湖南省湘西自治州2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期州自檢數(shù)學(xué)試卷（答案解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)絕密★啟用前高三數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件求出集合，計(jì)算.【詳解】由題意得，，∵，∴.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得答案.【詳解】若復(fù)數(shù)滿足，則.故選：D.3.已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)直接判斷.【詳解】由，設(shè)，則且為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以，，且，即，化簡(jiǎn)可得，解得，故選：C.4.三所大學(xué)發(fā)布了面向高二學(xué)生的夏令營(yíng)招生計(jì)劃，某中學(xué)有四名學(xué)生報(bào)名參加．若每名學(xué)生只能報(bào)一所大學(xué)，每所大學(xué)都有該中學(xué)的學(xué)生報(bào)名，且大學(xué)只有其中一名學(xué)生報(bào)名，則不同的報(bào)名方法共有（）A.18種 B.21種 C.24種 D.36種【答案】C【解析】【分析】按分步乘法計(jì)數(shù)原理，首先選一人去大學(xué)，然后將剩余的三位同學(xué)分為兩組2，1，再分配到兩所學(xué)校即可求解.【詳解】第一步選一人去大學(xué)，則有（種），第二步將剩余的三位同學(xué)以一組兩人，一組一人進(jìn)行分組，然后分配到兩所學(xué)校，則有（種），則不同的報(bào)名方法共有（種），故選：C.5.已知均為單位向量，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的模的計(jì)算可得，結(jié)合二次函數(shù)可求最小值.【詳解】因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，且且，所以，，?dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B.6.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則（）A.900 B.600 C.450 D.300【答案】A【解析】【分析】由題意可得，，求得首項(xiàng)與公差，可求.【詳解】等差數(shù)列an的公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，所以，所以，，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，解得，所以.故選：A.7.已知函數(shù)的最小正周期為10，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與倍角公式化簡(jiǎn)，從而利用余弦函數(shù)的周期公式求得，進(jìn)而代入即可得解.【詳解】，又的最小正周期為10，所以，解得，則，則.故選：C.8.過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P作圓（r為常數(shù)且）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若的最小值是，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑為，由切圓于點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知的最小值為，整理可得，解得或，且，所以，即.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)切線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)面積結(jié)合幾何性質(zhì)求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量，記，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷AB；根據(jù)期望和方差的性質(zhì)判斷CD.【詳解】由題意可知：，且，可得，故A正確；且，即，所以，故B正確；根據(jù)期望和方差性質(zhì)可知：，，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，G是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面截正方體所得截面為六邊形B.點(diǎn)G到平面的距離為定值C.若，且，則G為棱的中點(diǎn)D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面平行的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點(diǎn)共面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.【詳解】對(duì)于A，連接，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，，所以，則平面與平面為同一平面，所以平面截正方體所得截面為平面，為四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又點(diǎn)G是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)G到平面的距離為定值，故B正確；對(duì)于C，連接，因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)樵谡襟w中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，則，因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以G為棱的中點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.11.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，則下列說(shuō)法正確的（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則或【答案】AC【解析】【分析】代入，由因式分解解出，再由遞推關(guān)系確定數(shù)列an的性質(zhì)可得A正確；代入，由因式分解解出，再由遞推關(guān)系確定數(shù)列an的性質(zhì)可得C正確；舉反例設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an為常數(shù)列，利用求根公式求出可得D錯(cuò)誤；分或7討論，當(dāng)時(shí)由求根公式求出，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷為遞減數(shù)列，可得B錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于A，若，則，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，同理，即?shù)列an為奇數(shù)項(xiàng)為2，偶數(shù)項(xiàng)為3所以，故A正確；對(duì)于C，若，則，即，因?yàn)椋?，或（舍去）由A選項(xiàng)的解析可得，即數(shù)列an為奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為2所以，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an為常數(shù)列，則，即，解得，又，即，即，取代入上式，此時(shí)為無(wú)理數(shù)，當(dāng)，滿足，此時(shí)且，故D錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由，即，解得或7，當(dāng)時(shí)，由A解析可得，此時(shí)正項(xiàng)數(shù)列an為不動(dòng)點(diǎn)的奇偶常數(shù)列，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由變形為，解得，不妨取，若，則，現(xiàn)在考慮，由二次函數(shù)關(guān)系可得開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，判別式恒大于零，所以，所以正項(xiàng)數(shù)列an為遞減數(shù)列，此時(shí)要大于2或3，此時(shí)，故B錯(cuò)誤故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，其一是能由已知遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列為不動(dòng)點(diǎn)型數(shù)列，（不要嘗試去求解數(shù)列的通項(xiàng)，因?yàn)槎蝺缧瓦f推關(guān)系可能有兩個(gè)通項(xiàng)，難以判斷），然后由選項(xiàng)入手可解決ACD，其二時(shí)能發(fā)現(xiàn)數(shù)列為遞減數(shù)列可判斷B選項(xiàng).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，則，解得，故答案為：.13.已知平面平面與平面所成的角為，且，兩點(diǎn)在平面的同一側(cè)，，則________．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作平面，由線面角定義可知，則，進(jìn)一步可得.由圖可得，再利用模長(zhǎng)的定義求值即可.【詳解】由平面，平面，可知，過(guò)點(diǎn)作平面，為垂足，連接，則為BD與所成的角，即，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，所?又，所以，因?yàn)?，所以，故，所以，即的長(zhǎng)為.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則________．【答案】3【解析】【分析】設(shè)，利用同構(gòu)結(jié)合二次方程的解可得，故可求的值.【詳解】設(shè)，則，故即，整理得到：，故為方程的正根，故，故，故，故答案為：3.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與對(duì)數(shù)有關(guān)的求值問(wèn)題，應(yīng)該利用指對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化把對(duì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化指數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，轉(zhuǎn)化過(guò)程中注意觀察所得代數(shù)式的結(jié)構(gòu)便于利用同構(gòu)策略處理,四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)得等比數(shù)列公比為2，結(jié)合條件計(jì)算的值，得到的通項(xiàng)公式.（2）由（1）計(jì)算，利用分組求和的方法得出數(shù)列的前20項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，∴等比數(shù)列的公比.當(dāng)時(shí)，由得，即，解得，∴.【小問(wèn)2詳解】由題意得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴，，∴.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知．（1）求；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，邊轉(zhuǎn)角得到，再利用正弦的和角公式得到，即可求角；（2）利用（1）中結(jié)果及條件，結(jié)合正弦定理，得到，再利用三角形的面積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，得到，即，得到，又，，所以，又，得到.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，因?yàn)橛?，所以，即，又由正正弦定理得，即，其中為外接圓的半徑，所以，所以的面積為.17.如圖，在四棱錐中，平面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，．（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理得到，從而得到，利用線面垂直的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面與平面的法向量，利用面面角的向量法，得到，即可求解.【小問(wèn)1詳解】在中，，，，由余弦定理，得到，解得，所以，得到，又，所以，即，又平面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)?，，，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得到，取，得到，即，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，整理得到，解得，所以.18.已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)A?2,0，兩點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，，，證明：（ⅰ）存在常數(shù)，滿足；（ⅱ）的面積為定值．【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過(guò)A，B兩點(diǎn)，代入解得，即可.（2）（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得到，．同理，．再結(jié)合向量運(yùn)算即可解決.（ⅱ）結(jié)合前面結(jié)論，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式可解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)C的方程為，其中．由C過(guò)A，B兩點(diǎn)，故，，解得，．因此C的方程為．【小問(wèn)2詳解】（?。┰O(shè)Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,因?yàn)?，所以直線BM斜率為，方程為．由，得，所以，．因此．同理可得直線AN的斜率為，直線AN的方程為．由，得，所以，，因此．則，即存在，滿足．（ⅱ）由（ⅰ），直線MN的方程為，所以點(diǎn)P到直線MN的距離．而，所以的面積為定值．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線．本題第（1）小問(wèn)設(shè)問(wèn)基礎(chǔ)，但需要注意所設(shè)方程的形式；第（2）（ⅰ）小問(wèn)在題干條件翻譯上未設(shè)置較多障礙，但是對(duì)4個(gè)坐標(biāo)分量的求解非?？简?yàn)學(xué)生的代數(shù)基本功和計(jì)算能力，區(qū)分度較大．19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理函數(shù)近似特定函數(shù)的方法．給定自然數(shù)m，n，我們定義函數(shù)在處的階帕德近似為，該函數(shù)滿足．注：．設(shè)函數(shù)在處的階帕德近似為．（1）求的解析式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由題意設(shè)，結(jié)合帕德近似的定義及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求參數(shù)，即可得解析式；（2）構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷與1的大小關(guān)系，即可證結(jié)論；（3）利用定義求在處的階帕德近似函數(shù)，并研究的極值確定為界點(diǎn)，再討論、、并結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷是否為的極大值，即可求范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意，可設(shè)，且，則，而，，且，則，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，恒有，令，且，則，當(dāng)時(shí)，，即在上遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上遞減；所以，故，得證.【小問(wèn)3詳解】令在處階帕德近似為，由，則，故，由，，而，則，所以，故，由，而，則，