15.3 等腰三角形的判定定理及其推論 同步練習(xí)

第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.3等腰三角形第2課時等腰三角形的判定定理及其推論基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點4等腰三角形的判定定理4.(2023安徽六安舒城聯(lián)考)在如圖所示的4個三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直線能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的是()A.①③ B.①②④ C.①②③④ D.①③④5.如圖，已知△ABC中，AB=BC，延長AB到D，過點D作DF⊥AC于F，交BC于E.求證：△BDE為等腰三角形.知識點5等腰三角形判定定理的推論6.下列三角形不一定是等邊三角形的是()A.有兩個內(nèi)角是60°的三角形 B.三個外角都相等的三角形C.有兩個角相等的等腰三角形 D.有一個角是60°的等腰三角形知識點6含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理7.(2023安徽六安舒城聯(lián)考)已知CH是Rt△ABC的高，∠ACB=90°，∠B=60°，若BH=3，則AH=()A.1 B.9 C.12 D.48.(2022安徽合肥廬江期中)如圖，樹AB垂直于地面，為測樹高，小明在C處測得∠ACB=15°，他沿CB方向走了28米到達(dá)D處，測得∠ADB=30°，則樹的高度是.

能力提升全練9.(2022湖北荊州中考)如圖，直線l1∥l2，AB=AC，∠BAC=40°，則∠1+∠2的度數(shù)是()A.60° B.70° C.80° D.90°10.(2022遼寧鞍山中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為()A.39° B.40° C.49° D.51°11.(2023安徽合肥廬江期中)如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形.若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為()A.60° B.80° C.90° D.100°12.(2022安徽合肥廬江期中)如圖，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠DEF的度數(shù)為()A.45° B.60° C.75° D.90°13.(2020內(nèi)蒙古呼倫貝爾中考)如圖，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，若∠C=65°，則∠DBC的度數(shù)是()A.25° B.20° C.30° D.15°14.(2021安徽合肥蜀山期末)已知△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，且∠BAD=40°，點E是邊AC上的一點，若△ADE為等腰三角形，則∠EDC的度數(shù)是.

15.(2023安徽阜陽潁州期中)如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長BC到點E，使CE=CD，求證：BD=DE.16.(2020廣東中考)如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊上的點，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE與CD相交于點F.求證：△ABC是等腰三角形.17.(2021山東淄博中考)如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E.(1)求證：BE=DE；(2)若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度數(shù).18.(2021浙江紹興中考)如圖，在△ABC中，∠A=40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD=BC=CE，連接CD，BE.(1)若∠ABC=80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；(2)寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由.素養(yǎng)探究全練19.已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC.(1)如圖1，當(dāng)點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB(填“>”“<”或“=”)；

(2)如圖2，當(dāng)點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由；(3)在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長(請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果).20.(1)觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖①)，再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，AD與EF相交于點O，展開紙片后得到△AEF(如圖②)，小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎?請說明理由；(2)實踐與運用：將長方形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE，可得正方形ABFE(如圖③)，再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D'處，折痕為EG(如圖④)，再展開紙片(如圖⑤)，求圖⑤中∠α的度數(shù). 圖① 圖② 圖③ 圖④ 圖⑤

第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.3等腰三角形第2課時等腰三角形的判定定理及其推論答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練4.D①中的三角形能分成兩個小等腰三角形，其內(nèi)角度數(shù)分別為36°，36°，108°和36°，72°，72°；②不能；③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它分為了兩個小等腰直角三角形；④中的三角形能分成兩個小等腰三角形，其內(nèi)角度數(shù)分別為36°，72°，72°和36°，36°，108°.5.證明∵AB=BC，∴∠A=∠C.∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90°.∴∠D=90°-∠A，∠CEF=90°-∠C，∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF，∴∠D=∠BED.∴BE=BD，∴△BDE為等腰三角形.6.C由三角形中兩個內(nèi)角為60°，可知該三角形中第三個內(nèi)角也為60°，故該三角形為等邊三角形，選項A不符合題意；三個外角相等說明該三角形的三個內(nèi)角相等，故該三角形為等邊三角形，選項B不符合題意；等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形，選項C符合題意；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，選項D不符合題意.7.B由題意，畫出圖形如圖：∵CH是Rt△ABC的高，∴∠CHB=90°，∵∠B=60°，∴∠BCH=30°，∴BC=2BH=2×3=6.∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=12，∴AH=AB-BH=12-3=9.8.答案14米解析由題意可得∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD=28米.在△ADB中，∠ADB=30°，∠ABD=90°，∴AB=12能力提升全練9.B過點C作CD∥l1，如圖，∵l1∥l2，∴l(xiāng)1∥l2∥CD，∴∠1=∠BCD，∠2=∠ACD，∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB.∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC.∵∠BAC=40°，∴∠ACB=12(180°-∠BAC)=70°，∴∠1+∠10.A∵AB=AC，∠BAC=24°，∴∠B=∠ACB=78°.∵CD=AC，∴∠D=∠CAD，∵∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠D=∠CAD=12∠11.B如圖：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°.∵∠1=40°，∴∠3=∠1+∠A=40°+60°=100°.∵l1∥l2，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=80°.12.B∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，∴∠BCA=∠A=15°，∴∠BDC=∠CBD=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，∴∠CED=∠ECD=∠A+∠CDB=45°，∴∠EFD=∠EDF=∠A+∠CED=60°，∴∠DEF=180°-(∠EDF+∠EFD)=180°-120°=60°.13.D∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠A=180°-65°×2=50°.∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°.14.答案20°或50°解析如圖，①設(shè)∠EDC=x，∠B=∠C=y，則∠AED=∠EDC+∠C=x+y，當(dāng)AD=AE時，∠ADE=∠AED=x+y，則∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又∠ADC=∠B+∠BAD，∴2x+y=y+40°，解得x=20°，即∠EDC的度數(shù)是20°；②∵AB=AC，AD是BC邊的中線，∴AD⊥BC，∠DAC=∠BAD=40°，∴當(dāng)DE'=AE'時，∠DAE'=∠E'DA=40°，∴∠E'DC=50°；③當(dāng)AD=DE″時，∠DAE″=∠DE″A=40°，根據(jù)題意知∠B=∠C=(180°-40°-40°)÷2=50°，∴∠DE″A<∠C，∴不成立.故答案為20°或50°.15.證明∵△ABC是等邊三角形，BD是邊AC上的高，∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=12∠∴∠DBC=∠E，∴BD=DE.16.證明證法一：在△BDF和△CEF中，∠BFD=∠CFE,∠DBF=∠ECF,BD=CE,∴△BDF∴BF=CF，DF=EF，∴BF+EF=CF+DF，即BE=CD.在△ABE和△ACD中，∠A=∠A,∴△ABE≌△ACD(AAS)，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.證法二：在△BDF和△CEF中，∠BFD=∠CFE,∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴BF=CF.∴∠FBC=∠FCB.∵∠ABE=∠ACD，∴∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.17.解析(1)證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE.(2)∵∠A=80°，∠C=40°，∴∠ABC=60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=12∠由(1)知∠EDB=∠EBD，∴∠BDE=30°.18.解析(1)∵∠ABC=80°，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=12∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=80°，∠A=40°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.∵CE=BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°.(2)∠BEC+∠BDC=110°.理由：設(shè)∠BEC=α，∠BDC=β，則α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.∵CE=BC，∴∠CBE=∠BEC=α，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+2∠ABE，在△BDC中，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°，∴β=70°-∠ABE，∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°，即∠BEC+∠BDC=110°.素養(yǎng)探究全練19.解析(1)=.(2)AE=DB.理由如下：如圖，過點E作EF∥BC，交AC于點F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE=EF=AF，∴BE=CF.∵ED=EC，∴∠D=∠ECD.∵∠DEB=60°-∠D，∠ECF=60°-∠ECD，∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中，DE=EC,∴△DBE≌△EFC(SAS)，∴DB=EF，∴AE=DB.(3)如圖：CD=3