湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2024年春季高二年級(jí)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：鄂南高級(jí)中學(xué)命題人：范裕龍張文瑜審題人：昜紅艷張俊勇一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．50 B．100 C． D．2．若集合，，則（）A． B． C． D．3．若函數(shù)在上的平均變化率與它在處的瞬時(shí)變化率相等，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被5整除的數(shù)共有（）個(gè)A．48 B．36 C．32 D．245．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A． B． C． D．6．已知直線是曲線與的公切線，則（）A． B．1 C． D．27．高二年級(jí)舉行“誦讀中國(guó)”經(jīng)典誦讀大賽，高二（1）班至高二（4）班每班有1名男生和1名女生參選，現(xiàn)從這8名同學(xué)中隨機(jī)選出2名，下列結(jié)果錯(cuò)誤的是（）A．“選出的同學(xué)都是男生”的選法有6種B．“選出的同學(xué)不是同班同學(xué)”的選法有24種C．“正好選出了一個(gè)男生和一個(gè)女生”的選法有16種D．“選出了一個(gè)男生和一個(gè)女生，且兩人不是同班同學(xué)”的選法有10種8．已知函數(shù)滿(mǎn)足，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的不等式在上有且只有26個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．高二年級(jí)早讀時(shí)間是7時(shí)10分，甲同學(xué)每天早上上學(xué)有三種方式：步行，騎自行車(chē)或乘出租車(chē)，概率分別為0.2，0.5，0.3；并且知道他步行，騎自行車(chē)或乘出租車(chē)時(shí)，遲到的概率分別為，，，那么以下正確的是（）A．甲同學(xué)今天早上步行上學(xué)與騎自行車(chē)上學(xué)是互斥事件B．甲同學(xué)今天早上步行上學(xué)與騎自行車(chē)上學(xué)相互獨(dú)立C．甲同學(xué)遲到的概率是D．若已經(jīng)知道他今早遲到了，則他今早是步行上學(xué)的概率為10．在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”．如數(shù)列1，3，第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3；第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次擴(kuò)充，記第次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，所有項(xiàng)的和記為，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A． B．滿(mǎn)足的的最小值為11C． D．11．定義在上的函數(shù)，其中，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，則以下正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．C．在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)D．為等比數(shù)列三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列的公比為32，則______．13．設(shè)隨機(jī)變量，若，則______．14．如圖所示：在一個(gè)無(wú)限延展的平面上，鋪滿(mǎn)了邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格．已知某質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)，只能沿著網(wǎng)格線走，每次走一格，且每次向右走的概率為，向上走的概率為，向左走的概率為，向下走的概率為，且每一步之間相互獨(dú)立．設(shè)按最短路徑從到達(dá)的概率記為，則當(dāng)取得最大值的時(shí)候的取值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中為正整數(shù)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．（15分）一個(gè)盒子里有大小相同的5個(gè)小球，其中2個(gè)白球和3個(gè)紅球．（1）一次性從盒子中抽3個(gè)小球，抽出來(lái)的是1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率；（2）有放回地抽3次小球，每次抽1個(gè)，求抽出白球次數(shù)的分布列和均值．17．（15分）已知二項(xiàng)式，且其二項(xiàng)式系數(shù)之和為64．（1）求和；（2）求；（3）求．18．（17分）已知雙曲線的漸近線上一點(diǎn)與右焦點(diǎn)的最短距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)，與漸近線交于、兩點(diǎn)，與在軸的上方，與在軸的下方．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍．（ⅱ）設(shè)、分別為的面積和的面積，求的最大值．19．（17分）已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，以為切點(diǎn)，作直線交的圖像于異于的點(diǎn)，再以為切點(diǎn)，作直線交的圖像于異于的點(diǎn)，…，依此類(lèi)推，以為切點(diǎn)，作直線交的圖像于異于的點(diǎn)，其中．求的通項(xiàng)公式．（3）在（2）的條件下，證明：湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2024年春季高二年級(jí)5月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：題號(hào)12345678答案CAABCBDB1．【詳解】，故選：C．2．【詳解】由，則，解得，所以，由，解得，所以，所以．故選：A．3．【詳解】在上的平均變化率為，令；則；故選：A．4．【詳解】分成兩類(lèi)：①個(gè)位是0，有；②個(gè)位是5，先填百位再填個(gè)位，有種，故一共有36種；故選：B．5．【詳解】因?yàn)椋允且?為公差的等差數(shù)列，又，所以，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的最大項(xiàng)為．6．【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，由于，，所以，，，，所以由點(diǎn)在切線上，得切線方程為，由點(diǎn)在切線上，得切線方程為，故解得，．．故選：B．7．【詳解】“選出了一個(gè)男生和一個(gè)女生，且兩人不是同班同學(xué)”的選法有種，故選：D．8．【詳解】函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，作出函數(shù)在上的圖象，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椴坏仁皆谏嫌星抑挥?6個(gè)整數(shù)解，所以不等式在上有且只有1個(gè)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，不符合題意，故不等式在上有且只有1個(gè)整數(shù)解為3，又因?yàn)楣灿?5個(gè)周期，整數(shù)解個(gè)數(shù)為個(gè)，則；故選：B．二、選擇題：題號(hào)91011答案ADBDBCD9．【詳解】由互斥的定義知，A項(xiàng)正確，由事件相互獨(dú)立的定義知，B項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)“甲同學(xué)遲到”；“步行”；“騎自行車(chē)”；“乘出租車(chē)”，則，，，，，由全概率公式得：．C項(xiàng)錯(cuò)誤；由題意可知所求概率為，由貝葉斯公式得：；D項(xiàng)正確．10．【詳解】數(shù)列1，3第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，則，，根據(jù)拓展規(guī)則可知，，即，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，，即；故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由，即，解得，故B項(xiàng)正確；根據(jù)拓展規(guī)則可知，，，又，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為3，，所以；故C項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D項(xiàng)正確．11．【詳解】，其中，，；當(dāng)時(shí)，在處的切線斜率為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；令，由得，當(dāng)，，；當(dāng)，，；因此，當(dāng)，時(shí)，取得極值，所以，，，故B項(xiàng)正確；當(dāng)，，則在單調(diào)遞減，唯一，使；，；，；故在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；故C項(xiàng)正確；；是常數(shù)；故D項(xiàng)正確．三、填空題：12．【詳解】設(shè)的公比為，則的公比為，則的公比為2，則．13．【詳解】．14．【詳解】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取得最大值．四、解答題：15．解：（1）當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足．故，．（2）．故．16．解：（1）設(shè)抽出來(lái)的是1個(gè)白球和2個(gè)紅球的事件為，則總體事件數(shù)為：，滿(mǎn)足條件的為：，．（2）每一次抽出白球的概率為．的所有可能取值為0，1，2，3，則，的分布列為：0123故．17．解：（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和，則，展開(kāi)式的通項(xiàng)，其中為前面的系數(shù)，令，則．（2），則．（3）對(duì)二項(xiàng)式兩邊求導(dǎo)，．令，則，故．18．解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，且，因?yàn)榈街本€的距離為，故，則．故雙曲線的方程為：．（2）（?。┰O(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，則因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，故，則，故的取值范圍為．（3）（ⅱ）由（ⅰ）知，原點(diǎn)到直線的距離設(shè)，，聯(lián)立，則，，，，則，而，令，則，當(dāng)即時(shí)取到等號(hào)．綜上所述，的最大值為．19．解：（1）①若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②若，則，則在上單調(diào)遞增③若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增綜上所述：①當(dāng)時(shí)，在上單