次函數、一次函數圖象與性質逐項排除即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等邊三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如圖1，當0≤x≤1時，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴，∴，故D選項不正確；如圖2，當1＜x≤2時，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC與F，作QH⊥AB于H，∴，，∴，故B選項不正確；當2＜x≤3時，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG⊥CD于G，∴，∴，故C不正確．故選：A【點睛】本題考查了菱形性質，等邊三角形性質，二次函數、一次函數圖象與性質，利用三角函數解三角形等知識，根據題意分類討論列出函數解析式是解題關鍵．二、填空題6．（2021·湖北江漢九年級月考）拋物線上的一個動點P到直線的最短距離是______．【答案】【分析】設過點P平行直線的解析式為，當直線與拋物線只有一個交點時，點P到直線的距離最小，如圖設直線交x軸于A，交y軸于B，直線交x軸于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，想辦法求出CD的長即可解決問題；【詳解】解：設過點P平行直線的解析式為，

當直線與拋物線只有一個交點時，點P到直線的距離最小，由得：，

當Δ=0時，，

∴，

∴過P點的直線的解析式為，

如圖設直線交x軸于A，交y軸于B，直線交x軸于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，則A（-3，0），B（0，3），C（，0）

∴OA=OB=3，OC=，AC=，

∴∠DAC=45°，

∴，

∴，

∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB，

∴，

故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質、一次函數圖象上的點的特征等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為M，直線與x軸平行，且與拋物線交于點A和點B，如果為等腰直角三角形，我們把拋物線上A、B兩點之間部分與線段圍成的圖形稱為該拋物線的準蝶形，頂點M稱為碟頂，線段的長稱為碟寬．拋物線的碟寬為__________．【答案】6【分析】由題意可知此時M點與原點重合，根據等腰直角三角形的性質可得∠AOC=∠BOC=45°，從而得到OC=AC=BC，設，則，，即可得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，設AB于y軸的交點為C，∵拋物線的解析式為，M為拋物線的頂點，∴此時M點與原點重合，∵AB∥x軸，∴OC⊥AB，∵為等腰直角三角形，∠AOB=90°，AO=BO，∴∠AOC=∠BOC=45°，∴OC=AC=BC，設，，∴，，∴，解得或（舍去），∴AC=3，∴AB=AC+BC=6，故答案為：6．

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，平行線的性質，二次函數圖像上點的坐標特征，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．8．（2021·湖北硚口九年級月考）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E在BC上，將線段EA繞點E順時針旋轉90°，得到線段EF，連接DE，DF，CF，則的值是____﹔設BE＝x，DEF面積為S，則S與x之間的關系式是_______．【答案】【分析】過點作交的延長線與點，根據旋轉的性質以及正方形的性質即可得，進而可得是等腰直角三角形，即可求得的值，根據DEF面積等于即可列出函數關系式．【詳解】如圖，過點作交的延長線與點，則，四邊形是正方形，，,設，則,,是等腰直角三角形，；故答案為：，．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，三角形全等的性質與判定，勾股定理，二次函數的應用，理解題意，添加輔助線是解題的關鍵．9．（2021·溫州市實驗中學九年級月考）小剛家裝有一種可調節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經過點A，拋物線落地點D和點O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點和點O的距離增加10cm，則小剛應把升降器AB向上平移____________cm．【答案】60【分析】過點C作延長線于點E，先求出BE的長，再以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標系，得出A、C、D的坐標，用待定系數法求出拋物線解析式，再把拋物線向上平移k個單位，再把坐標代入解析式求出k的值即可．【詳解】解：過點C作延長線于點E，cm以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標系，則設此時拋物線解析式為：代入點得，，整理得，解得設小剛應把升降器向上平移kcm，即將拋物線向上平移k個單位，則拋物線解析式為：將代入解析式得，即小剛應把升降器向上平移60cm故答案為：60【點睛】本題考查二次函數的應用，關鍵是根據實際情況建立直角坐標系，用待定系數法求解析式．10．（2020·衢州市九年級期末）圖1是一個高腳杯截面圖，杯體CBD呈拋物線狀（杯體厚度不計），點B是拋物線的頂點，AB＝9，EF＝2，點A是EF的中點，當高腳杯中裝滿液體時，液面CD＝4，此時最大深度（液面到最低點的距離）為10．以EF所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式___；將高腳杯繞點F緩緩傾斜倒出部分液體，當∠EFH＝30°時停止，此時液面為GD，此時杯體內液體的最大深度為___．【答案】y＝x2＋9【分析】以A為原點，直線EF為x軸，直線AB為y軸，建立平面直角坐標系，由待定系數法求得拋物線的解析式；將高腳杯繞點F傾斜后，仍以A為原點，直線EF為x軸，直線AB為y軸，建立平面直角坐標系，分別用待定系數法求得直線l的解析式和直線GD的解析式，過點M作MP⊥l于點P，用三角函數求得液面GD到平面l的距離；過拋物線最低點Q作QLl，再將QL的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，得出關于x的一元二次方程，由判別式求得q，最后用三角函數求得答案．【詳解】解：以A為原點，直線EF為x軸，直線AB為y軸，建立平面直角坐標系，如圖：由題意得：A（0，0），B（0，9），C（?2，19），D（2，19），設拋物線的解析式為：y＝ax2＋9，將D（2，19）代入得：19＝a×(2)2＋9，解得：a＝，∴y＝x2＋9．將高腳杯繞點F傾斜后，仍以A為原點，直線EF為x軸，直線AB為y軸，建立平面直角坐標系，如圖：由題意得：A（0，0），F(xiàn)（，0），E（?，0），B（0，9），C（?2，19），D（2，19），由題可知，直線l與x軸的夾角為30°，GDl，∵l經過點F（，0），且∠EFH＝30°，∴設直線l的解析式為：y＝x＋b，將F（，0）代入，解得b＝?1，∴y＝x?1，又∵GDl，∴kGD＝kl＝，∴設直線GD的解析式為y＝x＋p，將D（2，19）代入，解得p＝17，∴y＝x＋17，令x=0，y=17∴M（0，17），∵NF=，∴AN=AFtan30°=×=1∴N（0，?1），過點M作MP⊥l于點P，∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°，∴∠ANF＝60°，∴MP＝MN?sin60°＝[17?（?1）]×＝9．過拋物線最低點Q作QLl，L為QL于MP的交點，設直線QL的解析式為y＝x＋q，由得：5x2?2x＋54?6q＝0，∵只有一個交點Q，∴Δ＝0，∴12?20（54?6q）＝0，∴q＝，∴ML＝（17?）×sin60°＝．故答案為：y＝x2＋9，．【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，數形結合并熟練掌握待定系數法、二次函數及解直角三角形等知識點是解題的關鍵．三、解答題11．（2021·河北天津市九年級月考）己知天津市某水產養(yǎng)殖戶進行小龍新養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為元，在整個銷售旺季的天里，銷售單價（元/千克）與時間（為整數）的函數關系為日銷量是時間第天的一次函數，通過調查發(fā)現(xiàn)第天的銷量是千克，第天的銷量是千克（1）求日銷量與時間的函數解析式（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）該養(yǎng)殖戶有多少天利潤不低于元【答案】（1），；（2）第30天，利潤最大為2450元；（3）21天【分析】（1）設日銷量y與時間t的函數解析式為y=kt+b，將（1，198），（80，40）代入，求得k和b的值，再代入y=kt+b即可；（2）設日銷售利潤為w，則w=（P-6）y，分以下兩種情況分別寫出w的函數表達式：①當1≤t≤40時②當41≤t≤80時，并分別求出其最大值，然后比較二者的大小即可得答案；（3）根據（2）中的函數關系式，令其函數值等于2400，分別求出t的值，從而可得符合題意的天數．【詳解】解：（1）設日銷量y與時間t的函數解析式為y=kt+b將（1，198），（80，40）代入得：解得：∴y=-2t+200（1≤t≤80，t為整數）．（2）設日銷售利潤為w，則w=（P-6）y①當1≤t≤40時w=（t+16-6）（-2t+200）=-（t-30）2+2450∴當t=30時，日銷售利潤最大，最大利潤是2450元．②當41≤t≤80時w=（-t+46-6）（-2t+200）=（t-90）2-100∴當t=41時，日銷售利潤最大，最大利潤為2301元∵2450＞2301∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元．（3）由（2）得：當1≤t≤40時，w=-（t-30）2+2450令w=2400，即-（t-30）2+2450=2400解得：t1=20，t2=40由函數w=-（t-30）2+2450的二次項系數為負值，對稱軸為t=30，可知當20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元；當41≤t≤80時，w的最大值為2301，2301＜2400∴t的取值范圍是20≤t≤40時∴該養(yǎng)殖戶有21天利潤不低于2400元．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式、求分段函數的表達式及二次函數的最值在實際問題中的應用，具有一定的綜合性與難度．12．（2021·南部縣第二中學九年級月考）有一邊長為6cm的正方形ABCD和等腰直角PQR，PQ＝PR，QR＝8cm．點B，C，Q，R在同一條直線上．當C，Q兩點重合時，等腰直角PQR以1cm/秒的速度沿直線按箭頭所示方向開始勻速運動，t秒后正方形ABCD與等腰直角PQR重合部分的面積為Scm2．解答下列問題．（1）當t＝3秒時，求S的值；當t＝6秒時，求S的值；（2）當6秒≤t≤8秒時，求s與t的函數關系式．（3）若重合部分的面積為15時，求t的值．【答案】（1）cm2，14cm2；（2）；（3）7【分析】（1）當時，，過作于，易求得的長和的面積，設交于，由于，證明出為等腰直角三角形，可得到的值；當時，、重合，線段與相交，設與相交于，利用相似的方法求得的面積，從而由、的面積差求得陰影部分的面積．（2）當時，與相交，與相交，仿照（2）的方法，可求得正方形外部的兩個小三角形的面積，進而可參照（2）的方法求得陰影部分的面積表達式，由此可得到關于、的函數關系式；（3）由（2）中的解析式，令，求解即可．【詳解】：（1）作，為垂足．，，，，在中，，，當時，，設與交于點，，為等腰直角三角形，，cm2；當時，，設與交于，，所以，cm2，cm2．（2）當時，，，設交于點，，，，，，又，，由，同理得，，即，（3）若重合部分的面積為15時，，解題：．【點睛】本題考查了正方形的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質（相似三角形的面積比等于相似比的平方）．13．（2021·浙江杭州市九年級月考）某地區(qū)在2020年開展脫貧攻堅的工作中大力種植有機蔬菜．某種蔬菜的銷售單價與銷售月份之間的關系如圖（1）所示，每千克成本與銷售月份之間的關系如圖（2）所示．（其中圖（1）的圖象是直線，圖（2）的圖象是拋物線，其最低點坐標是（6，1））．（1）求每千克蔬菜銷售單價y與銷售月份x之間的關系式；（2）判斷哪個月份銷售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益；（3）求出一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）每千克蔬菜銷售單價y與銷售月份x之間的關系式為y＝﹣x+7；（2）5月銷售每千克蔬菜的收益最大，最大為元；（3）一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三個月．【分析】（1）觀察圖象找出點的坐標，利用待定系數法即可求出每千克蔬菜銷售單價y與銷售月份x之間的關系式；（2）利用待定系數法求出每千克成本與銷售月份之間的關系式，由收益w＝每千克售價﹣成本列出w與x的函數關系式，利用配方求出二次函數的最大值；（3）列出一年中銷售每千克蔬菜的收益與銷售月份x之間的關系式，根據二次函數的性質可得答案．【詳解】解：（1）設每千克蔬菜銷售單價與銷售月份之間的關系式為，將和代入得，，解得：．每千克蔬菜銷售單價與銷售月份之間的關系式為；（2）設每千克成本與銷售月份之間的關系式為：，把代入得：，解得．，即．∴收益，，當時，有最大值，．月銷售每千克蔬菜的收益最大，最大為元；（3）一年中銷售每千克蔬菜的收益：，當時，，解得：，，，∴拋物線的開口向下，∴當時，，又∵為正整數，一年中銷售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三個月．【點睛】本題考查了二次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系、熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．14．（2021·合肥市九年級月考）2021年東京奧運會，中國跳水隊贏得8個項目中的7塊金牌，優(yōu)異成績的取得離不開艱辛的訓練．某跳水運動員在進行跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線，已知跳板長為2米，跳板距水面的高為3米，訓練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度米，現(xiàn)以為橫軸，為縱軸建立直角坐標系．（1）當時，求這條拋物線的解析式．（2）當時，求運動員落水點與點的距離．（3）圖中米，米，若跳水運動員在區(qū)域內（含點，）入水時才能達到訓練要求，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）5米；（3）【分析】（1）根據拋物線頂點坐標，可設拋物線解析為：，將點代入可得；（2）在（1）中函數解析式中令，求出即可；（3）若跳水運動員在區(qū)域內（含點，入水達到訓練要求，則在函數中當米，，當米時，解不等式即可得．【詳解】解：（1）如圖所示：根據題意，可得拋物線頂點坐標，設拋物線解析為：，則，解得：，故拋物線解析式為：；（2）由題意可得：當，則，解得：，，故拋物線與軸交點為：，當時，運動員落水點與點的距離為5米；（3）根據題意，拋物線解析式為：，將點代入可得：，即若跳水運動員在區(qū)域內（含點，入水，則當時，，解得：，當時，，解得：；故：．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，解題的關鍵是根據題意利用頂點式求出二次函數解析式，判斷入水的位置對應的拋物線上點的坐標特點也是解題關鍵．15．（2021·溫州市實驗中學九年級月考）2022年冬奧會即將在北京召開，某網絡經銷商購進了一批以冬奧會為主題的文化衫進行銷售，文化衫的進價每件40元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示．（1）直接寫出每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式____________．（2）設每月獲得的利潤為W（元），當銷售單價為多少元時，銷售這款文化衫每天所獲得的利潤最大，最大利潤為多少元？（3）該網店的營銷部結合上述情況，提出了A，B兩種營銷方案：方案A：銷售單價高于進價且不超過進價20元．方案B：每天銷售量不少于220件，且每件文化衫的利潤至少為35元．請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．【答案】（1）y＝－10x＋1000；（2）70元，9000元；（3）方案B，理由見解析．【分析】（1）根據一次函數的圖象，得到圖象上兩點坐標（40，600），（80，200），利用待定系數法解題；（2）根據銷售利潤=銷售單價銷售量，結合配方法解得利潤為W，再根據二次函數的最值解題；（3）根據題意解得75≤x≤78，再根據二次函數圖象的性質，解出最值即可做出判斷．【詳解】解（1）：由題意：設y與x之間的函數關系式為：y＝kx＋b（k≠0），將（40，600），（80，200）代入得：解得，∴y