清單04整式的乘法與因式分解（五大考點梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）（原卷版）

清單04整式的乘法與因式分解（五大考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點一：冪的運算同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.(其中m,n都是正整數(shù))注意：（1）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（m，n，p都是正整數(shù)）（2）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（m,n都是正整數(shù)）.冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.(其中m，n都是正整數(shù)).注意：（1）(m，n，p均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.(其中n是正整數(shù)).注意：（1）(n為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，（a≠0，m、n都是正整數(shù)，并且m＞n）注意：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運算；（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式的底數(shù);（3）當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相除時，也具有這一性質(zhì).即：（a≠0，m、n、p都是正整數(shù)，并且m＞n＞p）；（4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整數(shù)，并且m＞n）零指數(shù)冪：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（a≠0）注意：底數(shù)a不能為0，無意義.負整數(shù)指數(shù)冪:任何不等于零的數(shù)的n（n為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的n次冪的倒數(shù)，即（a≠0，n是正整數(shù)）.注意：是的倒數(shù)，a可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如，.引進了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù)，以前所學(xué)的冪的運算性質(zhì)仍然成立。(其中m，n為整數(shù)，a≠0);(其中m，n為整數(shù)，a≠0);(其中n為整數(shù)，a≠0，b≠0).科學(xué)記數(shù)法的一般形式:（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式，其中n是正整數(shù)，（2）利用10的負整數(shù)次冪表示一些絕對值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學(xué)記數(shù)法.冪的運算總結(jié)：（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式；（2）同底數(shù)冪的乘法或除法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)沒寫就為1，計算時不要遺漏；（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加；（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方；（5）靈活地逆用公式，使運算更加方便、簡潔；（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣。【例1】（2022·黑龍江·大慶市第三中學(xué)八年級期末）計算：(1)；(2)；(3)已知，求代數(shù)式的值．(4)化簡求值：，其中考點二：整式的乘法整式的乘要用到有關(guān)冪的一些運算法則單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的一個因式。如：注意：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用；（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，一定要先確定符號；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；（3）結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成;（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，要注意每項的符號。如：.(單項式為m,分別去乘多項式+a，b，+c)注意：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.多項式與多項式相乘的運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，要注意每項的符號。如：（前一個多項式的每一項2m，1，分別去乘后面一個多項式的每項3m，2）注意：多項式與多項式相乘，仍得多項式，多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，需要合并同類項?！纠?】（2022·河南鶴壁·八年級期末）（1）計算①；

②；③；

④．（2）根據(jù)（1）中的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用字母表示出來．（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，直接寫出下題的結(jié)果：①__________；②若，則____________．【變式1】（2022·河北承德·八年級期末）已知，．(1)對A，B分別進行整式乘法運算；(2)甲乙兩位同學(xué)用框圖的方法比較A，B的大?。渍J為：A大于B；乙認為：A不小于B，通過計算判斷誰的說法正確．【變式2】（2022·四川宜賓·八年級期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：觀察下列各計算題：26×682＝286×6234×473＝374×4352×275＝572×2515×561＝165×51……以上每個等式都非常巧妙，左邊是一個兩位數(shù)乘以三位數(shù)，等式兩邊的數(shù)字之間具有特殊性，一邊的數(shù)字也有特殊性，且數(shù)字關(guān)于等號成對稱分布，我們把滿足這種條件的等式稱為“對稱積等式”．(1)解決問題：填空，使下列各式成為“對稱積等式”：41×154＝×14；×286＝682×(2)解決問題：設(shè)“對稱積等式”這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，①寫出a+b的取值范圍；②請用含a、b的代數(shù)式寫出表示“對稱積等式”的式子，并證明你的結(jié)論．考點三：乘法公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差；即注意：(1)a,b既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.(2)抓住平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.（1）位置變化：如（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（相同項為b,“相反項”為a）（5）增項變化：如（6）增因式變化：如完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.注意：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍，常見的變形：補充公式：；；；.【例3】（2022·遼寧大連·八年級期末）用等號或不等號填空，探究規(guī)律并解決問題：(1)比較a2+b2與2ab的大?。孩佼?dāng)a＝3，b＝3時，a2+b22ab；②當(dāng)a＝2，b＝時，a2+b22ab；③當(dāng)a＝﹣2，b＝3時，a2+b2ab．(2)通過上面的填空，猜想a2+b2與2ab的大小關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖，直線l上從左至右任取A、B、G三點，以AB，BG為邊，在線段AG的兩側(cè)分別作正方形ABCD，BEFG，連接CG，設(shè)兩個正方形的面積分別為S1，S2，若三角形BCG的面積為1，求S1+S2的最小值．【變式1】（2022·重慶黔江·八年級期末）若多項式是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項式Q是_______．【變式2】已知實數(shù)a，b，c滿足，，求的值．考點四：因式分解因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.【例4】（2022·山東威?！ぐ四昙壠谀痉椒ㄌ崛　繑?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是在公式化體系的不斷完善中進行的．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公式的基礎(chǔ)上，可以對式子a3﹣b3進行如下推導(dǎo)：a3﹣b3=a3﹣a2b+a2b﹣b3=a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）=a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）=（a﹣b）[a2+b（a+b）]=（a﹣b）（a2+ab+b2）．對于a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2），稱為立方差公式．【公式推導(dǎo)】請推導(dǎo)立方和公式：a3+b3．【公式應(yīng)用】請利用上面的公式進行因式分解：（直接寫結(jié)果）（1）=；（2）=．【變式】（2022·福建廈門·八年級期末）我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：（p，q是正整數(shù)，且），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定；，例如12可以分解成，或，因為，所以是12的最佳分解，所以．(1)求；(2)如果一個正整數(shù)只有1與m本身兩個正因數(shù)，則m稱為質(zhì)數(shù)．若質(zhì)數(shù)m滿足，求m的值；(3)是否存在正整數(shù)n滿足，若存在，求n的值：若不存在，說明理由．考點五：整式的除法整式的除要用到有關(guān)冪的一些運算法則：多項式除以單項式：多項式除以單項式，把這個多項式的每一項分別除以單項式，要注意每項的符號。如：【例5】（2022·福建泉州·八年級期末）計算（a2＋ab）÷a的結(jié)果是（

）A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)2＋b C．a(chǎn)＋ab D．a(chǎn)3＋a2b【變式1】（2022·貴州遵義·八年級期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學(xué)沾了墨水：，你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·河南南陽·八年級期末）我閱讀：類比于兩數(shù)相除可以用豎式運算，多項式除以多項式也可以用豎式運算，其步驟是：（1）把被除式和除式按同一字母的降冪排列（若有缺項用零補齊）．（2）用豎式進行運算．（3）當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時，運算終止，得到商式和余式．我會做：請把下面解答部分中的填空內(nèi)容補充完整．求的商式和余式．解：答：商式是，余式是（

）我挑戰(zhàn)：已知能被整除，請直接寫出a、b的值．【核心素養(yǎng)提升】1.逆向思維的思想方法1．（2022·吉林·東北師大附中明珠學(xué)校八年級期末）已知，則＝_____．2．（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校八年級期末）若，則______．2.直觀想象利用幾何直觀來解決問題3．（2022·浙江臺州·八年級期末）學(xué)習(xí)了平方差、完全平方公式后，小聰同學(xué)對學(xué)習(xí)和運用數(shù)學(xué)公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學(xué)公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他發(fā)現(xiàn)，運用立方和公式可以解決很多數(shù)學(xué)問題，請你也來試試利用立方和公式解決以下問題：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子①化簡：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝；②計算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝；(2)【公式運用】已知：＋x＝5，求的值：(3)【公式應(yīng)用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個高為的實心長方體，問這個長方體有無可能是正方體，若可能，a與b應(yīng)滿足什么關(guān)系？若不可能，說明理由．3.數(shù)學(xué)運算運用整體思想求值4．（2022·安徽蕪湖·八年級期末）計算的值可以用換元法．（1）設(shè)，則___________（