2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性（解析版）

2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性【推本溯源】1.把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，有什么發(fā)現(xiàn)？幾何語(yǔ)言說(shuō)明：由題意得AB=AC，∠BAD=∠CAD，在▲ABD和▲ACD中，∴▲ABD≌▲ACD（SAS）所以三角形ABD和三角形ACD重合。所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。由此可以發(fā)現(xiàn)，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。并且得到下面定理：（1）等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）幾何語(yǔ)言：∵AB=AC∴∠B=∠C（2）等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（三線合一）幾何語(yǔ)言：已知角平分線，用SAS證高與中線。幾何語(yǔ)言：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD∴AD⊥BC，BD＝CD已知中線，用SSS證角平分線與高線。幾何語(yǔ)言：∵AB＝AC，BD＝CD∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（3）已知高線，用HL證角平分線與中線。幾何語(yǔ)言：∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD按下列作法，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，高AD=h。作法：（1）作線段BC=a；（2）作線段BC的垂直平分線，MN交BC與點(diǎn)D；（3）在MN上截取線段DA，使DA=h；（4）連接AB、AC?！鳤BC就是所求作的等腰三角形。3.已知如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．方法1：作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．方法2：作BC邊上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．因此，可以得到有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）幾何語(yǔ)言：∵∠B＝∠C∴AB=AC4.（1）回想一下什么是等邊三角形，也可以稱為什么三角形？三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性質(zhì)嗎？等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有3條對(duì)稱軸。已知AB=BC=CA，證∠A=∠B=∠C。證：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°因此，等邊三角形的各角都等于60°。幾何語(yǔ)言：∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°5.（1）那如果一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等，那么這個(gè)三角形是等邊三角形嗎？已知∠A=∠B=∠C，證：AB=AC=BC證：∵∠A=∠C，∠A=∠B∴AB=BC，BC=CA∴AB=AC=BC∴▲ABC是等邊三角形因此，三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。幾何語(yǔ)言：∵∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？已知頂角∠A=60°，AB=AC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，AB=AC∴∠B=∠C==60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形已知底角∠A=60°，BA=BC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形因此，有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。幾何語(yǔ)言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等邊三角形6.兩個(gè)斜邊的一半（1）如圖，已知∠B=90°，∠A=30°，證：證：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使得BC=BD，連接AD?！連C=BD,BC+BD=CD∴∵∠B=90°，BC=BD∴AD垂直平分CD∴AC=AD∵∠BAC=30°，∠ABC=90°∴∠C=60°∵AC=AD∴▲ACD是等邊三角形∴CD=AC∵∴因此，30°對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。幾何語(yǔ)言：∵∠B=90°，∠A=30°∴（2）如圖，∠ABC=90°，在AC上取一點(diǎn)D，使得BD=CD證：∵∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°∵BD=CD∴∠C=∠CBD∴∠A=∠ABD∴AD=BD∵BD=CD，AC=AD+CD∴AC=2BD∴因此，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。幾何語(yǔ)言：∵∠ABC=90°，D是AC中點(diǎn)∴【解惑】例1：如圖，中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的等邊對(duì)等角和三角形的內(nèi)角和定理，即可解答．【詳解】解：，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的等邊對(duì)等角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知上述概念是解題的關(guān)鍵．例2：如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)F、G．

(1)若，求的周長(zhǎng)．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)9(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：是的垂直平分線，是的垂直平分線，，，的周長(zhǎng)；（2），，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．例3：在數(shù)學(xué)課堂上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們用尺規(guī)“過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線”，圖①是老師畫(huà)出的第一步，圖②，圖③分別是甲、乙兩位同學(xué)補(bǔ)充的作圖痕跡，則補(bǔ)充的作圖痕跡正確的是（

）

A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正確【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖和等腰三角形的性質(zhì)可判斷甲，根據(jù)尺規(guī)作直線的垂線的畫(huà)法可判斷乙，進(jìn)而可得答案.【詳解】解：根據(jù)圖②的做法可知：是的平分線，即，由圖①可得：，∴；故甲作圖痕跡正確；

根據(jù)圖③的作圖痕跡可知：，故乙的作圖痕跡正確；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角的平分線和已知直線的垂線以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)作圖方法以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例4：如圖，在四邊形中，，，相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別是，的中點(diǎn)，若，則______．

【答案】/80度【分析】連接和，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，求出，即可得出答案．【詳解】解：連接和，如圖所示，

∵H為的中點(diǎn)，，∴，∵G為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出是解此題的關(guān)鍵．例5：如圖，中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用垂線段最短分析可知：的最小值為3；根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出；接下來(lái)可知的最大值為6，由此即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，可知的最小值為3．中，，，，，的最大值為6，長(zhǎng)不可能是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短和的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出．例6：如圖，在中，于點(diǎn)D，，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)且，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】利用證明，即可解決問(wèn)題．【詳解】證明：，．∵點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，正確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線為正五邊形的對(duì)稱軸，連接交于點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正五邊形和等邊三角形的性質(zhì)可得，，，從而可得的度數(shù)．【詳解】解：∵正五邊形，∴，∴，∵等邊，直線為正五邊形的對(duì)稱軸，∴，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形求出相應(yīng)角的度數(shù).2．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，且，根據(jù)圖中的尺規(guī)作圖痕跡，計(jì)算（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由作圖得：垂直平分，平分，根據(jù)角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖，由作圖得：垂直平分，平分，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在中，平分，平分，且，，若，則的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)，可得是等腰三角形，將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，，∴，，∴是等腰三角形，即，∴的周長(zhǎng)是，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線，平行線，等腰三角形的綜合，掌握角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)虎門五中校考期中）在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則_____．【答案】5【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖所示，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則為_(kāi)___________．【答案】/4厘米【分析】根據(jù)直角三角形所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案．【詳解】解：∵中，，，，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┑妊切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角是，則它的頂角的度數(shù)是___________．【答案】/120度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為，即可得到答案．【詳解】解：，是頂角，不是底角，它的頂角的度數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為，是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，則_____度．

【答案】【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點(diǎn)，，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．8．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是等邊三角形，是中線，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E且交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，的長(zhǎng)．

【答案】12【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，推得，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)中線的性質(zhì)可得，求得，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，∵，且，∴，∵是中線，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，中線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用在直角三角形中30度所對(duì)的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┮阎涸谥?，為的中點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)、，且．求證：是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】先推出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：，，垂足分別為點(diǎn)、，，為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再證明即可得出結(jié)論．【詳解】證明：如圖，作于點(diǎn)．

，．，．平分，．在和中，，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別在，，上，且，，是的中點(diǎn)．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】首先連，，再證明，進(jìn)而得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得．【詳解】解：證明：連，，，，在和中，，，，是的中點(diǎn)，．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理．【知不足】1．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)三角形中兩個(gè)內(nèi)角分別是和，則這個(gè)三角形一定是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得第三個(gè)角，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵一個(gè)三角形中兩個(gè)內(nèi)角分別是和，∴第三個(gè)角為，根據(jù)等角對(duì)等邊，可得這個(gè)三角形是等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，等腰三角形的判定，熟練掌握三角內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．（湖南省衡陽(yáng)市八中教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）等腰三角形的一邊等于3，一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于（

）A．12 B．15 C．12或15 D．17【答案】B【分析】由題意知，等腰三角形的第三邊長(zhǎng)為3或6，由三角形的三邊關(guān)系可得，等腰三角形的第三邊長(zhǎng)為6，然后求周長(zhǎng)即可．【詳解】解：由題意知，等腰三角形的第三邊長(zhǎng)為3或6，由三角形的三邊關(guān)系可得，等腰三角形的第三邊長(zhǎng)為6，∴等腰三角形的周長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，且，相交于點(diǎn)F，若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)三角形外角的定義和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，，，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半；等腰三角形中等邊對(duì)等角；三角形中任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．4．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，線段的垂直平分線分別交，于點(diǎn)D，E，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)以及所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟知垂直平分線上的任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等、所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵．5．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在解答一道習(xí)題時(shí)，嘉嘉先作出了的一條高，又作出了的一條角平分線，發(fā)現(xiàn)作的是同一條線段，則一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：由題意可得：平分，，與是同一條線段，如圖所示：∵，，，∴，∴，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·上海寶山·七年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別等于3厘米和7厘米，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于________厘米．【答案】17【分析】分兩種情況討論：當(dāng)3厘米是腰時(shí),當(dāng)7厘米是腰時(shí)．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系檢驗(yàn)即可求解．【詳解】解：當(dāng)3厘米是腰時(shí)，∵，∴不能構(gòu)成三角形；當(dāng)7厘米是腰時(shí)，∵，∴能構(gòu)成三角形，∴三角形的周長(zhǎng)是（厘米）．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．此類題不要漏掉一種情況，同時(shí)注意看是否符合三角形的三邊關(guān)系．7．（2023秋·重慶渝北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形中，，D為線段上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)A作，連接，當(dāng)平分時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F使得，連接．若且，則__________．【答案】1.8【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，證明，得，再證明，然后根據(jù)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，則，∵∴，∵，∴，在和中，∴，∴．∵平分時(shí)，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：1.8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】3【分析】由是等邊三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得，，根據(jù)，得，得到，在中，求得，即可得答案．【詳解】解：連接，∵是等邊三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用含30度角的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．9．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)、分別在、上，且，和相交一點(diǎn)，于，，，___________．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)作答即可．【詳解】∵是等邊三角形，∴，，∵，在和中，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．10．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A，E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)求．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用證明，得；（2）結(jié)合（1）可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，∴，，，，∴，；（2）解：∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校考期中）等邊中，，且．

(1)求證：．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用證明，即可證明；（2）根據(jù)得到，根據(jù)，結(jié)合外角的性質(zhì)得到．【詳解】（1）解：在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到相等角．12．（2023·廣東廣州·?？既＃┮阎粋€(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)a，底邊上的高長(zhǎng)b．

(1)求作等腰三角形，底邊上的高為（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先在射線上截取，再作的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，然后在垂直平分線上截取，則滿足條件；（2）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得到平分，則，所以為等邊三角形，從而得到．【詳解】（1）解：如圖，先在射線上截取，再作的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，接著截取，則為所作；

（2），，平分，，為等邊三角形，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形點(diǎn)判定與性質(zhì)．13．（2023秋·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為D，，垂足為E，F(xiàn)是的中點(diǎn)連接．(1)求證：；(2)連接，若，．①判斷的形狀，并說(shuō)明理由；②_________．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①等邊三角形，見(jiàn)解析；②．【分析】（1）在和中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證；（2）①由（1）、求出長(zhǎng)度都為，由等邊三角形的定義即可證明；②利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理可求，在用“直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求出比值．【詳解】（1）證明：，，，，在中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，；在中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，；．（2）解：①等邊三角形，理由如下：由（1）知，，，，是等邊三角形．②解：由（1）得，同理可證：，是等邊三角形，，，，

，，，，，，，，在中，，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、直角三角形中相關(guān)基本性質(zhì)的綜合運(yùn)用及等邊三角形判斷問(wèn)題，掌握并熟練應(yīng)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，于F，于E，M為的中點(diǎn)．(1)若＝4，＝10，求的周長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)的周長(zhǎng)為14；(2)．【分析】（1）首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，進(jìn)而得出的周長(zhǎng)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，，進(jìn)而求出的度數(shù)即可得出答案．【詳解】（1）解：于F，于E，M為的中點(diǎn)，，，，,的周長(zhǎng)；故的周長(zhǎng)為14．（2），，，，，，故的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟練應(yīng)用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若一個(gè)等腰三角形腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）A． B． C．或 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】分兩種情況，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)求出頂角度數(shù)，即可得到等腰三角形底角的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)為銳角三角形時(shí)，作于點(diǎn)D，取的中點(diǎn)E，連接，如圖：

則，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取的中點(diǎn)，連接，如圖：

則，∵E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴；綜上分析可知，此等腰三角形的底角的度數(shù)是或，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，平分，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____．

【答案】【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段最短，進(jìn)而根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

∴，∴，則當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，∵平分，，∴在上，，∵，，∴，即：最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，軸對(duì)稱的性質(zhì)求最短距離，垂線段最短，含角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)，連接，若，則___________．

【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，判定，即可得出，再根據(jù)三線合一即可得到即可解答．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵平行四邊形中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴中，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推算．4．（2023·黑龍江哈爾濱·校考三模）如圖，四邊形ABCD中，且，過(guò)點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)E，若，則___________

【答案】8【分析】如圖所示，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F使得，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于G，連接，證明是等邊三角形，得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，；證明得到，進(jìn)而求出，則，即可得到，則．【詳解】解：如圖所示，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F使得，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于G，連接，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：8．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考三模）如圖，小明練習(xí)冊(cè)上的一個(gè)等腰三角形被墨跡污染了，只有它的底邊和還保留著．

(1)小明要在練習(xí)冊(cè)上畫(huà)出原來(lái)的等腰，用到的基本作圖可以是___________（填寫正確答案的序號(hào)）；①作一條線段等于已知線段；②作一個(gè)角等于已知角；③作已知角的平分線；④作已知線段的垂直平分線；⑤過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；(2)為邊上的中線，若的一個(gè)外角為，求的度數(shù)．【答案】(1)②或④(2)【分析】（1）作線段的垂直平分線，C垂足為D，的另一邊交直線于點(diǎn)C，連接，即為所求作．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：作線段的垂直平分線，垂足為D，的另一邊交直線于點(diǎn)C，連接，即為所求作．

作，它們的另一邊的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，則即為所求．而①③⑤的作圖均不能畫(huà)出原來(lái)的三角形，故答案為：②或④；（2）解：∵的一個(gè)外角為，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．6．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知，，點(diǎn)M、N分別在線段、上，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在線段上求作一點(diǎn)P，使得·（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見(jiàn)解析【分析】作的垂直平分線與線段的交點(diǎn)即為所求，此時(shí)由可得，由垂直平分線可得，進(jìn)而得到，則．【詳解】作的垂直平分線與線段的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)校聯(lián)考期中）【學(xué)習(xí)新知】等邊對(duì)等角是等腰三角形的性質(zhì)定理，如圖1，可以表述為∵∴【新知應(yīng)用】已知：在中，，若，則______；若，則______．【嘗試探究】如圖2，四邊形中，，，若連接，則平分．某數(shù)學(xué)小組成員通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性質(zhì)可以證明．請(qǐng)你參考他們的想法，寫出完整的證明過(guò)程．【拓展應(yīng)用】借助上一問(wèn)的嘗試，繼續(xù)探究：如圖3所示，在五邊形中，，，，連接，平分嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】新知應(yīng)用：；嘗試探究：見(jiàn)解析拓展應(yīng)用：平分；見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，證明得到，，從而得出平分；（3）連接，延長(zhǎng)到，使，連接，由，得到，，，再證明得到，從而得出平分．【詳解】新知應(yīng)用：∵，∴，若，則；若，則，∴；故答案是；嘗試探究：證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，∵，又∵，∴，∵在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∴，即平分；拓展應(yīng)用：證明：連接，延長(zhǎng)到，使，連接，∵，，∴∵在和中，，∴，∴，，又∵，，∴在和中，，∴，∴，∴，即平分；【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以速度向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為何值時(shí)，是等邊三角形？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)，(2)2(3)或3【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得到，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)方向和速度可列代數(shù)式；（2）根據(jù)等邊三角形的判定得：，列等式可得的值；（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，，則，分別求出的值．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，，故荅案為：；（2）是等邊三角形，，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，則，解得：，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；

（3）分兩種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，，，，則，解得：；

②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，解得：，

由題意得：，當(dāng)或3時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、角的直角三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，要注意直角三角形分情況討論．9．（2023春·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，點(diǎn)，，都在網(wǎng)格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按下列要求作圖．

(1)在圖中過(guò)點(diǎn)畫(huà)的垂線，且點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上．(2)在圖中畫(huà)，再畫(huà)，且點(diǎn)，都在網(wǎng)格點(diǎn)上．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）如圖，取格點(diǎn)P，作直線，則即為所作垂線；（2）根據(jù)平移和平行線的性質(zhì)或等腰三角形的性質(zhì)畫(huà)出即可．【詳解】（1）如圖，取格點(diǎn)P，作直線，則即為所作垂線；

（2）如圖2，圖中、或、即為所作點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖，平移的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用平行線的性質(zhì)平移是解決此題的關(guān)鍵．10．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點(diǎn)F是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在線段、邊上運(yùn)動(dòng)，且保持．連接、、．

(1)求證：是等腰三角形．(2)判斷的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，只需要證明得到，即可證明是等腰三角形；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，由三線合一定理得到，則，即可求出．【詳解】（1）解：證明：，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，在和中，，，，是等腰三角形；（2），，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，即，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．求證：為的角平分線．【答案】證明見(jiàn)解析；【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接,∵點(diǎn)是的中點(diǎn),∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即為的角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，中點(diǎn)定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性12．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）和均為等腰三角形．(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，求證：；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，為中DE邊上的高，試猜想，，之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖1中的和，若在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線與相交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)，證明見(jiàn)詳解；(3)的度數(shù)為：或；【分析】（1）根據(jù)和均為等腰三角形，，可得和均為等邊三角形，可得，，，即可得到，即可得到，即可得到證明；（2）根據(jù)和均為等腰三角形，可得，，，根據(jù)為中DE邊上的高，即可得到，根據(jù)三角形全等邊角邊判定可得，即可得到答案；（3）由（1）可得和均為等邊三角形，，可得，分D在內(nèi)部與外部?jī)?/p>