重難點28 圓錐曲線中的切線與切點弦問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點28圓錐曲線中的切線與切點弦問題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求圓錐曲線的切線方程】 2【題型2圓錐曲線的切點弦問題】 3【題型3切點弦過定點問題】 3【題型4與切點弦有關(guān)的面積問題】 5【題型5與切點弦有關(guān)的定值問題】 6【題型6與切點弦有關(guān)的最值（范圍）問題】 71、圓錐曲線中的切線與切點弦問題圓錐曲線是高考的重點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，切線與切點弦問題的考查頻率變高，考查形式多種多樣，以選擇題或填空題的形式考查時，主要考查切線方程與切點弦方程，難度不大；以解答題的形式考查時，主要考查切點弦問題和以切線為載體的面積、最值、定值等問題，難度較大；復(fù)習(xí)時要加強此類問題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識點1圓錐曲線中的切線與切點弦】1．圓錐曲線的切線和切點弦(1)切線方程：過圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時，過M可引該二次曲線的兩條切線，過這兩個切點的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：①對于橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點M(x0,y0)，則過該點作切線得到的切線方程+=1.當(dāng)M在橢圓外時，過M引兩條切線得到兩個切點，則過這兩個切點的直線方程為+=1.②更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項時，即圓錐曲線形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時，過點M(x0,y0)有對應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原圓錐曲線上時，這條直線為過M的切線；當(dāng)M在曲線外時，過M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過這兩個切點的弦的直線.2．圓錐曲線的切線和切點弦的相關(guān)結(jié)論(1)過橢圓+=1上一點Px0,y0(2)過橢圓+=1外一點Px0,y0(3)過雙曲線?=1上一點Px0,y0(4)過雙曲線?=1外一點Px0,y0【題型1求圓錐曲線的切線方程】【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）橢圓x24+3y24=1上點P(1,1)處的切線方程是．【變式1-1】（2023·河南·模擬預(yù)測）若直線l與單位圓（圓心在原點）和曲線x24?y2【變式1-2】（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知橢圓M:y2a2+(1)求M的離心率；(2)若直線l:y=x+m與M有且僅有一個交點，求l的一般式方程.【變式1-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=x24與直線y=kx+a,a>0交與(1)當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.【題型2圓錐曲線的切點弦問題】【例2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）過M2,?2p引拋物線x2=2pyp>0的切線，切點分別為A，B.若AB的斜率等于2，則A．14 B．12 C．1【變式2-1】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線C：y2=6x的焦點為F，過F的直線交C于A，B兩點，分別以A，B為切點作C的切線l1，l2，若l1與l2交于點P，且滿足A．5 B．6 C．7 D．8【變式2-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知P1,1是雙曲線外一點，過P引雙曲線x2?y22=1【變式2-3】（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點Tm,n在橢圓C上（點T不在坐標(biāo)軸上），證明：直線mx2+ny=1(3)設(shè)點P在直線x=?1上（點P在橢圓C外），過點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為A,B,O為坐標(biāo)原點，若△PAB和△OAB的面積之和為1，求直線AB的方程.【題型3切點弦過定點問題】【例3】（2024·湖南·三模）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B(1)求E的方程；(2)直線l:x=?4，過l上一點P作E的兩條切線PM,PN，切點分別為M，N.求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標(biāo).【變式3-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程；(2)若點Q為直線x+y?2=0上的任意一點，過點Q作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點分別為D、E），試證明動直線DE恒過一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【變式3-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py的焦點與橢圓C':x24+(1)求拋物線C的方程．(2)證明直線MN過定點，并且求出定點坐標(biāo)．【變式3-3】（23-24高二下·內(nèi)蒙古通遼·期中）已知橢圓E：x2a2+y(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0在其上一點Qx0,y0①證明：直線AB過定點；②求△ABM面積的最大值.【題型4與切點弦有關(guān)的面積問題】【例4】（2024·江西新余·一模）過點P(2，－1)作拋物線x2=4y的兩條切線，切點分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點，O為坐標(biāo)原點，則△PEF與△OAB的面積之比為（A．32 B．33 C．12 【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）拋物線Γ:x2=2y上有四點A，B，C，D，直線AC，BD交于點P，且PC=λPA，PD=λPB0<λ<1．過A,B分別作ΓA．32 B．23 C．33【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C1：y2a2+x2b2=1a>b>0與拋物線C2(1)求橢圓C1與拋物線C(2)橢圓C1上一點P在x軸下方，過點P作拋物線C2的切線，切點分別為A,B，求【變式4-3】（2024·貴州黔東南·二模）已知拋物線E:y2=2x的焦點為F，A，B，C(1)若FA+FB+(2)過A，B兩點分別作E的切線l1，l2，l1與l2相交于點D，過A，B兩點分別作l1，l2的垂線l3，l（i）若AB=4，求△ABD（ii）若直線AB過點1,0，求點M的軌跡方程.【題型5與切點弦有關(guān)的定值問題】【例5】（2024·河北·三模）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程．(2)設(shè)圓O：x2+y2=a2+b2，過圓O上一動點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為【變式5-1】（23-24高三上·浙江·期中）已知雙曲線E：y2a2?x2b2=1（a>0，b>0）過點Q3,2，且離心率為2，F(xiàn)2，F(xiàn)1為雙曲線E的上、下焦點，雙曲線E在點Q處的切線(1)求△F(2)點P為圓F2上一動點，過P能作雙曲線E的兩條切線，設(shè)切點分別為M，N，記直線MF1和NF1的斜率分別為k【變式5-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知拋物線E:x2=2py(p>1)的焦點為F，過點P1,?1作拋物線(1)求拋物線E的方程；(2)過點P作兩條傾斜角互補的直線l1,l2，直線l1交拋物線E于A,B兩點，直線l2交拋物線E于C,D兩點，連接AD,BC,AC,BD，設(shè)【變式5-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知圓C:x2+y2=r2有以下性質(zhì)：①過圓C上一點Mx0,y0的圓的切線方程是x0x+y0y=r2．②若Mx0,y0為圓C外一點，過M作圓C的兩條切線，切點分別為A,B(1)類比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過橢圓C′:x(2)過橢圓C′:x2a2+(3)若過橢圓C′:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點【題型6與切點弦有關(guān)的最值（范圍）問題】【例6】（2024·浙江·模擬預(yù)測）記橢圓C：x2+2y2=1的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l交橢圓于A，B，A，B處的切線交于點P，設(shè)A．2 B．3 C．5 D．6【變式6-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）已知拋物線Γ：y=14x2的焦點為F，過F的直線l交Γ于點A,B，分別在點A,B處作Γ的兩條切線，兩條切線交于點PA．0,1 B．0,12 C．0,1【變式6-2】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知過點(0,2)的直線l與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點，拋物線在點A處的切線為l1，在B點處的切線為l2，直線l1與直線l2交于點M(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)線段AB的中點為N，求|AB||MN|【變式6-3】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知動圓M與圓C1：x+12+y2=49和圓C2(1)求Γ的方程；(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，則曲線上一點x0,y0處的切線方程為：Ax0x+Bx0y+y0x+Cy（?。┳C明：A1（ⅱ）點A1關(guān)于x軸的對稱點為A′1，直線A′1A2交x軸于點N，直線PC2交曲線Γ于G，H兩點.記△G一、單選題1．（23-24高二下·江西鷹潭·期末）拋物線y2=9x在點1,3處的切線的斜率為（A．－1 B．?32 C．32．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過點4,33作直線，使它與雙曲線x24A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3．（2024·上?！つM預(yù)測）已知直線l與橢圓Γ，點F1,F2分別為橢圓Γ:x22+y2=1的左右焦點，直線F1M⊥l，A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要4．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知過圓錐曲線x2m+y2n=1上一點Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=05．（23-24高二下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2pyp>0的焦點為F，過點P3,?2作C的兩條切線，切點為A，B，且Q為C上一動點，若QFA．75 B．1252 C．752 6．（2024·河北·模擬預(yù)測）過橢圓C：x24+y23=1上的點Ax1,y1，A．?32 B．?94 7．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知拋物線C：x2=4y，過直線l：x+2y=4上的動點P可作C的兩條切線，記切點為A,B，則直線AB（A．斜率為2 B．斜率為±2 C．恒過點0,?2 D．恒過點?1,?28．（2024·全國·模擬預(yù)測）拋物線E:y2=x的焦點為F，P為其準(zhǔn)線上任意一點，過點P作E的兩條切線，切點為A，B（點A與PA．1 B．2 C．3 D．1二、多選題9．（23-24高二上·山西呂梁·期中）已知雙曲線E過點?2,32且與雙曲線x24?y29=1共漸近線，直線l與雙曲線E交于A，B兩點，分別過點A，A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是xB．若AB的中點為1,4，則直線l的方程為9x?16y+55=0C．若點A的坐標(biāo)為x1,y1D．若點P在直線3x?4y+6=0上運動，則直線l恒過點3,610．（23-24高三上·山西運城·期末）已知拋物線x2=2pyp>0的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，與其準(zhǔn)線交于點D，F(xiàn)為AD的中點，且AF=6，點M是拋物線上BA間不同于其頂點的任意一點，拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點N，拋物線在A、B兩點處的切線交于點A．拋物線焦點F的坐標(biāo)為0,3B．過點N作拋物線的切線，則切點坐標(biāo)為±C．在△FMN中，若MN=tMF，t∈R，則tD．TF11．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知橢圓x22+y2=1,O為原點，過第一象限內(nèi)橢圓外一點Px0,y0作橢圓的兩條切線，切點分別為AA．k3?k4為定值C．x0?y0的最大值為2三、填空題12．（2024高二·全國·專題練習(xí)）過點P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1的兩條切線，切點分別為A,B13．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)P為圓O：x2+y2=5上任意一點，過點P作橢圓x23+y22=1的兩條切線，切點分別為A，B，點O，P到直線14．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知拋物線C：x2=4y，定點T1,0，M為直線y=12x?1上一點，過M作拋物線C的兩條切線MA，MB，A，B是切點，則四、解答題15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線x2?y（2）已知P1,1是雙曲線外一點，過P引雙曲線x2?y22=1的兩條切線PA,PB16．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F，且F(1)求p；(2)已知點P(?1,?2)，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求AB．17．（2024·安徽·二模）已知點P在橢圓C：x24+y22=1的外部，過點P(1)①若點A坐標(biāo)為x1,y1，求證：直線PA的方程為x1x4+y(2)若點P