2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷04(新高考專用)(教師版) 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練(新高考專用)_第1頁(yè)
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2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷04(新高考專用)(考試時(shí)間:120分鐘;滿分:150分)注意事項(xiàng):1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答第I卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第I卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的。1.(5分)(2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z=1+1i3,i為虛數(shù)單位,則A.2i B.?2i C.2 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘方的運(yùn)算法則,結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.【解答過程】1+1因此復(fù)數(shù)1+1i3故選:D.2.(5分)(2024·天津和平·二模)若x∈R,下列選項(xiàng)中,使“x2<1A.?2<x<1 B.?1<x<1 C.0<x<2【解題思路】根據(jù)題意,x2<1等價(jià)于?1<x<1,若所求必要條件對(duì)應(yīng)的范圍為A,則(?1,1)【解答過程】不等式x2<1等價(jià)于使“x2<1”成立的一個(gè)必要不充分條件,對(duì)應(yīng)的集合為A,則(?1,1)是由此對(duì)照各項(xiàng),可知只有A項(xiàng)符合題意.故選:A.3.(5分)(2024·貴州貴陽·二模)已知向量a=1,?2,b=2,x,若A.2 B.1 C.0 D.?4【解題思路】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.【解答過程】3a?b由3a?b解得x=?4.故選:D.4.(5分)(2024·四川達(dá)州·二模)下圖是某地區(qū)2016-2023年旅游收入(單位:億元)的條形圖,則下列說法錯(cuò)誤的是(

A.該地區(qū)2016-2019年旅游收入逐年遞增B.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的中位數(shù)是4.30C.經(jīng)歷了疫情之后,該地區(qū)2023年旅游收入恢復(fù)到接近2018年水平D.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的極差是3.69【解題思路】根據(jù)中位數(shù)、極差的定義即可判斷BD;結(jié)合圖形,分析數(shù)據(jù)即可判斷AC.【解答過程】A:由圖可知該地區(qū)2016-2019年旅游收入逐年遞增,故A正確;B:由圖可知,2016-2023年旅游收入的中位數(shù)為3.94+4.572C:從圖表可知2023年旅游收入為4.91億元,接近2018年的5.13億元,故C正確;D:2016-2023年旅游收入的極差是5.73?2.04=3.69億元,故D正確.故選:B.5.(5分)(2024·湖北·模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)P是直線x?y?m=0上的動(dòng)點(diǎn),由點(diǎn)P向圓O:x2+y2=1引切線,切點(diǎn)分別為M,N且∠MPN=90A.2 B.±2 C.2 D.【解題思路】連接OM,ON,結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓C上,再由題意可知該圓與直線x?y?m=0相切,利用點(diǎn)到直線的距離公式,即可求得答案.【解答過程】連接OM,ON,則PM⊥OM,PN⊥ON.又∠MPN=90°,OM=ON,所以四邊形MPNO于是點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心,2為半徑的圓C上.又由滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè),則圓C與直線x?y?m=0相切,所以點(diǎn)O到直線x?y?m=0的距離d=2,∴m故選:D.6.(5分)(2024·青海西寧·二模)關(guān)于函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<π2,有下列四個(gè)說法:①f(x)的最大值為3;②f(x)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,且有x1?x2=πA.?332 B.332 【解題思路】根據(jù)題意,由條件可得②和③相互矛盾,然后分別驗(yàn)證①②④成立時(shí)與①③④成立時(shí)的結(jié)論,即可得到結(jié)果.【解答過程】說法②可得T2=πω=π,得到當(dāng)①②④成立時(shí),由題意A=3,ω=1,π3+φ=2kπ因?yàn)棣铡?,π2,令所以fx=3sin說法①③④成立時(shí),由題意A=3,ω=2,2π3+φ=2k則φ=2kπ故選:B.7.(5分)(2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè))在四棱錐P?ABCD中,△PAD為等邊三角形,四邊形ABCD為矩形,且AB=2BC,平面PAD⊥平面ABCD,則直線AC與平面PCD所成角的正弦值為(A.12 B.22 C.3【解題思路】取M為PD的中點(diǎn),先證明AM⊥平面PCD,得∠ACM為所求線面角,由邊長(zhǎng)間的關(guān)系求正弦值.【解答過程】平面PAD⊥平面ABCD,又平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,CD⊥AD,則CD⊥平面PAD,又CD?平面PCD,故平面PCD⊥平面PAD,取PD的中點(diǎn)M,連接AM,CM,如圖所示,平面PCD∩平面PAD=PD,平面AM?平面PAD,△PAD為等邊三角形,則AM⊥PD,故AM⊥平面PCD,則直線AC與平面PCD所成角即為∠ACM,令BC=a,則AB=2a,AC=3故sin∠ACM=故選:A.8.(5分)(2024·陜西·模擬預(yù)測(cè))函數(shù)fx滿足lnx=1+fx1?fx,且A.e B.1 C.57 D.【解題思路】通過解方程可得f(x)的解析式,由f(x1)+f(x2)=1化簡(jiǎn)可得【解答過程】因?yàn)閘nx=1+f(x)1?f(x),所以ln又因?yàn)閒(x所以lnx1?1所以lnx因?yàn)閤1>e,x2>所以lnx整理得ln2解得ln(x1所以f(x1x2)=故f(x1x故選:C.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目的要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分。9.(6分)(2024·黑龍江牡丹江·一模)已知?π6,0為函數(shù)fA.a(chǎn)=3 B.函數(shù)y=fC.曲線y=f(x)關(guān)于x=7π12對(duì)稱 D.函數(shù)y=f(x)在【解題思路】根據(jù)對(duì)稱可得a=33,即可由輔助角公式求解【解答過程】解:因?yàn)?π6,0所以f?即?32a+所以fxy=fx?f7π所以曲線y=f(x)關(guān)于x=7π當(dāng)x∈?5π12,π12時(shí),故選:BCD.10.(6分)(2024·黑龍江大慶·三模)已知點(diǎn)P1,2是雙曲線C:3x2?y2A.雙曲線的浙近線方程為y=±B.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1C.PAD.△PAB的面積為3【解題思路】首先根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,判斷A,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷BC,最后根據(jù)幾何關(guān)系,求∠APB,再代入面積公式,即可求解.【解答過程】因?yàn)殡p曲線的方程為C:3x2?y2雙曲線的右焦點(diǎn)233,0到漸近線y=由點(diǎn)到直線的距離公式可得PA?PB=如圖,因?yàn)镵OA=3,所以∠AOx=60°.在△PAD∠PDA=∠ODB,所以∠APD=∠BOD=60S△PAB故選:ABD.11.(6分)(2024·河北·二模)已知函數(shù)fx=xeA.函數(shù)fx在RB.若對(duì)任意x>0,不等式fax≥flnxC.函數(shù)gx在0,+D.若fx1=gx【解題思路】對(duì)于A,直接求得單調(diào)區(qū)間即可;對(duì)于BCD,構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的最值即可.【解答過程】對(duì)于A,fx的定義域?yàn)镽,f則m′x=x+2e當(dāng)x∈?2,+∞時(shí),m′x>0,∴m在?2,+∞∴f′x對(duì)于B,由A知fx在R上單調(diào)遞增,由fax≥flnx2得ax≥lnx2,則當(dāng)x>0時(shí),a≥lnx2x=2在e,+∞上單調(diào)遞減,∴?(x)max=?對(duì)于C,gx的定義域?yàn)?,+∞則n′x=1x?2n′x>0;∴nx即g′∴g′x對(duì)于D,若fx則x1由AC知:fx,gx由x1ex1+2=x2+2lnx2得當(dāng)t∈e,+∞時(shí),p′t<0,∴p∴p(t)max=pe=故選:ABD.第II卷(非選擇題)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.(5分)(2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè))已知在遞增的等比數(shù)列an中,a1a2a3=1,1a【解題思路】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2=1,即有a【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍1a2a又1a1+由an是遞增的等比數(shù)列,解得a所以q=a2a故答案為:2n?213.(5分)(2024·湖南長(zhǎng)沙·二模)已知2cos2x+π12cosx?【解題思路】由3x=2x+π12+x?【解答過程】因?yàn)?cos所以2cos所以cos2x+所以cos所以cos2x+故答案為:?714.(5分)(2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè))已知曲線fx=x2與gx=ln【解題思路】先設(shè)出切點(diǎn),求導(dǎo)得到切線方程,斜率截距對(duì)應(yīng)相等,得到1?lna=1【解答過程】設(shè)曲線fx=x2與gx∵f′x=2x,g′x∴y?x12∴2x1=1x令?x=1當(dāng)0<x<22時(shí),?′x<0,?x單調(diào)遞減;當(dāng)∴?x≥?22=12故答案為:2e四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15.(13分)(2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè))在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,tan(1)求證:bcos(2)若a=2,△ABC面積為1,求邊c的長(zhǎng).【解題思路】(1)根據(jù)題中等式利用同角三角函數(shù)商關(guān)系公式,兩角和的正弦公式,三角和內(nèi)角和定理,正弦定理化簡(jiǎn)得到結(jié)果;(2)利用(1)的結(jié)果計(jì)算sinC=1?1b2【解答過程】(1)證明:根據(jù)tanC=(a?1)tanB,以及tan得sinCcosC所以acosCsin根據(jù)B+C=π?A,得所以acos由正弦定理,得abcosC=a,因此(2)由(1)知,cosC=1bS△ABC所以b2=2,得b=2又a=2,所以由余弦定理得c=a16.(15分)(2024·四川雅安·三模)已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx有極值,求實(shí)數(shù)a(2)若關(guān)于x的不等式fx+x1+cosx【解題思路】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系即可求解.(2)由已知變形為2sinx?xcos【解答過程】(1)依題意,f′x=a?1?2cosx因?yàn)?+2cosx∈?1,3,所以當(dāng)a≤?1時(shí),f當(dāng)a≥3時(shí),f'x≥0,故f當(dāng)?1<a<3時(shí),f′x=0綜上a∈?1,3(2)依題意,由fx得a?1x?2sinx+x設(shè)?x則?′設(shè)mx=cos當(dāng)x∈0,π2所以在x∈0,π2上,?當(dāng)π2?a≤0,即a≥π2時(shí),則?x當(dāng)π2?a>0,即(i)若1?a<0,即1<a<π?x0∈0,π2,使得?′x0(ii)若1?a≥0,即a≤1,??x在x∈0,π綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為?∞17.(15分)(2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè))如圖,平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD與平面(1)求平行六面體ABCD?A(2)求平面BCC1B【解題思路】(1)連接AC,AC(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】(1)連接AC,AC因?yàn)榈酌鍭BCD與平面ABC1D所以△ABC與△ABC取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OC1,則OC⊥AB,OC因?yàn)閭?cè)面BCC1B所以△BCC1的面積為152所以sin∠CBC1在△BCC1中,CC所以O(shè)C2+O因?yàn)锳B∩OC=O,AB,OC?平面ABCD,所以O(shè)C1⊥故平行六面體ABCD?A1B(2)由(1)可知,AB,OC,OC1兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B,OC,OC1所在直線分別為x軸、y軸、則B(1,0,0),C(0,3,0),C1BC=(?1,3,0),C設(shè)平面BCC1B由BC?m=0,CC1?設(shè)平面CDD1C由CD?n=0,CC1?于是cos?設(shè)平面BCC1B1與平面所以cosθ=|18.(17分)(2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測(cè))甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽,規(guī)定每局比賽勝者得1分,負(fù)者得0分,平局雙方均得0分,比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止,多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中,甲獲勝的概率為α,乙獲勝的概率為β,兩人平局的概率為γα+β+γ=1,α>0,β>0,γ≥0(1)若α=2(2)當(dāng)γ=0時(shí),(i)若比賽最多進(jìn)行5局,求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望EX(ii)若比賽不限制局?jǐn)?shù),求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率(用α,β表示).【解題思路】(1)用事件A,B,C分別表示每局比賽“甲獲勝”,“乙獲勝”,“平局”,記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N,則事件N包括事件:ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5種,即可求解;(2)(i)由題意得X的所有可能取值為:2,4,5,求出對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列及求出數(shù)學(xué)期望,并求出最大值;(ii)由(1)得前兩局比賽結(jié)果可能有:AA,BB,AB,BA,其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”,事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”,事件AB,BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”,當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí),甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同,所以P(M)=P(AA)?1+P(BB)?0+P(AB)?P(M)+P(BA)?P(M)即可求解.【解答過程】(1)用事件A,B,C分別表示每局比賽“甲獲勝”,“乙獲勝”,“平局”,則P(A)=α=2記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N,則事件N包括事件:ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5種,所以P(N)=P=2P=2×2(2)(i)因?yàn)棣?0,所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”,即α+β=1,由題意得X的所有可能取值為:2,4,5,P(X=2)=αP(X=4)=αβ+βαP(X=5)=αβ+βα所以X的分布列為:X245Pα2αβ4所以X的期望為:E(X)=2=2=4因?yàn)棣?β=1≥2αβ,所以αβ≤等號(hào)成立時(shí),α=β=12,所以所以E(X)=4α故E(X)的最大值為:134(ii)記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M,則P(M)=α由(1)得前兩局比賽結(jié)果可能有:AA,BB,AB,BA,其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”,事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”,事件AB,BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”,當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí),甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同,所以P(M)=P(AA)?1+P(BB)?0+P(AB)?P(M)+P(BA)?P(M)=P(A)P(A)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M)==α所以1?2αβP(M)=α2

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