2.1-2.2軸對稱與軸對稱圖形、軸對稱的性質(zhì)（一）（解析版）

2.1-2.2軸對稱與軸對稱圖形、軸對稱的性質(zhì)（一）【推本溯源】1.觀察右圖它們有什么特點？（1）有兩個圖形

（2）兩個圖形能完全重合（形狀大小一樣）

（3）一個圖形通過翻折變換得到另一個（位置關系）2.觀察右圖它們有什么特點？（1）只有1個圖形（2）兩邊能完全重合（形狀大小一樣）（3）一邊通過翻折變換得到另一邊由圖1我們可以發(fā)現(xiàn)：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱。這條直線叫做對稱軸。兩個圖形中的對應點叫做對稱點。由圖2我們可以發(fā)現(xiàn)：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠完全重合，那么稱這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。注：軸對稱圖形的對稱軸可能只有一條，也可能有多條甚至無數(shù)條．說一說軸對稱與軸對稱圖形的共同點與不同點，并討論他們之間的聯(lián)系共同點：都能通過翻折得到，直到兩邊能完全重合；

不同點：軸對稱是2個圖形，軸對稱圖形是1個圖形。

聯(lián)系：（1）如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱；（2）如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，它是一個軸對稱圖形。5.軸對稱的性質(zhì)（一）把一張紙折疊后，用針扎一個孔；再把紙展開，兩針孔分別記為點、點，折痕記為；連接，與相交于點，線段AA′與直線l有什么關系？把紙重新沿l折疊后，點A與A′重合，OA=OA′；直線l把平角∠AOA′分成的兩個角相等，且都是直角。定義：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。幾何語言：如圖，直線交線段AB于點O,∵∠1＝90°，AO＝BO∴直線是線段AB的垂直平分線6.仿照上面的操作，在對折后的紙上再扎一個孔，把紙展開后記這兩個針孔為點、點，連接．你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

結論：（1）；（2）直線垂直平分；（3）7.仿照上面的操作，在對折后的紙上再扎一個孔，把紙展開后記這兩個針孔為點C、點C′，連接．你有什么新的發(fā)現(xiàn)？你能得出什么結論？（1）（2）直線垂直平分（3）軸對稱的性質(zhì)：（1）成軸對稱的兩個圖形全等；（2）成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分；（3）成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線互相平行或在同一條直線上.注：在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，沿對稱軸折疊后，重合的點是對應點，叫做對稱點．類似地，重合的線段是對應線段，重合的角是對應角．對應線段相等，對應角相等．【解惑】例1：下列不是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義（如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、矩形是軸對稱圖形，則此項不符合題意；B、平行四邊形不是軸對稱圖形，則此項符合題意；C、菱形是軸對稱圖形，則此項不符合題意；D、正方形是軸對稱圖形，則此項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形，熟記軸對稱圖形的定義是解題關鍵例2：如圖，把一個長方形紙條沿折疊，若，則的度數(shù)為（）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)得，由折疊的性質(zhì)得，再由平角定義求出即可．【詳解】解：∵四邊形是長方形，∴，∴，折疊的性質(zhì)得：，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、長方形的性質(zhì)以及平角定義；熟練掌握平行線的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)是解題的關鍵．例3：如圖，在2×2的方格紙中有一個以格點為頂點的ABC，則與ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形共有____個．【答案】5【分析】解答此題首先找到△ABC的對稱軸，EH、GC、AD，BF等都可以是它的對稱軸，然后依據(jù)對稱找出相應的三角形即可．【詳解】解：與△ABC成軸對稱且以格點為頂點三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5個，故答案為5.【點睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)；找著對稱軸后畫圖是正確解答本題的關鍵．例4：圖（1）是長方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖（2），再沿BF折疊成圖（3），在圖（1）中，圖（3）中用含有的式子表示___________．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：在圖①中，∵，，∴，∴，在圖②中，，在圖③中，由折疊的性質(zhì)得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，圖形的翻折變換，運用了數(shù)形結合的思想．解題關鍵是熟練運用翻折的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)判斷角的大?。?：已知，村莊和村莊都位于筆直的小河l同側，要在河邊建一引水站，使它到村莊，需鋪設的水管長度之和最?。?1)請畫出引水站的位置，并連接（包括畫圖痕跡）；(2)若不計雜料，所用水管之和為米，且比長米，兩村莊購買水管花費元，約定按長度分攤費用，請計算兩村莊各需付水管購買費多少元？【答案】(1)見解析(2)元；元【分析】（1）先作出點關于河流的對稱點，然后連接，與河流的交點即為所求作的水站的位置，此時最?。?）先求出每米水管的費用，然后列方程組求得，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，水站修在點處才能使所需的管道最短．（2）解：水管每米的費用為：（元），由題意得，，解得，∴村所付水管費用為（元），村所付水管費用為（元），【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)的應用，二元一次方程組的應用，讀懂題意是解題的關鍵．【摩拳擦掌】1．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）下列圖片中不是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】判斷一個圖形是否是軸對稱圖形，關鍵是要抓住定義，找一條將圖形分成兩部分的直線，并看這兩部分對折后是否重合．【詳解】解：由定義可知，選項A、C、D都是軸對稱圖形，故將其排除．B不是軸對稱圖形．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2023春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，將一張長方形紙條沿折疊，點A，B分別折疊至點，，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)得，再由平行線的性質(zhì)可求得，從而得解．【詳解】解：由折疊得：，四邊形是長方形，，，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．3．（2022秋·八年級單元測試）在下列說法中，正確的是（

）A．如果兩個三角形全等，則它們一定能關于某直線成軸對稱B．如果兩個三角形關于某直線成軸對稱，那么它們是全等三角形C．等腰三角形是以底邊高線為對稱軸的軸對稱圖形D．若兩個圖形關于某直線對稱，則它們的對應點一定位于對稱軸的兩側【答案】B【分析】利用軸對稱的性質(zhì)進行判定后即可得到正確的答案．【詳解】解：A、全等的三角形不一定對稱，故A錯誤，不合題意；B、關于某條直線對稱的兩個三角形一定全等，故B正確，符合題意；C、等腰三角形是以底邊的高線所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形，故C錯誤，不合題意；D、若兩個圖形關于某條直線對稱，則它們的對應點不一定位于對稱軸的兩側，故D錯誤，不合題意．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的概念和全等三角形的性質(zhì)，在解題時要注意靈活應用全等三角形的性質(zhì)和定義是本題的關鍵．4．（2023春·七年級單元測試）如圖，從標有數(shù)字1，2，3，4的四個小正方形中拿走一個，成為一個軸對稱圖形，則應該拿走的小正方形的標號是______．【答案】2【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義求解即可．軸對稱圖形：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：由軸對稱圖形的定義可得，應該拿走的小正方形的標號是2．故答案為：2．【點睛】此題考查了軸對稱圖形的定義，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱圖形的定義．軸對稱圖形：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．5．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一條長方形紙條進行兩次折疊，折痕分別為．若，，則的度數(shù)為________．

【答案】/50度【分析】由折疊的性質(zhì)可得，從而求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求出，最后再根據(jù)平行線性質(zhì)定理求出．【詳解】解：如圖，由折疊的性質(zhì)，可得，

∵紙帶對邊互相平行∴，∵，∴，又∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關系．6．（2023春·七年級單元測試）如圖，點P為內(nèi)一點，分別作出P點關于的對稱點，連接交于M，交于N，若線段長為，則的周長為________．【答案】12【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，然后求出的周長．【詳解】解：∵P點關于的對稱點，的周長為：cm故答案為：12．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任一點到兩個對應點之間的距離相等．7．（2021春·全國·七年級專題練習）如圖，是正方形網(wǎng)格，其中已有3個小正方形涂成了黑色，現(xiàn)在從剩余的13個白色小正方形中選出一個涂成黑色，使涂成黑色的四個小正方形所構成的圖形是軸對稱圖形，請你用4種不同的方法在備用圖中涂出．【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義：把一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合，畫圖即可．【詳解】解：如圖所示，【點睛】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，關鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)：沿著一直線折疊后重合．【知不足】1．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）在每一個學子心中或許都夢想過自己心目中大學的模樣，很多大學的?；赵O計也會融入數(shù)學元素，下列大學的?；請D案是軸對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A，B，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點睛】本題考查軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2022秋·廣東梅州·八年級校考階段練習）下列圖案中是軸對稱圖形的有（

）

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐一分析即可．【詳解】解：第1個圖形與第4個圖形能確定這樣的直線，使圖形沿這條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形，第2個，第3個圖形不是軸對稱圖形，故選B【點睛】本題考查的是軸對稱圖形的識別，熟記軸對稱圖形的概念是解本題的關鍵，一個圖形沿某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形是軸對稱圖形．3．（2023春·陜西西安·七年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）如圖，將長方形沿折疊，使點A落在邊上的點E處，點B落在點F處，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊求出，，根據(jù)，求出，得出，求出即可．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，，∵，，∴，∴，∴，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，求出．4．（2022春·九年級單元測試）如圖，在中，，，，，平分交于點，、分別是，上的動點，則的最小值為（）

A． B．5 C．3 D．【答案】D【分析】利用角平分線構造全等，使兩線段可以合二為一，則的最小值即為點到的垂線段長度．【詳解】解：在上取一點，使，如圖，

，，，，，則最小值是垂直時，的長度，∵，．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，解題的關鍵是根據(jù)角平分線構造全等以及線段和差極值問題．5．（2022春·七年級單元測試）粗圓體的漢字“口，品，土”等多是軸對稱圖形．請再寫出至少三個以上這樣的漢字________．【答案】十，中，日（答案不唯一）【分析】根據(jù)軸對稱的定義寫出三個即可．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的定義，軸對稱圖形的漢字：十，中，日．故答案為：十，中，日（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關鍵．6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形紙條折疊，B點的對應點為，折痕為，再次折疊，C點的對應點落在上處，折痕為，則兩條折痕的夾角的度數(shù)為_________．

【答案】/90度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再根據(jù)平角的定義得到，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：∵矩形紙片的一角折疊，頂點B落在處，另一角折疊，頂點C落在上的點處，∴，而，∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應邊相等．也考查了平角的定義．7．（2022秋·吉林松原·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，直線是正五邊形的一條對稱軸，連接，則的度數(shù)是______．【答案】/度【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)解答．【詳解】解：多邊形是正五邊形，，，根據(jù)對稱的性質(zhì)，，．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟悉軸對稱的性質(zhì)和五邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，現(xiàn)有一張長方形紙片，點，在邊上，點，在邊上，分別沿，折疊，使點和點都落在點處，點的對應點為點，點的對應點為點．若，則的度數(shù)為________．【答案】/124度【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進而得出，由折疊，得，，進而可得出答案．【詳解】由題意，得，，，，由折疊，得，，，故答案為：．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．9．（2023春·七年級單元測試）如圖，P在內(nèi)，點M，N分別是點P關于的對稱點，分別交于E，F(xiàn)．(1)若的周長是，求的長；(2)若，試求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可得，由三角形周長公式得到，則，即；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，進一步推出．【詳解】（1）解：∵點M，N分別是點P關于的對稱點，∴，∵的周長是，∴，∴，即；（2）解：如圖所示，連接，∵點M，N分別是點P關于的對稱點，∴，∴．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，正確得到，是解題的關鍵．【一覽眾山小】1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫并積極普及科學防控知識，下面是科學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）A．

有癥狀早就醫(yī) B．

防控疫情我們在一起 C．

打噴噴攝口鼻 D．

勤洗手勤通風【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，據(jù)此作答即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意；B、是軸對稱圖形，符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，熟知軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）《國語?楚語》記載：“夫美也者，上下、內(nèi)外、大小、遠近皆無害焉，故曰美．”這一記載充分表明傳統(tǒng)美的本質(zhì)特征在于對稱和諧．下列四個圖案中，是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將長方形紙片沿翻折，點C，D的對應點分別是點G，H，若，則的大小是___________．

【答案】/80度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，則．【詳解】解：長方形中，，，，，由軸對稱的性質(zhì)得：，，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；折疊前后對應角相等．4．（2023春·全國·七年級專題練習）在線段、角、圓、長方形、梯形、三角形、等腰三角形中，不是軸對稱圖形的有______個．【答案】2【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．據(jù)此作答．【詳解】解：線段的垂直平分線所在的直線是對稱軸，是軸對稱圖形，不符合題意；角的平分線所在直線就是對稱軸，是軸對稱圖形，不符合題意；圓有無數(shù)條對稱軸，是軸對稱圖形，不符合題意；長方形有二條對稱軸，是軸對稱圖形，不符合題意；梯形不一定是軸對稱圖形，符合題意；三角形不一定是軸對稱圖形，符合題意；等邊三角形三條中線所在的直線是對稱軸，是軸對稱圖形，不符合題意；∴不是軸對稱圖形的有2個，故答案為：2．【點睛】本題考查了軸對稱的概念．軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，圖象沿某一直線折疊后可以重合．5．（2023春·廣東佛山·七年級佛山市第十四中學校考期中）如圖，和關于直線對稱，已知，，．求的度數(shù)及、的長度．

【答案】，、【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對應邊相等，對應角相等即可得出答案．【詳解】解：和關于直線對稱，，，，又，，．，，，【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，兩個圖象關于某直線對稱，對應邊相等，對應角相等．6．（2023秋·八年級課時練習）如圖，點為內(nèi)一點，分別作出點關于，的對稱點，，連接，交于點，交于點，則的周長等于圖中哪一條線段的長？說明理由．

【答案】的周長等于的長，見解析【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，，然后求出的周長．【詳解】解：的周長等于的長.理由：由對稱性可知，，，所以的周長.【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等．7．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校⒀啬硹l直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為．

(1)如果，，試求的周長；(2)如果，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，就有的周長而求出結論；（2）設，則，由可以求出，由直角三角形的性質(zhì)就可以求出結論．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可得：，．∵的周長，∴的周長．∵，，∴的周長；（2）解：設，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用，三角形的周長公式的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解是關鍵．8．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，是由三個陰影的小正方形組成的圖形，請你在三個網(wǎng)格圖中，各補畫出一個有陰影的小正方形，使補畫后的圖形（陰影部分）為軸對稱圖形．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)軸對稱的概念作答，如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：所補畫的圖形如下所示：【點睛】本題考查了軸對稱，解題的關鍵是掌握軸對稱的概念和性質(zhì)．9．（2021秋·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A是將軍和馬居住的營帳，點B是一塊兒指定的草地，一條小河L潺潺流過，P是將軍帶著馬兒喝水的地方，P點在何處時，將軍和馬兒走過的路的值最?。?1)請在圖中畫出最短路徑，標出點P的位置；(2)證明這時最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析【分析】（1）作點A關于L的對稱點，連接交L于點P，P點即為所求；（2）在L上另取一點，連接、，在中，當點與點P重合時，有：，即：，即問題得證．【詳解】（1）如圖，作點A關于L的對稱點，連接交L于點P，P點即為所求．（2）在L上另取一點，連接、，在中，當點與點P重合時，有：，即：，∴當位于點P時，最?。军c睛】本題屬于一類將軍飲馬的問題，掌握P點的作圖方法是解答本題的關鍵．10．（2023秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點都是格點，其中.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．(1)在圖1中，先畫邊上的中線；再畫的平分線；(2)在圖2中，先畫于點F；M是邊上一點，再畫點M關于直線的對稱點N．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖可知豎直有個格，取上A點上方兩個格的點D，連接；先作的角平分線，點Q是三角形三條角平分線的交點，過Q作射線交于點E；（2）連接，交于點F；作A關于的對稱點，過M作交B于點M．【詳解】（1）如圖，即為所作；（2）如圖，和點M即為所作．【點睛】本題考查三角形的高線、中線、角平分線和軸對稱，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題．11．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）如圖1，已知點A，B，C，D．按要求畫圖：①連接；②畫射線；③反向延長交直線于點M；④畫點P，使得的值最小，這樣畫圖的依據(jù)是___________．（2）如圖2，將長方形紙片沿折疊，使得點A和點D分別落到點E和點F處．已知，直接寫出的大?。敬鸢浮浚?）①見解析；②見解析；③見解析；④見解析；兩點之間線段最短；（2）【分析】（1）根據(jù)題意畫圖即可得出線段，射線，連接、，則與的交點即為點P；（2）先根據(jù)，得出，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：（1）①如圖，為所求作的線段；②如圖，為所求作的射線；③如圖，反向延長交直線于點M；④如圖，連接、，交于一點P，則點P為所求作的點；這樣畫圖的依據(jù)是兩點之間線段最短；故答案為：兩點之間線段最短．（2）∵，∴，根據(jù)折疊可知，，∴．【點睛】本題主要考查了畫線段、射線、直線，兩點之間線段最短，折疊的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)，線段、射線和直線的定義．12．（2023秋·八年級課時練習）請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡.

(1)如圖①，四邊形中，，，，畫出四邊形的對稱軸；(2)如圖②，四邊形中，，，畫出邊的垂直平分線.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱線交點在對稱軸上，結合，，，找到交點即可得到答案；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱線交點在對稱軸上，結合，，，找到交點即可得到答案；【詳解】（1）解：由軸對稱的性質(zhì)可得，∵，，，∴與，與，關于對稱軸對稱，連接即可得到對稱軸，如圖所示，

（2）解：由軸對稱的性質(zhì)可得，∵，，∴與關于對稱軸對稱，連接交于一點，相交于一點，連接兩點得到直線即為對稱軸，如圖所示；【點睛】本題考查作對稱軸及軸對稱的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握：對稱線交點在對稱軸上．13．（2022秋·八年級單元測試）如圖1，點A、B兩點在直線的同側，點與A關于直線對稱，連接交于點，設．

(1)求；(2)若點是直線上異于點的任意一點．求證：；(3)如圖2，在上求作一點，使最小．作法：

【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用軸對稱性質(zhì)得到邊長關系即可求出；（2）利用軸對稱換邊，再使用三角形三邊