重難點(diǎn)11 解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)11解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩次使用余弦定理】 3【題型2等面積法】 3【題型3解三角形中的中線模型】 4【題型4解三角形中的倍角模型】 5【題型5解三角中的角平分線模型】 6【題型6解三角中的高模型】 8【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】 9【題型8三角形的重心問(wèn)題】 10【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問(wèn)題】 111、解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，正、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中解三角形的圖形類問(wèn)題和一些重要模型也是考查的重要內(nèi)容，中等難度，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1三角形圖形類問(wèn)題的解題策略】1．解決三角形圖形類問(wèn)題的常用方法：(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；(3)正、余弦定理結(jié)合：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；(4)相似三角形：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；(5)平面向量：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；(6)建系：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.【知識(shí)點(diǎn)2解三角形中的重要模型】1.中線模型(1)中線長(zhǎng)定理：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的中線，則.(2)向量法：.2.倍角模型，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：；推論2：.3.角平分線模型角平分線張角定理：如圖，為平分線，則斯庫(kù)頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積-下積．4.等分點(diǎn)模型如圖，若在邊上，且滿足，，則延長(zhǎng)至，使，連接.易知∥，且，，．【題型1兩次使用余弦定理】【例1】（2024·河南·三模）在△ABC中，AB=32,cos∠BAC=?13,AD⊥AC，且AD交BC于點(diǎn)D，AD=3，則sinC=（

）A．13 B．33 C．63【變式1-1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且a=3,BC邊上中線AD長(zhǎng)為1，則bc最大值為（A．74 B．72 C．3 【變式1-2】（2024·浙江臺(tái)州·二模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acosC=2ccosA，則A．3 B．32 C．32【變式1-3】（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）在△ABC中，a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，M為邊AC上一點(diǎn)，滿足MC=3AM，若a2+c2?b2A．72 B．37 C．37【題型2等面積法】【例2】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠ACB的平分線與對(duì)邊AB交于點(diǎn)D，若△CAD的面積為△CBD的2倍，且CD=2,∠ACB=120°，則BC=（A．3 B．4 C．6 D．8【變式2-1】（2024·遼寧丹東·二模）在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，AD平分∠BAC，∠BAC=120°，AB=23，AD=233，則A．2 B．3 C．3 D．2【變式2-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a=2,b=4.(1)若cosB+2cosA=c(2)若D是邊AB上的一點(diǎn)，且CD平分∠ACB,cos∠ACB=?1【變式2-3】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，b(sinB+sinC)=(1)求A；(2)A的平分線AD交BC于D點(diǎn)，9b+c=64，求AD的最大值．【題型3解三角形中的中線模型】【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角∠BAC,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知2bcos(1)求∠BAC．(2)若b+c=8，且邊BC上的中線AD=192，求【變式3-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在△ABC中，已知AB=3,AC=6,A為銳角，BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,△ABC的面積為93(1)求BC的長(zhǎng)度；(2)求∠APB的余弦值.【變式3-2】（2024·陜西西安·三模）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊是a,b,c,已知b1+(1)證明:b=c;(2)若BC邊上的高AD為2,AC邊上的中線BE為27,求△ABC【變式3-3】（2024·新疆烏魯木齊·二模）在△ABC中，點(diǎn)M,N分別為BC,AC的中點(diǎn)，AM與BN交于點(diǎn)G，AM=3,∠MAB=45°．(1)若AC=52，求中線BN(2)若△ABC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍．【題型4解三角形中的倍角模型】【例4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a=8，ac=1+sin(1)求證：B=2C；(2)已知點(diǎn)M在線段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范圍．【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古·三模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且a?2(1)求ba(2)若B=2C，證明：△ABC為直角三角形.【變式4-2】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中.內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知a?2ccos(1)求證：B=2C；(2)求sinB+2【變式4-3】（2024·天津河北·二模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知c=4,b=3.(1)若cosC=?14，求a(2)在（1）的條件下，求cos2C+(3)若A=2B，求a的值.【題型5解三角中的角平分線模型】【例5】（2024·河北張家口·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，且滿足(AD(1)證明：AD=b；(2)若AD為內(nèi)角A的平分線，且AD=13【變式5-1】（2024·四川攀枝花·三模）請(qǐng)?jiān)冖?a?b=2ccosB，②③3sin(A+B)=3?2cos2C(1)求角C；(2)若b=4，點(diǎn)D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，求邊長(zhǎng)a的值．【變式5-2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足3c+b(1)求角A的大??；(2)若D是邊BC上一點(diǎn)，且AD是角A的角平分線，求BCAD【變式5-3】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）從①c+2ab=cosπ?C已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且______.(1)求角B的大?。?2)若A的角平分線交邊BC于點(diǎn)D，且AD=6，c=2，求邊b注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【題型6解三角中的高模型】【例6】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3c(1)求角C的大?。?2)若a=8，△ABC的面積為43，求AB【變式6-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有2bcos(1)求角B：(2)若AC邊上的高?=34b【變式6-2】（2024·河北秦皇島·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，C=π3且a+b=7，△ABC的外接圓半徑為(1)求△ABC的面積；(2)求△ABC邊AB上的高?.【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=1，sinB+(1)求角A；(2)設(shè)AM是△ABC的高，求AM的最大值．【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】【例7】（23-24高二上·云南·期末）在△ABC中，點(diǎn)D為線段BC的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)B,∠BAD與∠BAC互補(bǔ).(1)求ACAD(2)若∠BAD=30°,AB=4【變式7-1】（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a2(1)判斷△ABC的形狀；(2)已知D為BC上一點(diǎn)，則當(dāng)A=2π3，a=33，AD=3【變式7-2】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=b(1)求角B(2)過(guò)B作BD⊥BA，交線段AC于D，且AD=2DC，求角C.【變式7-3】（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·期中）設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，∠BAC=2π3，(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為△ABC的重心，連接EG并延長(zhǎng)與AC交于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)度．【題型8三角形的重心問(wèn)題】【例8】（2024·江蘇蘇州·二模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a+bc(1)求角A；(2)若a=6，點(diǎn)M為△ABC的重心，且AM=23，求△ABC【變式8-1】（2023·四川內(nèi)江·一模）△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，a=6，bsin(1)求角A的大??；(2)M為△ABC的重心，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，且AM=23，求△ABC【變式8-2】（2023·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，已知△ABD的重心為C，△ABC三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.且cos(1)求∠ACB的大??；(2)若∠CAB=π6，求【變式8-3】（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,c?sinA=a?cosC，設(shè)(1)求角B的大小；(2)若a=3，過(guò)△ABC的重心點(diǎn)G的直線l與邊a,c的交點(diǎn)分別為E,F,BC=λBE，BA【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問(wèn)題】【例9】（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且acos(1)求角B的取值范圍；(2)已知△ABC內(nèi)切圓的半徑等于32，求△ABC【變式9-1】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的外心為O，點(diǎn)M,N分別在線段AB,AC上，且O恰為MN的中點(diǎn)．(1)若BC=3,OA=1，求(2)證明：AM?MB=AN?NC．【變式9-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4.(1)求△ACD面積的取值范圍；(2)若四邊形ABCD存在外接圓，求外接圓面積.【變式9-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，3b?c(1)求角A的大??；(2)若a=7，△ABC外接圓的半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，求Rr一、單選題1．（2024·貴州六盤水·三模）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=π3，則A．73 B．213 C．22．（2024·新疆喀什·三模）在△ABC中，AB=2，BC=7，∠BAC=120°，D是BC邊一點(diǎn)，AD是∠BAC的角平分線，則AD=（

A．23 B．1 C．2 D．3．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，csinA?sinC=a?bsinA+sinB，若A．33 B．32 C．3 4．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，若AM=AC，cos2B=cosA+C，則sinA．33 B．63 C．2175．（2024·山西·三模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知A=2π3,b2+c2A．2+1 B．23 C．626．（2024·山東泰安·三模）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bsinBsinA?a=c?asinCsinA，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)A．1 B．3 C．2 D．37．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若c=3，b=2，∠BAC的平分線AD的長(zhǎng)為465，則BC邊上的中線AH的長(zhǎng)等于（A．172 B．423 C．178．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2sinA=acosC,c=2．若G為△ABC的重心，則A．12?429 B．8+429 C．二、多選題9．（2024·廣西·二模）已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,O為△ABC的重心，cosA=15A．AO=14C．△ABC的面積的最大值為36 D．a(chǎn)的最小值為10．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a=2，△ABC的面積S=32ABA．A=30°B．△ABC的周長(zhǎng)的最大值為6C．若bc=4，則△ABC為正三角形D．若AB邊上的中線長(zhǎng)等于23311．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則（A．BC=2B．當(dāng)AD為角A的角平分線時(shí)，AD=C．當(dāng)D為邊BC中點(diǎn)時(shí)，AD=3D．若點(diǎn)P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PA?PB三、填空題12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,C=135°，且△ABC的外接圓半徑R=1，則△ABC面積的最大值為．13．（202