19.9.4 勾股定理 同步練習(xí)

19.9.4勾股定理【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、填空題1．（2019·上海外國語大學(xué)秀洲外國語學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則DE=_____．2．（2021·上海市蒙山中學(xué)八年級(jí)期中）在中，，，作，垂足為，將沿著直線翻折得到，如果，那么的長(zhǎng)是___________．3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在中，，，．第一步，在邊上找一點(diǎn)，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖2，第二步，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖3．當(dāng)點(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)為__________．4．（2022·上?！ぐ四昙?jí)單元測(cè)試）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，AB//CD，AD//BC，∠D=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，將△BEF沿著直線EF翻折，點(diǎn)B恰好與邊AD的中點(diǎn)G重合，則BE的長(zhǎng)等于____________．5．（2022·上海奉賢區(qū)陽光外國語學(xué)校八年級(jí)期中）已知點(diǎn)D是△ABC邊AB的中點(diǎn)，G是CD上一點(diǎn)，且2GD=CG，GA=10，GC=8，GB=6，將△ADG繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE，則△EBC的面積為_________．6．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，將點(diǎn)折疊到點(diǎn)處，折痕為，則的長(zhǎng)度________.7．（2021·上海·奉教院附中八年級(jí)期末）如圖．在中，，，以直角頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)用含的代數(shù)式表示為_______________．8．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，．試在軸上再找一點(diǎn)，使得三角形為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．9．（2021·上海民辦華曜寶山實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，DE＝3，將△ADE沿著DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F，直線EF與AC交于點(diǎn)G，那么△DGF的面積＝_____．10．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是邊AB上的一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B1的位置，若B1D⊥BC，則BD的長(zhǎng)度為_____．11．（2021·上海虹口·八年級(jí)期末）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，則Rt△ABC的面積等于_____．12．（2021·上海市莘光學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝4，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是___．二、解答題13．（2021·上海市洋涇菊?qǐng)@實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝4．（1）尺規(guī)作圖：求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離相等，同時(shí)P到邊BA、BC的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求出點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離．14．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（2，0），B(2，2)和C（3，1），判斷的形狀，并求出的面積．15．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，，點(diǎn)在上，．（1）求作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；（2）聯(lián)結(jié)，求作的角平分線；（3）根據(jù)（1）（2）的條件，求的長(zhǎng)．（第（1）、（2）題保留作圖痕跡，不需要寫出作圖步驟）16．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖1，在中，，是的中點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作的垂線，交射線于．（1）如圖2，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；（2）如圖3，如果，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．17．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期中）如圖，已知在中，，，，在線段上有動(dòng)點(diǎn)，在射線上有動(dòng)點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊（與點(diǎn)、不重合）上，線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）過點(diǎn)作邊的垂線，垂足為點(diǎn)，隨著、兩點(diǎn)的移動(dòng)，線段的長(zhǎng)能確定嗎？若能確定，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不能確定，請(qǐng)說明理由．18．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D、E在線段AB上．（1）如圖1，若CD＝CE，求證：AD＝BE；（2）如圖2，若∠DCE＝45°，求證：DE2＝AD2+BE2；（3）如圖3，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，∠BPC＝135°，設(shè)AP＝a、BP＝b、CP＝c，請(qǐng)直接寫出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．19．（2021·上海虹口·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，且有AD＝BD，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），聯(lián)結(jié)DE，設(shè)AE＝x，DE＝y(tǒng)．（1）求∠A的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（無需寫出定義域）；（3）當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．20．（2021·上海浦東新·八年級(jí)期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接AD，以AD始邊作∠DAE＝α（0°＜α＜180°）．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°，且AE＝AD時(shí)，試說明CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)α＝45°，且點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：BD2+CE2＝DE2．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海復(fù)旦五浦匯實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角中，，，將沿某直線翻折，使得點(diǎn)落在的中點(diǎn)上，如果折痕與的交點(diǎn)為，那么的長(zhǎng)為______．2．（2022·上?！y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，是的中線，將沿直線翻折，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，如果，那么______．3．（2022·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊，在的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是__．4．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）已知，在△ABC中，BC=3，∠A=22.5°，將△ABC翻折使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕與邊AC交于點(diǎn)P，如果AP=4，那么AC的長(zhǎng)為_______二、解答題5．（2022·上?！y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）梯形中，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，的角平分線交射線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在線段上，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；(3)聯(lián)結(jié)、，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．6．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作線段DE的垂直平分線分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N，設(shè)AM=x，ME=y．(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求ME的長(zhǎng)；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)MN經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出ME的長(zhǎng)．7．（2022·上海·八年級(jí)期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移動(dòng)的等邊三角形DEF的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F始終在邊BC上，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)G、H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D恰好在斜邊AB上，求△DEF的周長(zhǎng)；(2)如圖2，在△DEF作平行移動(dòng)的過程中，圖中是否存在與線段CF始終相等的線段？如果存在，請(qǐng)指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)假設(shè)C點(diǎn)與F點(diǎn)的距離為x，△DEF與△ABC的重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．8．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，聯(lián)結(jié)EF．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，①求證：△AEF≌△ADC；②聯(lián)結(jié)BE，設(shè)C、D間距離為x，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；(2)當(dāng)∠DAB=15°時(shí)，求△ADE的面積（直接寫出答案）．9．（2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)PQ、CQ，PQ與邊AB交于點(diǎn)D．(1)求∠B的度數(shù)；(2)聯(lián)結(jié)BQ，當(dāng)∠BQC＝90°時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；(3)設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．10．（2022·上?！ぐ四昙?jí)開學(xué)考試）如圖1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=，點(diǎn)D在射線BC上，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑畫弧交AB邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交邊AC于點(diǎn)F，射線ED交射線AC于點(diǎn)G．(1)求證：EA=EG；(2)若點(diǎn)G在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BD=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；(3)聯(lián)結(jié)DF，當(dāng)△DFG是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)度．11．（2022·上海市南洋模范中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，是邊上不與點(diǎn)、重合的任意一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)如果設(shè)，，求與的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值．

19.9.4勾股定理（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、填空題1．（2019·上海外國語大學(xué)秀洲外國語學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則DE=_____．【答案】【詳解】解：連接AD，因?yàn)锳B=AC=13，所以AD⊥BC，由勾股定理可得AD=12，根據(jù)面積相等得：12×5=13×DE，所以DE=．故答案為：2．（2021·上海市蒙山中學(xué)八年級(jí)期中）在中，，，作，垂足為，將沿著直線翻折得到，如果，那么的長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】根據(jù)折疊可得，再根據(jù)直角三角形的勾股定理即可求得答案．【詳解】解：∵將沿著直線翻折得到，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在中，，，．第一步，在邊上找一點(diǎn)，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖2，第二步，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖3．當(dāng)點(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)為__________．【答案】或【分析】因?yàn)辄c(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上，所以分為當(dāng)落在邊上和邊上兩種情況分析，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)落在邊上時(shí)，如圖（1）：設(shè)交于點(diǎn)，由折疊知：，，，，，設(shè)，則在中，在中，即．當(dāng)落在邊上時(shí)，如圖（2）因?yàn)檎郫B，．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換，勾股定理，直角三角形中的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，AB//CD，AD//BC，∠D=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，將△BEF沿著直線EF翻折，點(diǎn)B恰好與邊AD的中點(diǎn)G重合，則BE的長(zhǎng)等于____________．【答案】【分析】過G作GH⊥BA交BA延長(zhǎng)線于H，AB//CD，∠D=60°，∠HAG=60°，利用所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AH=1，HG=后再在中利用勾股定理求出GE的長(zhǎng)即BE的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，過G作GH⊥BA交BA延長(zhǎng)線于H，∵△BEF沿著直線EF翻折后得到△GEF，∴BE=GE，∵AB//CD，∠D=60°，∴∠HAG=60°，∴∠AGH=30°，∵AG=GD=2，∴AH=1，HG=，設(shè)BE=GE=，則EH=，在中，，解得；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·上海奉賢區(qū)陽光外國語學(xué)校八年級(jí)期中）已知點(diǎn)D是△ABC邊AB的中點(diǎn)，G是CD上一點(diǎn)，且2GD=CG，GA=10，GC=8，GB=6，將△ADG繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE，則△EBC的面積為_________．【答案】48【分析】2GD=CG，GC=8，得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DE=GD=4，AG=BE=10，從而得出，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BGE是直角三角形，得出∠BGE=90°，即可得出∠BGC=90°，根據(jù)直角三角形的面積公式算出面積，進(jìn)而得出答案即可．【詳解】解：∵2GD=CG，GC=8，∴，∵將△ADG繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE，∴DE=GD=4，AG=BE=10，∴，∵BG=6，∴，∴△BGE是直角三角形，∴△BGE的面積為：×6×8=24，∵∠BGE=90°，∴∠BGC=90°，∴△BGC的面積為：×6×8=24，∴△EBC的面積為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，將點(diǎn)折疊到點(diǎn)處，折痕為，則的長(zhǎng)度________.【答案】【分析】根據(jù)折疊原理得出，再根據(jù)勾股定理求解即可.【詳解】由折疊原理可知：設(shè)則根據(jù)勾股定理得：∴解得即故填：.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的翻折、勾股定理、解方程，根據(jù)勾股定理列出方程是關(guān)鍵.7．（2021·上?！し罱淘焊街邪四昙?jí)期末）如圖．在中，，，以直角頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)用含的代數(shù)式表示為_______________．【答案】【分析】根據(jù)“，”可知∠B=60°，根據(jù)“以直角頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)”可知△ABD是等邊三角形，∠BAD=60°，繼而可知∠DAE=30°，利用直角三角中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半，即可知AB和BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)，從而可得周長(zhǎng).【詳解】∵中，，∴∠B=60°，BC=2AB∵以直角頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，∴AB=AD∵∠B=60°∴△ABD是等邊三角形∴∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，又∵DE⊥AC∴△ADE是直角三角形∴AD=2DE=2a∴AB=2a，BC=4a根據(jù)勾股定理有∴∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理，能夠根據(jù)含有30°角的直角三角形相關(guān)性質(zhì)和勾股定理求出三邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.8．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，．試在軸上再找一點(diǎn)，使得三角形為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．【答案】，，，【分析】以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作?。灰訟為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作?。蛔鰽B的垂直平分線，即可得到點(diǎn)C可能的不同位置，依據(jù)兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5，3)，B(1，0)，即可得到第三個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，∵A(5，3)，B(1，0)，∴AB=5，以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交x軸于C1和C2，則BC1=BC2=5，∴OC1=-4，OC2=6，∴C1(-4，0)，C2(6，0)；以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，交x軸于C3，則BE=EC3=4，∴OC3=9，∴C3(9，0)，作AB的垂直平分線，交x軸于C4，則BD=2.5，設(shè)C4(x，0)，則BC4=x-1，EC4=5-x，∵BC4=AC4，∴，解得x=，∴C4(，0)；綜上所述，點(diǎn)C可能的不同位置有4個(gè)，坐標(biāo)為(-4，0)，(6，0)，(9，0)，(，0)．故答案為：(-4，0)，(6，0)，(9，0)，(，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，特別是分類討論思想的應(yīng)用，不要漏解．9．（2021·上海民辦華曜寶山實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，DE＝3，將△ADE沿著DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F，直線EF與AC交于點(diǎn)G，那么△DGF的面積＝_____．【答案】6或6+9【分析】分兩種情況：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q，先求出三角形AEG的AE邊上的高GQ和三角形ADE的AD邊上的高，根據(jù)S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG可分別求出答案．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q，∵AB＝12，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝AB＝6，∵EH⊥AC，∴∠AHE＝90°，∵∠A＝30°，AE＝6，∴AH＝＝＝3，∵DE＝3，∴DH＝＝＝3，∴DH＝EH，AD＝AH﹣DH＝3﹣3，∴∠EDH＝45°，∴∠AED＝∠EDH﹣∠A＝15°，由折疊的性質(zhì)可知，∠DEF＝∠AED＝15°，∴∠AEG＝2∠AED＝30°，∴∠AEG＝∠A，∴AG＝GE，∵GQ⊥AE，∴AQ＝AE＝3，∵∠A＝30°，∴GQ＝AG，∴GQ2+32＝（2GQ）2，∴GQ＝．∵S△AED＝S△FED，∴S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，∴S△DGF＝2××3﹣＝6﹣9．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q，∵AB＝12，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝AB＝6，∵EH⊥AC，∴∠AHE＝90°，同理求得DH＝EH，AH＝3，AD＝3+3，∴∠DEH＝45°，∴∠AED＝90°﹣∠A+∠DEH＝105°，由折疊的性質(zhì)可得出∠DEF＝∠AED＝105°，∴∠AEG＝2∠AED﹣180°＝30°，∴∠AEG＝∠A，∴AG＝GE，同①求出GQ＝，∵S△DGF＝2S△AED﹣S△AEG，∴S△DGF＝2×﹣＝6+9．故答案為：6或6+9．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是邊AB上的一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B1的位置，若B1D⊥BC，則BD的長(zhǎng)度為_____．【答案】【詳解】延長(zhǎng)B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根據(jù)含角直角三角形和勾股定理的性質(zhì)，推導(dǎo)得DE＝BD，BE＝BD，設(shè)BD＝x，在Rt△B1CE中根據(jù)軸對(duì)稱、勾股定理的性質(zhì)，建立方程計(jì)算即可解得答案．【解答】延長(zhǎng)B1D交BC于E，如圖：∵B1D⊥BC，∴∠BED＝∠B1EC＝90°，∵∠B＝30°，∴DE＝BD，∴BE＝＝BD，設(shè)BD＝x，∵將△BCD沿直線CD翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B1的位置，∴B1D＝x，∵BC＝3，∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32∴∴x＝0（舍去）或x＝∴BD＝故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、一元二次方程、軸對(duì)稱、含角直角三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理；軸對(duì)稱、含角直角三角形、一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．11．（2021·上海虹口·八年級(jí)期末）定義：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，則Rt△ABC的面積等于_____．【答案】9或##或9【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分別畫圖，根據(jù)“特征三角形”的定義即可解決問題．【詳解】解：如圖，若∠A＝90°，∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，∴∠B＝∠C＝45°，∴AC＝AB＝BC＝3，∴＝9；如圖，若∠A≠90°，∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，由勾股定理得：，即，∴AC＝（負(fù)值舍去），∴＝，故答案為：9或．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2021·上海市莘光學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝4，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是___．【答案】5【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，即為MP+PQ+QN的最小值，根據(jù)軸對(duì)稱的定義可推出為等邊三角形，為等邊三角形，得再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，連接，則，當(dāng)共線時(shí)取得最小值，即為MP+PQ+QN的最小值，根據(jù)軸對(duì)稱的定義得∴為等邊三角形，為等邊三角形，∴在中，∴MP+PQ+QN的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線，找出MP+PQ+QN的最小值即的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．二、解答題13．（2021·上海市洋涇菊?qǐng)@實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝4．（1）尺規(guī)作圖：求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離相等，同時(shí)P到邊BA、BC的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求出點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離．【答案】（1）圖見解析；（2）．【分析】（1）先利用尺規(guī)作圖作出的垂直平分線，再利用尺規(guī)作圖作出的角平分線，線段垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)即為所求；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理即可得．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)即為所求．（2）如圖，由（1）可知，垂直平分，是的角平分線，，，，設(shè)，則，在中，，即，利用平方根解得：或（不符題意，舍去），則，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．14．（2021·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（2，0），B(2，2)和C（3，1），判斷的形狀，并求出的面積．【答案】是等腰直角三角形，面積為1．【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出AB、AC、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的定義、勾股定理的逆定理可得的形狀，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．【詳解】，，，，，且，是等腰直角三角形，且，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義、勾股定理的逆定理、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握兩點(diǎn)之間的距離公式是解題關(guān)鍵．15．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，，點(diǎn)在上，．（1）求作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；（2）聯(lián)結(jié)，求作的角平分線；（3）根據(jù)（1）（2）的條件，求的長(zhǎng)．（第（1）、（2）題保留作圖痕跡，不需要寫出作圖步驟）【答案】（1）見解析，（2）見解析，（3）；【分析】（1）按照垂直平分線的作法作圖即可；（2）按照角平分線的作法作圖即可；（3）根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）線段的垂直平分線如圖所示；（2）的角平分線如圖所示；（3）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，OB=BA，∴，∴，，，【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和勾股定理，解題關(guān)鍵是明確尺規(guī)作圖的方法，熟練應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．16．（2021·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在中，，是的中點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作的垂線，交射線于．（1）如圖2，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；（2）如圖3，如果，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解；（2）PQ=；（3），，【分析】（1）在中，，是的中點(diǎn)可得DC=AD=BD，可求∠DCB=∠DBC=30°，由外角性質(zhì)∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，由QB⊥DB，可求∠DQB=90°-∠QDB=30°，可得DQ=2DB=2DC，由D與P重合，可證PQ=2PC；（2）過B作BH⊥PQ于H，由AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，可求AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，由∠HCB=30°，∠CHB=90°，可求CB=2BH=可得BH=，由∠PBQ=90°，BP=BQ，可求PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，由勾股定理求出CH=，當(dāng)CP≤9時(shí)PH=9-PC=9-x，當(dāng)CP時(shí)PH=PC-9=x-9，分兩種情況，在RtRt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2即可求出?！驹斀狻拷猓海?）在中，，是的中點(diǎn)，∴DC=AD=BD，∴∠DCB=∠DBC=30°，又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°，∵QB⊥DB，∴∠DQB=90°-∠QDB=30°，∴DQ=2DB=2DC，∵D與P重合，PQ=2PC；（2）過B作BH⊥PQ于H，∵AC=6，∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AB=2AC=12，在Rt△ACB中由勾股定理BC=，又因?yàn)椤螲CB=30°，∠CHB=90°，∴CB=2BH=，∴BH=，∵∠PBQ=90°，BP=BQ，∴PQ=2BH=；（3）由（2）得BH=，在Rt△CBH中，CH=，當(dāng)CP≤9時(shí)PH=9-PC=9-x，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(9-x)2+27，即，當(dāng)CP時(shí)PH=PC-9=x-9，在Rt△PBH中由勾股定理得：PB2=PH2+BH2，y2=(x-9)2+27，即，【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)函數(shù)關(guān)系，掌握直角三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)函數(shù)關(guān)系，解題關(guān)鍵是在Rt△PBH中利用勾股定理構(gòu)造等式求出函數(shù)關(guān)系．17．（2021·上海·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，，，，在線段上有動(dòng)點(diǎn)，在射線上有動(dòng)點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊（與點(diǎn)、不重合）上，線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）過點(diǎn)作邊的垂線，垂足為點(diǎn)，隨著、兩點(diǎn)的移動(dòng)，線段的長(zhǎng)能確定嗎？若能確定，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不能確定，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），證明見解析；（2）能，．【分析】（1）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定可推出，則可利用AAS證得≌，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由題意可得△AMD為等腰直角三角形，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，由全等三角形的性質(zhì)可得，由，，于是得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）；理由是：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．在和中：，∴≌．∴．（2）線段的長(zhǎng)度能確定，且為．理由是：過點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，過作交于，由（1）得，為等腰直角三角形．設(shè)，∴．∵≌，∴．∵，∴．∴．在等腰直角三角形中，∵，∴，∴．∴線段的長(zhǎng)度確定，與、的移動(dòng)無關(guān)，長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D、E在線段AB上．（1）如圖1，若CD＝CE，求證：AD＝BE；（2）如圖2，若∠DCE＝45°，求證：DE2＝AD2+BE2；（3）如圖3，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，∠BPC＝135°，設(shè)AP＝a、BP＝b、CP＝c，請(qǐng)直接寫出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），見解析【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，則△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可轉(zhuǎn)化為AD＝BE；（2）將△ACD繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，聯(lián)結(jié)EF，則BF＝AD，證明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再證明∠EBF＝90°，則FE2＝BF2+BE2，即可證得DE2＝AD2+BE2；（3）將△CAP繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG，聯(lián)結(jié)PG，則BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再證明∠BPG＝90°，則BG2＝BP2+PG2，可證得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∵CD＝CE，∴∠CEA＝∠CDB，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，∴AE﹣DE＝BD﹣DE，∴AD＝BE．（2）證明：如圖2，將△ACD繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，聯(lián)結(jié)EF，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CBA＝∠A＝45°，由旋轉(zhuǎn)得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FCE＝∠DCE，∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE（SAS），∴FE＝DE，∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝90°，∴FE2＝BF2+BE2，∵BF＝AD，∴DE2＝AD2+BE2．（3）a2＝b2+2c2，理由如下：如圖3，將△CAP繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG，聯(lián)結(jié)PG，由旋轉(zhuǎn)得GC＝PC，∠PCG＝90°，∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，∵∠BPC＝135°，∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，∴BG2＝BP2+PG2，∵BG＝AP，∴AP2＝BP2+2PC2，∴a2＝b2+2c2．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2021·上海虹口·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，且有AD＝BD，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），聯(lián)結(jié)DE，設(shè)AE＝x，DE＝y(tǒng)．（1）求∠A的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（無需寫出定義域）；（3）當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【答案】（1）30°；（2）y＝；（3）12﹣4或8【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A；（2）作DF⊥AB于F，根據(jù)勾股定理求出DF，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）分BE＝BD、BE＝DE兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，∵∠C＝90°，∴∠A＝30°；（2）如圖，作DF⊥AB于F，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∵DA＝DB，DF⊥AB，∴AF＝AB＝6，∴EF＝|6﹣x|，在Rt△AFD中，∠A＝30°，∴DF＝AF＝2，在Rt△DEF中，，即，解得：y＝；（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，∴AD＝BD＝4，當(dāng)BE＝BD＝4時(shí)，AE＝12﹣4；當(dāng)BE＝DE時(shí)，12﹣x＝，解得：x＝8，即AE＝8，∵點(diǎn)E與A、B不重合，∴DB≠DE，綜上所述：當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為12﹣4或8．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理，靈活運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．20．（2021·上海浦東新·八年級(jí)期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接AD，以AD始邊作∠DAE＝α（0°＜α＜180°）．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°，且AE＝AD時(shí)，試說明CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)α＝45°，且點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：BD2+CE2＝DE2．【答案】(1)CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE＝BD，理由見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，運(yùn)用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系；（2）把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接DG，由“SAS”得到△ADG≌△ADE，可得DE＝DG，即可把EF，BE，F(xiàn)C放到一個(gè)直角三角形中，從而根據(jù)勾股定理即可證明；(1)CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE＝BD．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD；(2)如圖2，把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接DG，則△ACE≌△ABG，∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°，∴∠GBD＝90°．∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°．∴∠GAD＝∠DAE＝45°，在△ADG和△ADE中，，∴△ADG≌△ADE（SAS）．∴ED＝GD，又∵∠GBD＝90°，∴BD2+BG2＝DG2，即BD2+EC2＝DE2；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【能力提升】一、填空題1．（2022·上海復(fù)旦五浦匯實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，在等腰直角中，，，將沿某直線翻折，使得點(diǎn)落在的中點(diǎn)上，如果折痕與的交點(diǎn)為，那么的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】作，由題意可得AD=3，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得≌，由全等三角形的性質(zhì)可得DM=MB；然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=DG，再根據(jù)勾股定理可得；設(shè)GM=x，則MB=DM=，可根據(jù)AB=AG+GM+MB求得GM，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：如圖，折到的中點(diǎn)處，折痕為，作，∴AD=CD=3是翻折而成，≌，∴DM=MB∵等腰直角中，∴AG=DG∵作∴，即，解得：設(shè)GM=x，則MB=DM=∵AB=AG+GM+MB∴，解得：x=2，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，掌握折疊和全等三角形的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·上海·測(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，是的中線，將沿直線翻折，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，如果，那么______．【答案】##1.8##【分析】先證明，，結(jié)合得到，利用等面積法求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，∵是由翻折，∴，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．∴．∵，∴．在中，，，∴．∵，∴，解得：．在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形外角性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊，在的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是__．【答案】8【分析】連接，作于，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，過點(diǎn)作，則，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，，接著證明得到，于是可判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到的距離為2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，則，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，作于，則△，所以，所以，于是得到當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為8．【詳解】解：連接，作于，如圖所示：為等邊三角形，，過點(diǎn)作，則，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到的距離為2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，，則，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，作于，則△，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為8．故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，也考查了等邊三角形的性質(zhì)．在解決問題時(shí)，關(guān)鍵要掌握點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用代數(shù)或幾何方法確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．4．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）已知，在△ABC中，BC=3，∠A=22.5°，將△ABC翻折使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕與邊AC交于點(diǎn)P，如果AP=4，那么AC的長(zhǎng)為_______【答案】【分析】過B作BF⊥CA于F，構(gòu)造直角三角形，分兩種情況討論，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到AC的長(zhǎng)．【詳解】分兩種情況：①當(dāng)∠C為銳角時(shí)，如圖所示，過B作BF⊥AC于F，由折疊可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=，∴AC=AP+PF+CF=5+；②當(dāng)∠ACB為鈍角時(shí)，如圖所示，過B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=，又∵BC=3，∴Rt△BCF中，CF=，∴AC=AF-CF=3+.故答案為：5+或3+．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是分兩種情況畫出圖形進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．二、解答題5．（2022·上海·測(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末）梯形中，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，的角平分線交射線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)在線段上，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；(3)聯(lián)結(jié)、，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)的長(zhǎng)為或或．【分析】（1）連接，過作于，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理可得，然后證明四邊形ABHD是矩形，求出DH＝AB＝4，CH＝2，在中，由勾股定理可得CD的長(zhǎng)；（2）連接，過點(diǎn)作于，求出，，在中，由勾股定理可得，整理后可得答案；分情況討論：當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)時(shí)，可證≌，過作于，在中，求出，即可求得；當(dāng)時(shí)，設(shè)，可證≌（ASA），求出，然后在中，利用勾股定理可求；當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖4，此時(shí)，同理可得≌，過作交BC的延長(zhǎng)線于，在中，求出CH即可解決問題．（1）解：如圖，連接，過作于，，平分，，，，，∴在中，，∵，，∴∠A＝180°－90°＝90°，又∵∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝4，AD＝BH＝3，∴CH＝5－3＝2，∴在中，；（2）如圖，連接，過點(diǎn)作于，是的垂直平分線，，，，，，，，，在中，由得：，整理得：，∵點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，AD＝3，∴，∴；（3）如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)時(shí)，是的垂直平分線，，，∴∠PED＝∠PDE，∠PDC＝∠PCD，∵∠PED＋∠PDE＋∠PDC＋∠PCD＝180°，，平分，，又∵CE＝CE，≌（AAS），，，，過作于，在中，，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，，，，，，又∵，≌（ASA），，，，，∴在中，，（負(fù)值已舍去）；當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖4，此時(shí)，，同理可得：≌（AAS），，過作交BC的延長(zhǎng)線于，在中，，，；綜上所述：的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作線段DE的垂直平分線分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N，設(shè)AM=x，ME=y．(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求ME的長(zhǎng)；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)MN經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出ME的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）連接MD，結(jié)合題意，根據(jù)含角直角三角形、直角三角形斜邊中線、垂直平分線的性質(zhì)分析，結(jié)合勾股定理性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）連接MD，過點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為F，根據(jù)垂直平分線、勾股定理的性質(zhì)，得，結(jié)合（1）的結(jié)論，通過列一元二次方程并求解，得函數(shù)的定義域，即可得到答案；（3）分MN經(jīng)過AC中點(diǎn)、MN經(jīng)過AB中點(diǎn)、MN經(jīng)過BC中點(diǎn)三種情況，結(jié)合（2）的結(jié)論，根據(jù)垂直平分線、勾股定理、二次根式、三角形中位線的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．(1)連接MD，∵AB=，BC=，∴BC=AB，∵∠C=90，∴∠A=30∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD，∴∠ACD=30，∠ADC=120，∵M(jìn)N垂直平分CD，∴CM=DM，∴∠MDC=30，∴∴設(shè)，則∴∴∴或（舍去）∴；(2)連接MD，過點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為F，∵M(jìn)N垂直平分ED，∴ME=MD=y，∵∠A=30∴MF=，∴∴FD，在Rt△MDF中，∴∴根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，∴∴或∵∴不符合題意∴∴∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是；(3)分MN經(jīng)過AC中點(diǎn)、MN經(jīng)過AB中點(diǎn)、MN經(jīng)過BC中點(diǎn)三種情況分析，當(dāng)MN經(jīng)過AC中點(diǎn)時(shí)，即∴，即當(dāng)MN經(jīng)過AB中點(diǎn)時(shí)，和MN分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N的結(jié)論矛盾∴MN經(jīng)過AB中點(diǎn)不成立當(dāng)MN經(jīng)過BC中點(diǎn)時(shí)，如圖，分別連接EN、DN∴∵∴，∵M(jìn)N線段DE的垂直平分線∴∵AM=x，ME=y∴∵∠C=90°∴∴∴∴∴∴，即∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂直平分線、三角形中位線、含角直角三角形、直角三角形斜邊中線、二次根式、一元二次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．7．（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移動(dòng)的等邊三角形DEF的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F始終在邊BC上，DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)G、H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)D恰好在斜邊AB上，求△DEF的周長(zhǎng)；(2)如圖2，在△DEF作平行移動(dòng)的過程中，圖中是否存在與線段CF始終相等的線段？如果存在，請(qǐng)指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)假設(shè)C點(diǎn)與F點(diǎn)的距離為x，△DEF與△ABC的重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．【答案】(1)9；(2)存在，CF=DG，證明見解析；(3)．【分析】（1）利用勾股定理求出，再證明，即可求出△DEF的周長(zhǎng)；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，進(jìn)一步得到，再證明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可證明CF=DG；（3）求出，，利用，即可求出．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴，∠A=60，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DCE=60，∴∠ACD=30，∴∠ADC=90，∴，∴△DEF的周長(zhǎng)為9；（2）解：結(jié)論：CF=DG.理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，∴，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF=60，∵∠DEF=∠B+∠EGB，∴∠B=∠EGB=∠DGE=30，∴EG=BE，∵EG+DG=CF+BE=3，∴CF=DG；（3）解：∵，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，等邊三角形性質(zhì)．8．（2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，聯(lián)結(jié)EF．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，①求證：△AEF≌△ADC；②聯(lián)結(jié)BE，設(shè)C、D間距離為x，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；(2)當(dāng)∠DAB=15°時(shí)，求△ADE的面積（直接寫出答案）．【答案】(1)①見解析；②(2)或【分析】（1）①證明：直角△ABC中，利用特殊角和斜邊的中線是斜邊的一半，可得AF=BF=AC，再結(jié)合等邊△ADE，有AE=AD，利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS)；②根據(jù)△ADC≌△EAF，有∠EFA=∠C=90，結(jié)合F是AB中點(diǎn)，即有EF是AB的中垂線，進(jìn)而有AE=EB，AD=AE=EB，在Rt△ACD中，有，即，則有；（2）分兩種情況討論，即當(dāng)點(diǎn)在線段BC上和點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求出AD，即可得等邊△ADE的面積．（1）解：證明①：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AB=10，∴∠ABC=30，∴AC=AB=5，∵F是AB的中點(diǎn)，∴AF=BF=AB，∴AF=BF=AC，∵等邊△ADE，∴AE=AD，∠EAD=60，∴∠EAD=∠CAB=60，∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD，即∠DAC=∠EAF，在△ADC與△EAF中，，∴△ADC≌△EAF(SAS)；②∵△ADC≌△EAF，∴∠EFA=∠C=90，又F是AB中點(diǎn)，∴EF是AB的中垂線，∴AE=EB，∴AD=AE=EB，在Rt△ACD中，∠C=90，∴，∴，∴；（2）解：或，分情況討論：第一種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，則=50，則AD=，如圖，過A點(diǎn)作AG⊥DE于G點(diǎn)，在等邊△ADE中，由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=，則利用勾股定理可得：，則等邊△ADE的面積為：，第二種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，∴BD=